SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER
Definitia 2.1.1 Numim segment orientat orice
pereche ordonata (A, B)
Vom folosi notatia pen...
∆
O
Aa

VECTORI
DeDefiniţiefiniţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat.
Caracteristicile unui vectorCaracteris...
EGALITATEA VECTORILOR
Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport
paralele, acelaşi sens şi module egale.
a...
Vectorii se pot compune folosind :
Metode geometrice
Metoda analitică
A) Metodele geometrice sunt :
 Regula paralelogramului
 Regula triungiului
 Regula poligonului
REGULA PARALELOGRAMULUI
Regula paralelogramului este cea mai cunoscută
metodă de compunere a doi vectori concurenţi.
A com...
a
b
a
b
Regula paralelogramului are următoarele etape :
1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii ...
Vectorul sumă c are următoarele caracteristici :
- originea comună cu originile celor doi vectori a şi b ;
- direcţia de-a...
Caz particularCei doi vectori au direcţii perpendiculare
În acest caz paralelogramul devine un dreptunghi şi
putem calcula...
COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR
DEFINIŢIE: Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi
compunerea lor, are drept rezulta...
REGULA TRIUNGHIULUI
Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori.
Regula triunghiului are următoarele etap...
Cazuri particulare
a) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare
Se poate calcula modulul c cu terema lui Pitagora
a
b
a
b...
b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi
acelaşi sens)
Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b.
a b a b
...
c) Vectorii au aceeşi direcţie şi au sensuri opuse
Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b.
a ab
bc
c = a ...
REGULA POLIGONULUI
Regula poligonului este folosită pentru a aduna 3 sau
mai mulţi vectori.
Etapele sunt :
1. Se translate...
a
a
b b
c c
s
1a
 2a

3a

12a
 23a
s

REGULA POLIGONULUI
231312321 aaaaaaas

+=+=++=
CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE
PR...
SCĂDEREA VECTORILOR
a

b

α
bac

−=
a

b

α
abd

−=
cd

−=
Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă
B) Metoda analitică
Metoda anlitică este folosită pentru a aduna doi sau
mai mulţi vectori.
Etapele metodei sunt :
1. Se a...
3. Se calculează componentele vectorului sumă de pe
cele două axe (sumă algebrică).
Proiecţiile din sensul pozitiv al axei...
F1
F2
y
x
F1y
F1x
F2X
F2y
α
β
RX = F2X – F1X
y
x
RX
RY = F1Y – F2Y
RY
R = R²X + R²Y
R
ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR
0;kakb >⋅= ;

a
O
O
a
O
O
b

ab

↑↑
0;kakb <⋅= ;

ab

↑↓
b

Prin înmulţire...
PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI
Produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul
modulelor celor doi vectori pr...
PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI
α
a

b
bac

×=
Rezultatul produsului vectorial a doi vectori
este tot un vector ce a...
w

a

a
a
w


=
;waa

⋅=
7=a unităţi wa

7=⇒
VERSORUL UNUI VECTOR
Versorul (vectorul unitar) al unui vector a

ar...
VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI
α
a

b

bac

+=
2
0cos ccccc o
=⋅⋅=⋅

( ) ( ) bbabbaaababa

⋅+...
CAZURI PARTICULARE
a

b

c

1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens:
bababac +=++=⇒= 22
20α
a

b

α
bad

−=
VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI
bad

−=
2
0cos ddddd o
=⋅⋅=⋅

( ) ( ) bbabbaaababa...
COMPONENTA ŞI PROIECŢIA UNUI VECTOR PE O AXĂ
O x
A B
α
v

xv

M
( ) ABAMx ll === αα coscosvv ixx

⋅= vv
Oxaxapevivecto...
O x
AB
α
a

xa

θ
M
( ) ( ) ABAMAMx lll −=−=== θαα coscoscosaa
( ) ili ABxx

⋅−=⋅= aa
Oxaxapeaivectorulucomponentarep...
Prezentare vectori
of 32

Prezentare vectori

Prezentarea vectorilor
Published on: Mar 4, 2016
Published in: Science      
Source: www.slideshare.net


