Navegaci´n A´rea, Cartograf´
o
e
ıa
y Cosmograf´
ıa
Dagoberto Jos´ Salazar Hern´ndez
e
a
10 de septiembre de 2008
II
Datos del documento
Navegaci´n A´rea, Cartograf´ y Cosmograf´ por Dagoberto Salazar.
o
e
ıa
ıa,
6ta. Versi´n, 2008.
o
Este...
Datos del documento
IV
• http://atenea.upc.edu
• http://nacc.upc.es
• http://gage6.upc.es
A
Para obtener las fuentes de...
Datos del documento
V
Copiar, distribuir y comunicar p´blicamente la obra.
u
Hacer obras derivadas.
Hacer un uso comerci...
VI
4.0 14/Feb/2008 (D.S.). Cuarta versi´n.
o
5.0 03/Mar/2008 (D.S.). Quinta versi´n.
o
6.0 10/Sep/2008 (D.S.). Sexta vers...
´
Indice general
1. Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
1
1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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INDICE GENERAL
VIII
1.5.3. El espectro electromagn´tico . . . . . . . . . . . . . . .
e
25
1.5.4. Propiedades de la ...
´
INDICE GENERAL
IX
3.1. Relaci´n entre el ecuador y los paralelos . . . . . . . . . . . . .
o
76
3.2. Cambiando de co...
´
INDICE GENERAL
X
6.2.4. Tiempo Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.5. Temps Atomique Internati...
´
INDICE GENERAL
XI
A.2.1. Adici´n y sustracci´n de vectores y matrices . . . . . . . 145
o
o
A.2.2. Multiplicaci´n de u...
XII
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INDICE GENERAL
´
Indice de figuras
1.1. Trayectoria, ruta, tramo y waypoints . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Curso, derrota, rumbo...
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INDICE DE FIGURAS
XIV
1.20. Polarizaci´n de las ondas electromagn´ticas . . . . . . . . . . .
o
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22
1.21. Onda con ...
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INDICE DE FIGURAS
XV
2.20. Sextante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.21. Octante . ....
´
INDICE DE FIGURAS
XVI
4.3. La Ecl´
ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4. Inclinaci´...
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INDICE DE FIGURAS
XVII
7.12. Proyecci´n Plana-Oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
o
7.13. Proyecci´n...
XVIII
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INDICE DE FIGURAS
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Indice de tablas
1.1. Espectro radioel´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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26
2.1. Par´metros de eli...
XX
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INDICE DE TABLAS
Cap´
ıtulo 1
Conceptos de Navegaci´n
o
A´rea
e
1.1.
Introducci´n
o
La navegaci´n puede definirse como el conjunto de t´c...
2
1.2.
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Definiciones b´sicas sobre navegaci´n a´rea
a
o e
En esta secci´n se proporcio...
1.2. Definiciones b´sicas sobre navegaci´n a´rea
a
o e
3
Figura 1.1: Trayectoria, ruta, tramo y waypoints
1.2.1.
Curso,...
4
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
el piloto modifique el rumbo para contrarestar un viento cruzado.
Marcaci´n: se define...
1.2. Definiciones b´sicas sobre navegaci´n a´rea
a
o e
1.2.3.
5
El Norte
El aparentemente simple concepto de “Norte” en...
6
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Figura 1.3: Declinaci´n magn´tica en dos puntos diferentes de la Tierra
o
e
Figura ...
1.3. Tipos de navegaci´n
o
7
(presencia de masas met´licas cercanas, l´
a
ıneas de campo magn´tico que
e
no son horizont...
8
1.3.1.
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Navegaci´n visual
o
En este tipo de navegaci´n, el piloto debe identificar v...
1.3. Tipos de navegaci´n
o
9
N´tese que en la Ecuaci´n 1.3 se asume que el vector x12 es igual a la integraci´n
o
o
o
de...
10
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
1.3.3.
Navegaci´n aut´noma
o
o
Se habla de navegaci´n aut´noma cuando ´sta se rea...
1.3. Tipos de navegaci´n
o
11
Dicho tiempo es variable seg´n la calidad del INS utilizado: un sistema de
u
buena calidad...
12
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Figura 1.8: Vista a´rea de un DVOR (Wikimedia)
e
Ayudas visuales
Utilizadas casi de...
1.3. Tipos de navegaci´n
o
13
Figura 1.9: Precision Approach Path Indicator - PAPI (Wikipedia)
2020 los sistemas basados...
