“Universidad Politécnica Estatal Del
Carchi”
Desarrollo Integral Agropecuario
Portafolio
Cinthya Cucás
Ing. Oscar Lomas
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CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ......................................................................................................
INECUACIONES ................................................................................................................
El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que
emplea números, letras y signos para poder hacer re...
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar la información otorgada por el docente referente al
cronograma de estudio en el módu...
SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN
MISIÓN – ESCUELA
“Formar
profesionales
humanistas, emprendedores y
...
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3
y así sucesivament...
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales ent...
EXPONENTES Y RADICALES
EXPONENTES
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va
a multiplicar...
RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y...
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
...
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión alge...
PARTES DE UNA ECUACION
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las
diferentes partes (¡mejor que de...
PRODUCTOS NOTABLES
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
térm...
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del
cuadrado del primero...
FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios...
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor
común, pero pueden se...
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer
grado y re...
Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada
por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
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En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :
Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ....
Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas,
las cuales podemos representar en una notación...
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación
polinómica d...
EJEMPLOS:
1.
2.
3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
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INECUACIONES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos
miembros se relacionan por uno de estos sign...
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para
resolverlassesiguenlosmismospasosqueenlasecuacionesdeprimergradoconu
n...
4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la
desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano d...
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las
...
tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales
que pueden ser positivos o negativos y incluso ce...
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ aparte de las
0,
mismas soluciones que considerábamos antes, aña...
Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado
desigualdades estrictas (menor que, mayor que), pero el mis...
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y
de resolución de problemas ...
Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente
usados para abordar una gran variedad de problemas ...
Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las
restricciones, determina un recinto, ...
Valor del programa lineal
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se
llama valor del progra...
3 .Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
pantalones chaquetas disponible
algodón 1...
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO
DOCENTE:
NIVEL
PRIMERO
Oscar René Lomas Reyes Ing.
TELEFONO:
098605458...
1. Física Aplicada 1
EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre)
PROFESIONAL
ÁREA DE FORMACIÓN:(En l...
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Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
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III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA)...
1.
2.
TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP
TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER
Identificar los términos básicos utilizados
durante el des...
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los cr...
IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:
LOGROS DE APRENDIZAJE
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE ...
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones
Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento
lóg...
11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.
Máximo común divisor de
polinomios.
Demostrar la utilidad de las
m...
Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados
Plante...
entorno.
MODULO DE ALGEBRA
Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.
Distinguir los componentes de las
expresiones racion...
V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE
LOGROS DE APRENDIZAJE
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CONCEPTUAL.
complejos.
Consultas
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PROCESAL
Analizar problemas y sistemas
complejos.
Participación virtu...
VI.
GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA,...
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados
Dar so...
VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Ma...
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“Universidad Politécnica Estatal Del Carchi”
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Tema: Coordenadas de 8 puntos de...
OBJETIVOS:
Objetivo General
Determinar las coordenadas de 8 puntos del Cantón Tulcán.
Objetivos Específicos
Determinar las...
El Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (En
inglés Universal Transverse Mercator, UTM) es un sistema q...
Husos UTM
La Tierra se divide en 60 husos de 6º de longitud, la zona de proyección de la
UTM se define entre los paralelos...
Provincia del Carchi
Coordenadas Geográficas:
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Latitud: N 0° 50' / N 1° 0' y Longitud: W 78° 0' / W 77° 45...
CantónTulcán es una de segundo orden división administrativa (class A
Región Administrativa) en provincia del Carchi, Ecua...
A través de un transporte público nos dirigirnos al punto cero que es Parque
Ayora y luego escogimos la ruta más convenien...
CONCLUSIONES
 Si nos ubicamos en distintos sitios de los puntos las coordenadas varían
por solo milésimas.
 Al graficar ...
BIBLIOGRAFÍA
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http://ingecivilcusco.blogspot.com/2009/09/sistema-de-coordenadas-universal.html
https://www.google.com.ec/?gws_rd=cr&ei=q...