Transcripts - Prezentare vectori

  • 1. SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER Definitia 2.1.1 Numim segment orientat orice pereche ordonata (A, B) Vom folosi notatia pentru acest segment,carui reprezentare grafica este data în fig. 1. Punctul A se va numi originea segmentului orientat iar B vârful sau extremitatea. Daca puntele A si B sunt diferite atunci acestea determina în mod unic o dreapta care se numeste dreapta suport a segmentului orientat. Daca C = D atunci convenim sa numim segmentul orientat (C, D) = = = segment orientat nul. Este evident ca un segment orientat nul nu determina în mod unic o dreapta, ceea ce face ca în acest caz sa spunem ca orice dreapta care trece prin punctul C este o dreapta suport a segmentului
  • 2. ∆ O Aa  VECTORI DeDefiniţiefiniţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat. Caracteristicile unui vectorCaracteristicile unui vector: - dreapta suport ( ) sau direcţia vectorului; - punctul de aplicaţie (O); - sensul vectorului ( de la O câtre A ); - valoarea numerică sau modulul vectorului dată de lungimea segmentului exprimată în unităţi de măsură. Modulul vectorului se notează sau simplu ∆ OA a  a
  • 3. EGALITATEA VECTORILOR Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport paralele, acelaşi sens şi module egale. a  b 
  • 4. Vectorii se pot compune folosind : Metode geometrice Metoda analitică
  • 5. A) Metodele geometrice sunt :  Regula paralelogramului  Regula triungiului  Regula poligonului
  • 6. REGULA PARALELOGRAMULUI Regula paralelogramului este cea mai cunoscută metodă de compunere a doi vectori concurenţi. A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi modulul şi orientarea vectorului rezultant : c = a + b .
  • 7. a b a b Regula paralelogramului are următoarele etape : 1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii a şi b până au origine comună . Se construieşte paralelogramul care are ca laturi cei doi vectori : - prin vârful lui a se duce paralelă la b - prin vârful lui b se duce paralelă la a 3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă prin originea vectorilor ) c
  • 8. Vectorul sumă c are următoarele caracteristici : - originea comună cu originile celor doi vectori a şi b ; - direcţia de-a lungul diagonalei paralelogramului; - sensul dat de săgeată ; - modulul egal cu lungimea diagonalei paralelogramului.
  • 9. Caz particularCei doi vectori au direcţii perpendiculare În acest caz paralelogramul devine un dreptunghi şi putem calcula modulul c aplicând teorema lui Pitagora. a b c² = a² + b² ca b
  • 10. COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR DEFINIŢIE: Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi compunerea lor, are drept rezultat un vectorun vector numit suma lor. REGULA PARALELOGRAMULUI REGULA TRIUNGHIULUI α a  b  α a  b 
  • 11. REGULA TRIUNGHIULUI Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori. Regula triunghiului are următoarele etape: 1. Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în vârful celuilalt vector ( a ) 2. Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine vectorul sumă c a b a b c
  • 12. Cazuri particulare a) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare Se poate calcula modulul c cu terema lui Pitagora a b a b c c² = a² + b²
  • 13. b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi acelaşi sens) Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b. a b a b c = a + b c
  • 14. c) Vectorii au aceeşi direcţie şi au sensuri opuse Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b. a ab bc c = a - b
  • 15. REGULA POLIGONULUI Regula poligonului este folosită pentru a aduna 3 sau mai mulţi vectori. Etapele sunt : 1. Se translatează vectorul b cu originea în vârful vectorului a , apoi se translatează vectorul c cu originea în vârful vectorului b şi mai departe 2. Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu vârful ultimului vector