14
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Figura 1.10: Sat´lite GPS (Wikimedia)
e
manera autom´tica la advertencia de que el ...
1.4. M´todos para determinar la posici´n
e
o
1.4.1.
15
M´todo theta-theta
e
Este m´todo se utiliza cuando se tienen di...
16
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Figura 1.12: Theta fix con marco de referencia
Sin embargo esta informaci´n, aunque ...
1.4. M´todos para determinar la posici´n
e
o
17
Figura 1.13: Theta-theta fix
No obstante, pudiera darse el caso de que di...
18
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Figura 1.14: Theta-rho fix
LOP de θ constante en m´s de un lugar, dando como resulta...
1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas
e
19
Figura 1.15: Rho-rho fix
M´todo hiperb´lico
e
o
El m´todo hiperb´li...
20
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Figura 1.16: Hiperbolic fix
por poseer dos campos: un campo el´ctrico y otro campo ...
1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas
e
21
Frecuencia: n´mero de ciclos que completa la onda en un intervalo ...
22
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
λ=
c
f
(1.10)
Fase: la fase de una onda relaciona la posici´n de una caracter´
o...
1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas
e
23
Figura 1.21: Onda con polarizaci´n circular (Wikipedia)
o
Se denom...
24
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Son varios los par´metros de la portadora que se pueden alterar, pero los m´s
a
a
h...
1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas
e
25
Figura 1.24: Modulaci´n en frecuencia (Wikipedia)
o
1.5.3.
El es...
26
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
Abreviatura
Nombre
Frecuencia
Algunos usos
VLF
LF
MF
HF
VHF
UHF
SHF
EHF
Very L...
1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas
e
27
Figura 1.25: Fen´meno de refracci´n (Wikipedia)
o
o
Finalmente, pe...
28
Conceptos de Navegaci´n A´rea
o
e
realidad, m´s que una reflexi´n es una refracci´n progresiva limitada por el
a
o
o
a...
Cap´
ıtulo 2
Forma y Dimensiones de la
Tierra
La navegaci´n a´rea se realiza sobre la superficie de la Tierra, y por ello ...
30
Forma y Dimensiones de la Tierra
C´
ırculo menor Los que se forman a partir de planos que NO pasan por el
centro de l...
2.2. Antecedentes hist´ricos
o
31
Figura 2.4: C´
ırculos menores
en cuenta que adem´s deb´ detenerse para cubrir sus nec...
32
Forma y Dimensiones de la Tierra
que utilizaba los conceptos de latitud y longitud [Wikipedia, 2006f].
El m´todo util...
2.2. Antecedentes hist´ricos
o
33
Figura 2.6: Diagrama del c´lculo de Erat´stenes
a
o
Gracias a esto, Erat´stenes estim...
34
Forma y Dimensiones de la Tierra
imposible para los barcos de la ´poca3 : de no haber estado Am´rica situada
e
e
rela...
2.3. La forma general de la Tierra
35
calibrado sino que oscilaba m´s lentamente. Esto suger´ que el valor de la
a
ıa
gr...
36
Forma y Dimensiones de la Tierra
Figura 2.8: Forma general de la Tierra
Figura 2.9: Forma de pera de la Tierra
2.3. La forma general de la Tierra
37
Figura 2.10: Relieve de la Tierra. Fuente: NOAA
menos del 0,14 % del radio medio d...
38
Forma y Dimensiones de la Tierra
Semieje polar (b) o Semieje menor : longitud del semieje desde el centro
de masas de...
2.3. La forma general de la Tierra
39
e=
√
a2 − b2
a
(2.5)
Los valores de estos par´metros para algunos elipsoides d...
40
2.3.2.
Forma y Dimensiones de la Tierra
El geoide
No obstante la ventaja de ser una figura matem´tica sencilla, el e...
2.3. La forma general de la Tierra
41
vertical entre geoide y elipsoide y pueden apreciarse diferencias de hasta 150 m.
...
42
Forma y Dimensiones de la Tierra
´
Figura 2.14: Geoide en Europa y Africa. Fuente: Misi´n GRACE (NASA).
o
del potenci...
2.4. Sistemas de coordenadas terrestres
43
Figura 2.15: Relaci´n entre el Geoide y el Elipsoide
o
ciona el geoide con el...
44
Forma y Dimensiones de la Tierra
raz´n que hay diferentes sistemas de referencia.
o
En la siguientes secciones se pre...