PORTAFOLIO DE ÁLGEBRA
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PORTAFOLIO DE ÁLGEBRA

CONTENIDO DE TODO EL SEMESTRE DE ALGEBRA 1
Published on: Mar 4, 2016
Published in: Education      Technology      
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Transcripts - PORTAFOLIO DE ÁLGEBRA

  • 1. “Universidad Politécnica Estatal Del Carchi” Desarrollo Integral Agropecuario Portafolio Cinthya Cucás Ing. Oscar Lomas Primero “A”
  • 2. CONTENIDO INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 4 OBJETIVOS ................................................................................................................................... 6 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 6 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................................... 6 SILABO ......................................................................................................................................... 7 CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ....................................................................................... 8 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................... 9 EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 10 EXPONENTES ......................................................................................................................... 10 RADICALES ............................................................................................................................. 11 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 12 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?..................................................................................................... 13 PARTES DE UNA ECUACION................................................................................................... 14 ¡Exponente! ......................................................................................................................... 14 PRODUCTOS NOTABLES ............................................................................................................ 15 Binomio de resta al cubo....................................................................................................... 16 Trinomio al cuadrado ............................................................................................................ 16 Diferencia de cubos ............................................................................................................... 16 Producto de dos binomios que tienen un término común ................................................... 16 FACTORIZACIÓN ........................................................................................................................ 17 Factorización por factor común. ........................................................................................... 17 Factorización de una diferencia de cuadros. ........................................................................ 17 Factorización de un cuadrado perfecto ................................................................................ 17 Factorización de una suma o diferencia de cubos ................................................................ 17 Factorización de cubos perfectos de binomios. .................................................................... 17 FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................... 18 ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO .......................................................................... 19 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................................ 19 TRANSFORMACIONES LINEALES............................................................................................ 21 ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO .............................................................. 23 MODULO DE ALGEBRA Página 3
  • 3. INECUACIONES .......................................................................................................................... 25 INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ...................................................... 26 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA .................................................. 28 PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................................................................................... 32 II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: ....................................................................... 37 III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL............................................................................................. 40 IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: ...................................................................... 43 V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO.................................................................. 48 VII. Bibliografía. ........................................................................................................................ 53 INTRODUCCIÓN MODULO DE ALGEBRA Página 4
  • 4. El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”. Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0). Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa. MODULO DE ALGEBRA Página 5
  • 5. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Recopilar la información otorgada por el docente referente al cronograma de estudio en el módulo de algebra, para tener constancia del trabajo realizado en el transcurso de todo el semestre y que esta información nos sirva como guía de estudio. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Construir el portafolio estudiantil. Comprender la información obtenida para adquirir nuevos conocimientos referentes a cada uno de los temas. Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea productivo. MODULO DE ALGEBRA Página 6