  • 16. a a b b c c s
  • 17. 1a  2a  3a  12a  23a s  REGULA POLIGONULUI 231312321 aaaaaaas  +=+=++= CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETĂŢILE DE COMUTATIVITATE ŞI ASOCIATIVITATE
  • 18. SCĂDEREA VECTORILOR a  b  α bac  −= a  b  α abd  −= cd  −= Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă
  • 19. B) Metoda analitică Metoda anlitică este folosită pentru a aduna doi sau mai mulţi vectori. Etapele metodei sunt : 1. Se alege un sistem de două axe de coordonate xoy 2. Se proiectează vectorii pe axe şi se calculează componentele lor (folosind funcţiile trigonometrice )
  • 20. 3. Se calculează componentele vectorului sumă de pe cele două axe (sumă algebrică). Proiecţiile din sensul pozitiv al axei se iau cu semnul “+”,celălalte se iau cu semnul “-”. 4. Se calculează modulul vectorului rezultant cu relaţia : R = R² + R²
  • 21. F1 F2 y x F1y F1x F2X F2y α β RX = F2X – F1X y x RX RY = F1Y – F2Y RY R = R²X + R²Y R
  • 22. ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR 0;kakb >⋅= ;  a O O a O O b  ab  ↑↑ 0;kakb <⋅= ;  ab  ↑↓ b  Prin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine tot un vector ce are: - Aceeaşi direcţie cu direcţia vectorului iniţial; - Acelaşi sens cu sensul vectorului iniţial dacă scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniţial dacă scalarul este negativ; - Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniţial şi scalar.
  • 23. PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI Produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei. α a  b  αcosabbap =⋅=  Observaţie: Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul. Produsul scalar prezintă proprietatea de comutativitate: αcosababba =⋅=⋅ 
  • 24. PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI α a  b bac  ×= Rezultatul produsului vectorial a doi vectori este tot un vector ce are caracteristicile: -Direcţia perpendiculară pe planul determinat de cei doi vectori; - Sensul dat de regula burghiului: “ se pune burghiul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori şi de roteşte pentru a suprapune primul vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de înaintare al burghiului este şi sensul vectorului produs vectorial”; - Modulul vectorului produs vectorial este egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei. αsinabc = Observaţie: Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul. Produsul vectorial a doi vectori nu are proprietate de comutativitate. ( )abba  ×−=×
  • 25. w  a  a a w   = ;waa  ⋅= 7=a unităţi wa  7=⇒ VERSORUL UNUI VECTOR Versorul (vectorul unitar) al unui vector a  are direcţia şi sensul vectorului a  , iar modulul egal cu unitatea.
  • 26. VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI α a  b  bac  += 2 0cos ccccc o =⋅⋅=⋅  ( ) ( ) bbabbaaababa  ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+ 22 cos2 bababbabbaaa ++=⋅+⋅+⋅+⋅ α  222 cos2 babac ++= α
  • 27. CAZURI PARTICULARE a  b  c  1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens: bababac +=++=⇒= 22 20α
  • 28. a  b  α bad  −= VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI bad  −= 2 0cos ddddd o =⋅⋅=⋅  ( ) ( ) bbabbaaababa  ⋅+⋅−⋅−⋅=−⋅− 22 cos2 bababbabbaaa +−=⋅+⋅−⋅−⋅ α  222 cos2 babad +−= α
  • 29. COMPONENTA ŞI PROIECŢIA UNUI VECTOR PE O AXĂ O x A B α v  xv  M ( ) ABAMx ll === αα coscosvv ixx  ⋅= vv Oxaxapevivectorulucomponentareprezintă-v  x şi este un vector -vx şi este un număr real reprezintă proiecţia vectorului v  pe axa Ox
  • 30. O x AB α a  xa  θ M ( ) ( ) ABAMAMx lll −=−=== θαα coscoscosaa ( ) ili ABxx  ⋅−=⋅= aa Oxaxapeaivectorulucomponentareprezintă-a  x şi este un vector -ax şi este un număr real reprezintă proiecţia vectorului a  pe axa Ox

Related Documents