  • 6. SILABO I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO UPEC – MISIÓN MISIÓN – ESCUELA “Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos científicos y tecnológicos; comprometida con la investigación y la solución de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integración fronteriza” La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la producción, transformación, investigación y dinamización del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad UPEC – VISIÓN VISIÓN – ESCUELA Ser una Universidad Politécnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria MODULO DE ALGEBRA Página 7
  • 7. CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o números naturales. Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…) Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3…… forman el conjunto de los enteros. Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…) El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es aquél que puede escribirse como donde p y q son enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es racional. Los números que se representan mediante decimales no periódicos que terminan se conocen como números irracionales. Los números y son ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas MODULO DE ALGEBRA Página 8
  • 8. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número son iguales entre sí. Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real. Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden. Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden. Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que para todo número real a. Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número real denotado poa –a Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos. MODULO DE ALGEBRA Página 9
  • 9. EXPONENTES Y RADICALES EXPONENTES Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base. Por ejemplo: b es el valor base y -5 es el exponente -2 es el valor base y 7 es el exponente Leyes de los exponentes MODULO DE ALGEBRA Página 10
  • 10. RADICALES La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”. n = índice x = radicando y = raíz =signo radical Leyes radicales MODULO DE ALGEBRA Página 11
  • 11. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones aritméticas. Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término: Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos: Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos. Ejemplo: Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios. MODULO DE ALGEBRA Página 12
  • 12. Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica. Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes. Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los productos parciales con sus propios signos. División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo: X + 2 = 6 Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6) Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello" MODULO DE ALGEBRA Página 13
  • 13. PARTES DE UNA ECUACION Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes: Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un número solo se llama una constante. Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente) Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores). Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos. Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -) Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?" ¡Exponente! Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación. Ejemplos: 82 = 8 × 8 = 64 y3 = y × y × y y2z = y × y × z MODULO DE ALGEBRA Página 14
  • 14. PRODUCTOS NOTABLES Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9 Suma por diferencia Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) · (a − b) = a2 − b2 (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25 Binomio al cubo Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = = x 3 + 9x2 + 27x + 27 MODULO DE ALGEBRA Página 15
  • 15. Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = = (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 = = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x = = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x2 + 5x + 6 MODULO DE ALGEBRA Página 16
  • 16. FACTORIZACIÓN Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples. Factorización por factor común. Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común. Factorización de una diferencia de cuadros. Se sabe que: ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados. Factorización de un cuadrado perfecto Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado: Factorización de una suma o diferencia de cubos Se sabe que: Factorización de cubos perfectos de binomios. MODULO DE ALGEBRA Página 17
  • 17. FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común. Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar Comenzamos con la siguiente situación: Cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión. FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA MODULO DE ALGEBRA Página 18
  • 18. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así: Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma: MODULO DE ALGEBRA Página 19
  • 19. Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A. Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas. Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes. y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos: Ax = b, DondeA es una matrizm por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones: el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobre determinado o que es incompatible) el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado) el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado). La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución. La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra. La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos. MODULO DE ALGEBRA Página 20
  • 20. En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo : Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1] Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda. Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad. TRANSFORMACIONES LINEALES Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal. Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que: MODULO DE ALGEBRA Página 21
  • 21. Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas, las cuales podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal. A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para tener como resultado escalares. MODULO DE ALGEBRA Página 22
  • 22. ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma: con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación cuadrática Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1. Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos: 3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de segundo grado para resolverlas. En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente. MODULO DE ALGEBRA Página 23
  • 23. EJEMPLOS: 1. 2. 3. Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1). MODULO DE ALGEBRA Página 24
  • 24. INECUACIONES Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos: < ≤ 2x − 1 < 7 menor que menor o igual 2x − 1 ≤ que 7 > mayor que 2x − 1 > 7 ≥ mayor que o igual 2x − 1 ≥ 7 La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica. La solución de la inecuación se expresa mediante: 1. Una representación gráfica. 2. Un intervalo. 2x − 1 < 7 2x < 8 x<4 (-∞, 4) MODULO DE ALGEBRA Página 25
  • 25. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Para resolverlassesiguenlosmismospasosqueenlasecuacionesdeprimergradoconu na incógnita: Quitar paréntesis. Quitar denominadores. Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad. Despejar la incógnita. En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las desigualdades: “Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo cambiael sentido de la misma”. La soluciónde una inecuación de este tipo puede ser: Un conjuntode números reales quese suele expresar en forma de intervalo. Cualquier número real. Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución. La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad. 2x + y ≤ 3 1º Transformamos la desigualdad en igualdad. 2x + y = 3 2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos. x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3) x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1) 3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta. MODULO DE ALGEBRA Página 26
  • 26. 4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano. 2x + y ≤ 3 2·0+0≤3 0≤3 Sí 0>3 No 2x + y > 3 2·0+0>3 MODULO DE ALGEBRA Página 27
  • 27. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las siguientes formas: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c ≥ 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c ≤ 0 Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad.. Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser: 2x2−x<2x−1 Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático, característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado. Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por una serie de pasos a seguir. Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación: Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen dadas por la fórmula: x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac√2a Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor de b2−4ac√ (para más información consultar el tema de ecuaciones de segundo grado). Método a seguir para la resolución: Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del MODULO DE ALGEBRA Página 28
  • 28. tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es un valor positivo. En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás términos y el orden de la desigualdad). Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0. Puede ser que tengamos tres opciones: Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos: Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números cumplen la inecuación. Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la inecuación no tiene solución. Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje X, ya que la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor de a positivo, toda la gráfica se encuentra por encima del eje X, con valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene signo mayor que (o mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si tiene signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución. Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento: ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0 ⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1 Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos números es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos. Así que la solución de la inecuación serán los x que Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0. MODULO DE ALGEBRA Página 29
  • 29. En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ aparte de las 0, mismas soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y el resultado sería tener como región solución toda la recta real. Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos: ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos exigiendo que sea negativo. En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ sí tendríamos 0, una solución: justamente la solución de la ecuación x1. Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2, haremos el siguiente procedimiento: (Recordemos que el valor de a siempre es positivo) Si ax2+bx+c>0: ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒ ⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0 ⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2 Y como hemos supuesto desigualdades x<x2 y x<x1. Si ax2+bx+c<0: que x1<x2, nos quedamos con las quedamos con las ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒ ⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0 ⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2 y como hemos supuesto desigualdades x<x2 y x<x1. que x1<x2, nos Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya hemos terminado. MODULO DE ALGEBRA Página 30
  • 30. Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado desigualdades estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento sirve para desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que. EJEMPLOS x2+x+2>−1−x Resolución: x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0 Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0: x=−2±4−4 √2=−1 Hay una única solución. Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir, todos los puntos menos −1. x2+2<−1−2x Resolución: x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0 Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0: x=−2±4−4 √2=−1 Hay una única solución. Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles. −x(x−1)−x<−1 Resolución: −x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0 Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1 Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las indicaciones) es x<−1 y x>1. MODULO DE ALGEBRA Página 31
  • 31. PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables. El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate'. Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos. La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más importantes fue la aparición del método del simplex. Este método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se llega a otro vértice. El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo en cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un vértice del que no parta ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo aumente. MODULO DE ALGEBRA Página 32
  • 32. Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización. La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Función objetivo La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables: f(x,y) = ax + by. Restricciones La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales: a1x + b1y ≤ c1 a2x + b2y ≤c2 ... ... ... anx + bny ≤cn Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. MODULO DE ALGEBRA Página 33
  • 33. Solución factible El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles. Solución óptima El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). MODULO DE ALGEBRA Página 34
  • 34. Valor del programa lineal El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal. Pasos para resolver un problema de programación lineal 1. Elegir las incógnitas. 2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema. 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. 4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones. 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos). 6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado). Ejemplo de programación lineal Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. MODULO DE ALGEBRA Página 35
  • 35. 3 .Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón 1 1,5 750 poliéster 2 1 1000 x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500 2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 MODULO DE ALGEBRA Página 36
  • 36. II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: CÓDIGO DOCENTE: NIVEL PRIMERO Oscar René Lomas Reyes Ing. TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec oscarlomasreyes@yahoo.es CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) 3 48 CÓDIGOS 1. Nivelación Aprobada CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) MODULO DE ALGEBRA CÓDIGOS Página 37
  • 37. 1. Física Aplicada 1 EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color Agrícola y un nombre) LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio ) Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio) Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España. Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia. Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador. SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. MODULO DE ALGEBRA Página 38
  • 38. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos. MODULO DE ALGEBRA Página 39
  • 39. III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA). Escaso razonamiento lógico matemático Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO) Desarrollar el pensamiento lógico Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA) Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL) Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas del entorno. LOGROS DE APRENDIZAJE NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVO DIMENSIÓN (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS) (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías El estudiante es capaz de: MODULO DE ALGEBRA Página 40
  • 40. 1. 2. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP TEÓRICO AVANZADO ENTENDER Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR 4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el Argumentar el planteamiento que solución a los problemas planteados. 5. Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o dará TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO CREAR Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les MODULO DE ALGEBRA Página 41
  • 41. permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento. Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA). Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas. MODULO DE ALGEBRA Página 42
  • 42. IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: LOGROS DE APRENDIZAJE CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. COGNITIVOS PROCEDIMENTALES AFECTIVO MOTIVACIONALES ¿Qué TIENEquesaber? El estudiante será capaz de ¿Saber cómo TIENEqueaplicar el conocimiento? T P 2 4 ¿Saber qué y cómo TIENEactuar axiológicamente? Sistema de Números Reales Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales Recta de números Reales Potenciación y Radicación Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos Relacionar en la uve heurística Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación DEMOSTRAR. 1. Disposición para trabajar en equipo Operaciones Binarias MODULO DE ALGEBRA Estrategias, métodos y técnicas HOR AS CLA SE Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica Aceptar opiniones diferentes Potenciar el clima positivo Caracterizar los números reales para la demostración 2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. Determinación del problema. Página 43
  • 43. Propiedades fundamentales Aplicaciones Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Hacer síntesis gráfica Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico Expresiones algebraicas: nomenclatura y clasificación. Polinomios clasificación. Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división. Productos notables. Descomposición Factorial Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente 2. Aplicar operaciones mentales Aceptar opiniones divergentes INDUCTIVO-DEDUCTIVO Identificar los diferentes tipos polinomios Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo INDUCTIVO Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones. Potenciar la resolución de problemas 3. Dialogo mediante preguntas. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución. 1.Observación Identificar los diferentes tipos de productos notables Resolver ejercicios 2. Experimentación. Valorar las participaciones de los demás 3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.) Demostrar grado por lo que hacemos 4. Dramatización. 5. Resolución de problemas. 6. comprobación. 7. Asociación (especial temporal y casual) 8. Abstracción. 9. Generalización. 10. Resúmenes. MODULO DE ALGEBRA Página 44 2 4
  • 44. 11. Ejercicios de fijación. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. Máximo común divisor de polinomios. Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema. Mínimo común múltiplos de polinomios. Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas. Cooperar en el desarrollo del conocimiento. Operaciones con fracciones. Aplicaciones Determinación del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución. RAZONAR 1. Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos Distinguir los componentes de las expresiones racionales Demostrar confianza en el desarrollo del proceso. Cooperar con el grupo en la resolución de funciones. Determinar las premisas. 2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio. 3. Elaborar las conclusiones. RELACIONAR. 1. 2. MODULO DE ALGEBRA Analizar de manera independiente los objetos a relacionar. Determinar los criterios de relación entre los objetos Página 45 3 6
  • 45. Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Plantear ecuaciones lineales. Ecuaciones lineales, resolución Sistemas lineales y clasificación. Resolución de ecuaciones lineales. Identificar los sistemas líneas y su clasificación Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera Definición y clasificación. Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo. Ecuaciones reducibles a cuadráticas Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas Resolver ejercicios sobre expresiones cuadráticas Resolución por completación de un trinomio cuadrado. MODULO DE ALGEBRA Respetar las opiniones del grupo y fuera de él. Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante. Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo. Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales. Aplicaciones Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas. Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos. Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas EXPOSICION PROBLEMICA. Determinar el problema. 2. Realizar el encuadre del problema. 3. Comunicar el conocimiento. 4. Formulación de la hipótesis. 5. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones) EXPOSICIÓN PROBLEMICA 2. 3. 4. Valorar la creatividad de los demás 6 3 6 3 6 1. 1. Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados 3 1. Respetar el criterio del grupo. 2. Determinar el problema Realizar el encuadre del problema Comunicar el conocimiento (conferencia ,video ) Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes) Determinar los procedimientos para resolver problemas. Encontrar la solución Página 46
  • 46. entorno. MODULO DE ALGEBRA Aplicaciones de la ecuación cuadrática. Distinguir los componentes de las expresiones racionales ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones) Página 47
  • 47. V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE LOGROS DE APRENDIZAJE indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE DIMENSIÓN COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA descripción 10% Reactivos 50% Documento 10% Deberes Documento 10% Trabajos Documento 10% Consultas Documento 10% Participación virtual Chat-Foro 10% Pruebas Reactivos 50% Portafolio MODULO DE ALGEBRA Chat-Foro Documento SUPLETORI O 10% Portafolio Interpretar la información. Documento 3° PARCIA L 10% Pruebas CONCEPTUAL. Documento 2° PARCIA L 10% Participación virtual Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Documento Trabajos FACTUAL. Deberes Consultas Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Interpretar información. TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de EVALUACIÓN 1° PARCIA L 10% Página 48
  • 48. Deberes Documento 10% Trabajos Documento 10% Consultas Documento 10% Participación virtual Chat-Foro 10% Pruebas Reactivos 50% Portafolio Documento 10% Deberes Documento 10% Trabajos Documento 10% Consultas Documento 10% Participación virtual Chat-Foro 10% Pruebas Reactivos 50% Portafolio Documento 10% Deberes Documento 5% Trabajos Documento 5% Consultas Documento 5% Participación virtual Chat-Foro 5% Pruebas Reactivos 25% Portafolio CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos. Documento 5% Interpretar información. Deberes Documento 5% Modelar, simular sistemas Trabajos Documento 5% Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas MODULO DE ALGEBRA PROCESAL CONCEPTUAL FACTUAL. Analizar problemas y sistemas complejos. Desarrollar una estrategia para el diseño. 100% 100% Página 49
  • 49. CONCEPTUAL. complejos. Consultas Documento 5% PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos. Participación virtual Chat-Foro 5% Pruebas Reactivos 25% Portafolio del entorno. Documento 5% METACOGNITIVO ESCALA DE VALORACIÓN Nivel ponderado de aspiración y alcance MODULO DE ALGEBRA 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable 8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 100% 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable Página 50
  • 50. VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS) Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. HORAS AUTÓNO MAS APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE T INSTRUCCIONES Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos. RECURSOS Libros. Copias P PRODUCTO Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales. 2 4 Identifica los tipos de polinomios 2 4 Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales 3 6 Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Prueba Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio. Grado de un polinomio y su ordenamiento Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. MODULO DE ALGEBRA Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Distinguir plenamente Libros. entre expresiones Copias racionales e irracionales Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Página 51
  • 51. Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Dar solución a ecuaciones de primer grado Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6 Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas. Libros. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas 3 6 Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 3 6 PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel ) 16 32 1 2 Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. TOTAL CRÉDITOS 3 MODULO DE ALGEBRA Página 52
  • 52. VII. Bibliografía. BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA) Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA) Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España. Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia. Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador. SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf DOCENTES: Firma: Nombres y Apellidos MODULO DE ALGEBRA Oscar Rene Lomas Reyes Página 53
  • 53. MODULO DE ALGEBRA Página 54
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  • 98. MODULO DE ALGEBRA Página 99
  • 99. “Universidad Politécnica Estatal Del Carchi” Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Tema: Coordenadas de 8 puntos del cantón Tulcán. Profesor: M.S.c. Oscar Lomas. Alumna: Cinthya Cucás, Fecha: 20/11/2013 TEMA: Coordenadas de 8 puntos del cantón Tulcán. MODULO DE ALGEBRA Página 100
  • 100. OBJETIVOS: Objetivo General Determinar las coordenadas de 8 puntos del Cantón Tulcán. Objetivos Específicos Determinar las coordenadas UTM sistema W GG84. Graficar las coordenadas de diferentes puntos del Cantón Tulcán en Autocad. MATERIALES: GPS INTRODUCCIÓN En la última década de este siglo el término coordenadas se ha vuelto indispensable en la mayoría de las profesiones en unas más que en otras ya que con las coordenadas podemos ubicar un punto en cualquier lugar del espacio. Pues cuando se habla de coordenadas estamos hablando de Georeferenciación, estas Georeferenciaciones sirven para convertir cualquier profesión más técnica. En algunas profesiones como la milicia han sido utilizadas para ubicar al enemigo o para integrarlos en el sistema de espionaje. En Agronomía se habla de agricultura de precisión exactamente basadas en las coordenadas UTM. MARCO TEÓRICO MODULO DE ALGEBRA Página 101
  • 101. El Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (En inglés Universal Transverse Mercator, UTM) es un sistema que está dentro de las llamadas proyecciones cilíndricas, por emplear un cilindro situado en una determinada posición espacial de coordenadas, está basado también en la proyección geográfica transversa de Mercator, pero en vez de hacerla tangente al Ecuador, se la hace tangente a un meridiano. A diferencia del sistema de coordenadas tradicional, expresadas en longitud y latitud, las magnitudes en el sistema UTM se expresan en metros únicamente al nivel del mar que es la base de la proyección del elipsoide de referencia. Esta proyección es "conforme", es decir, que conserva los ángulos y casi no distorsiona las formas pero inevitablemente sí lo hace con distancias y áreas. El sistema UTM implica el uso de escalas no lineales para las coordenadas X e Y (longitud y latitud cartográficas) para asegurar que el mapa proyectado resulte conforme. El factor de escala en la dirección del paralelo y en la dirección del meridiano son iguales (h = k). Las líneas loxodrómicas se representan como líneas rectas sobre el plano. La proyección UTM tiene la ventaja de que ningún punto está alejado del meridiano central de su zona, por lo que las distorsiones son pequeñas. Pero esto se consigue al coste de la discontinuidad: un punto en el límite de la zona se proyecta en dos puntos distintos, salvo que se encuentre en el ecuador. Una línea que une dos puntos de entre zonas contiguas no es continua salvo que cruce por el ecuador. Para evitar estas discontinuidades, a veces se extienden las zonas, para que el meridiano tangente sea el mismo. Esto permite mapas continuos casi compatibles con los estándar. Sin embargo, en los límites de esas zonas, las distorsiones son mayores que en las zonas estándar. MODULO DE ALGEBRA Página 102
  • 102. Husos UTM La Tierra se divide en 60 husos de 6º de longitud, la zona de proyección de la UTM se define entre los paralelos 80º S y 84º N, ya que los paralelos se van separando a medida que nos alejamos del Ecuador, por lo que al llegar al polo las deformaciones serán infinitas. Cada huso se numera con un número entre el 1 y el 60, estando el primer huso limitado entre las longitudes 180° y 174° W y centrado en el meridiano 177º W. Cada huso tiene asignado un meridiano central, que es donde se sitúa el origen de coordenadas, junto con el ecuador. Los husos se numeran en orden ascendiente hacia el este. Por ejemplo, la Península Ibérica está situada en los usos 29, 30 y 31, y Canarias están situadas en el huso 28. En el sistema de coordenadas geográfico las longitudes se representan tradicionalmente con valores que van desde los -180º hasta casi 180º (intervalo -180º → 0º → 180º); el valor de longitud 180º se corresponde con el valor -180º, pues ambos son el mismo antimeridiano de Greenwich y en él se produce la conexión de los husos UTM 1 y UTM 60. Zonas UTM La Tierra se divide en 20 zonas de 8º Grados de Latitud, que se denominan con letras desde la C hasta la X excluyendo las letras "I" y "O", por su parecido con los números uno (1) y cero (0), respectivamente. Puesto que es un sistema norteamericano (estadounidense), tampoco se utiliza la letra "Ñ". La zona C coincide con el intervalo de latitudes que va desde 80º S (o -80º latitud) hasta 72º S (o -72º latitud). Las zonas polares no están consideradas en este sistema de referencia. Para definir un punto en cualquiera de los polos, se usa el sistema de coordenadas UPS. Si una zona tiene una letra igual o mayor que la N, la zona está en el hemisferio norte, mientras que está en el sur si su letra es menor que la "N". MODULO DE ALGEBRA Página 103
  • 103. Provincia del Carchi Coordenadas Geográficas:         Latitud: N 0° 50' / N 1° 0' y Longitud: W 78° 0' / W 77° 45' Coordenadas Planas UTM (aprox): Norte: 92230 / 110650 y Este: 166040 / 193900 Código Internacional: 4096-IV Edición: 1990 Idioma: Español Descripción General:Para orientación general, desarrollo de proyectos. Orografía: Presenta una topografía irregular. Su máxima altura alcanza los 4200 metros, punto ubicado al sur-oeste de la carta. La Cuchilla Santa María y la Loma Marpi, son los accidentes orográficos más significativos.  Cotas extremas: 4200 y 2320 msnm.  Hidrografía: La red hidrográfica está conformada por los Ríos Mayasquer o Blanco, en Colombia; El Cainacán y Carchi que a su vez constituyen el límite internacional natural entre Ecuador y Colombia. Cantón Tulcán MODULO DE ALGEBRA Página 104
  • 104. CantónTulcán es una de segundo orden división administrativa (class A Región Administrativa) en provincia del Carchi, Ecuador con un código de región de América/ Western Europe. Se encuentra a una altitud de 2932 metros sobre el nivel del mar. Sus coordenadas son 0°48´0” N y 77°43´60” E en formato DMS (grados, minutes, segundos) o 0.8 y -77.77333 (en grados decimales). Su posición UTM es SF98 y su referencia Joint Operation Graphics es NA18.13. La hora actual es 14.32; el sol sale a las 7:41 y se pone a las 19:49 hora local (América/ Guayaquil UTC/GMT-5). La zona horaria de Cantón Tulcán es UTC/GMT-5. PROCEDIMIENTO Organización para dirigirnos a los 8 puntos como son:          Parque ayora(punto cero) Cementerio Mercado Tufiño Tres chorros Rumichaca Aeropuerto Iglesia Catedral Obelisco Universidad Politécnica Estatal del Carchi. MODULO DE ALGEBRA Página 105
  • 105. A través de un transporte público nos dirigirnos al punto cero que es Parque Ayora y luego escogimos la ruta más conveniente para tomar las coordenadas. Con la ayuda de un GPS en cada punto dado realizamos la toma de datos para realizar un excelente trabajo. OBSERVACIONES En el Ecuador también se está utilizando las coordenadas como sistema de información Geográfica; sistema que se utiliza en la Agricultura, existen varios métodos de obtener coordenadas y con diferentes equipos sean estos navegadores GPS, cartas geográficas etc. Parque Ayora Cementerio Mercado Tufiño Tres Chorros Rumichaca Aeropuerto Catedral Obelisco UPEC Altura 2953m 2947m 3221m 2872m 2793m 2947m 2976m 2997m 2964m UTM 0090347 0090626 0088733 0090784 0090034 0090806 0089813 0085837 0085837 18N 0197897 0197881 0182124 0197278 0203391 199086 0197434 0194915 0195705 RESULTADOS MODULO DE ALGEBRA Página 106
  • 106. CONCLUSIONES  Si nos ubicamos en distintos sitios de los puntos las coordenadas varían por solo milésimas.  Al graficar en Autocad podemos determinar la distancia que recorrimos desde el punto cero.  Las coordenadas se proporcionan en sistemas y datums elegidos por el usuario: Coordenadas Geográficas, Coordenadas U.T.M. datum WGS84, Coordenadas U.T.M. datum ED50. RECOMENDACIONES  Para llegar a tomar estas coordenadas debemos saber manejar correctamente el GPS ya que si no sabemos vamos a tomar mal las coordenadas y nos va a salir de otro tipo no lo que estamos buscando. ANEXOS MODULO DE ALGEBRA Página 107
  • 107. BIBLIOGRAFÍA MODULO DE ALGEBRA Página 108
  • 108. http://ingecivilcusco.blogspot.com/2009/09/sistema-de-coordenadas-universal.html https://www.google.com.ec/?gws_rd=cr&ei=qLGLUomlKIj54AP_oYDwBA#q=que+son+las+ coordenadas+utm http://www.geomtbrally.com/descargas/Taller%202%20Determinacion%20de%20coorden adas.pdf http://www.igm.gob.ec/cms/files/cartabase/o/OII_A1.htm http://es.getamap.net/mapas/ecuador/bolivar/_tulcan_canton/ MODULO DE ALGEBRA Página 109