2.4. Sistemas de coordenadas terrestres
45
La figura 2.16 representa el sistema ECEF.
Es posible que Ud. escuche hablar s...
46
Forma y Dimensiones de la Tierra
tendremos un nuevo sistema ECEF ′ , que no es igual al sistema ECEF inicial
(ver figu...
2.4. Sistemas de coordenadas terrestres
47
Figura 2.18: Rotaci´n alrededor del eje Z
o
Por otra parte, tomando en cuent...
48
Forma y Dimensiones de la Tierra
La expresi´n 2.9 determina la rotaci´n en dos dimensiones. Para obtener la
o
o
expre...
2.4. Sistemas de coordenadas terrestres
Si Rq convierte de p en q, entonces Rq
p
p
T
Rq = Rp ).
q
p
49
T
convierte de q...
50
Forma y Dimensiones de la Tierra


1 β 0
R3 (β) =  −β 1 0 
0 0 1
(2.17)
Matrices de reflexi´n
o
Es posible que...
2.4. Sistemas de coordenadas terrestres
51
La latitud es el par´metro que determina cu´n hacia el norte o hacia el sur
a...
52
Forma y Dimensiones de la Tierra
Figura 2.19: Elevaci´n de Polaris en funci´n de la latitud
o
o
2.4. Sistemas de coordenadas terrestres
Figura 2.20: Sextante. Fuente: Wikipedia
Figura 2.21: Octante. Fuente: Georges J...
Nacc libro
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of 201

Nacc libro

gonzalo santiago martinez www.facebook.com/simpleverso golfsierramike.blogspot.mx
Published on: Mar 3, 2016
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Transcripts - Nacc libro

  • 1. Navegaci´n A´rea, Cartograf´ o e ıa y Cosmograf´ ıa Dagoberto Jos´ Salazar Hern´ndez e a 10 de septiembre de 2008
  • 2. II
  • 3. Datos del documento Navegaci´n A´rea, Cartograf´ y Cosmograf´ por Dagoberto Salazar. o e ıa ıa, 6ta. Versi´n, 2008. o Este documento fue creado dentro del marco de la asignatura Navegaci´n A´rea, o e Cartograf´ y Cosmograf´ (NACC) perteneciente al plan de estudio de Ingenier´ ıa ıa ıa T´cnica Aeron´utica de la Escuela Polit`cnica Superior de Castelldefels, Unie a e versitat Polit`cnica de Catalunya (EPSC-UPC). e Uno de los objetivos principales en su elaboraci´n ha sido abarcar ´reas donde el o a material disponible es insuficiente, poco accesible o disperso. Como consecuencia de esto, se han tomado medidas para que este documento se difunda lo m´ximo a posible. Entre dichas medidas conviene destacar: El texto de este documento se publica utilizando una licencia libre que otorga amplios derechos a los usuarios. Para mayores detalles refi´rase a e la secci´n “Nota Legal” m´s abajo. o a Casi todas las im´genes de este documento son publicadas bajo la misma a licencia libre, al ser de elaboraci´n propia o haber sido tomadas de fuentes o libres tales como la Wikipedia (adecuadamente referenciadas). Aquellas im´genes en las que no se est´ seguro de su libertad han sido a a adecuadamente referenciadas y se incluyen con un fin meramente educativo y limitado bajo la doctrina de fair use. Si el usuario desea hacer alg´n otro u uso de ellas, debe contactar directamente a sus leg´ ıtimos propietarios. En todo caso, actualmente se est´ haciendo un gran esfuerzo para sustituir a esas im´genes por versiones libres. a Se procura que este documento est´ disponible en versiones para imprimir e (formatos PDF y Postscript) y para leer en l´ ınea (formato HTML). Estas versiones (as´ como obras derivadas de este trabajo) pueden obtenerse en ı alguna de las siguientes URLs:
  • 4. Datos del documento IV • http://atenea.upc.edu • http://nacc.upc.es • http://gage6.upc.es A Para obtener las fuentes de este documento (en formato LTEX 2ε ) puede dirigirse a las URL anteriores, utilizar subversion para bajarlas de svn://gage6.upc.es/nacc-libro o escribir al autor: Dagoberto punto Jose punto Salazar en upc punto edu. Si decide obtener las fuentes utilizando subversion, utilize la orden: svn checkout svn://gage6.upc.es/nacc-libro Por otra parte, no s´lo es ´ste un documento libre sino que adem´s se desarrolla o e a con la misma filosof´ del open source, es decir: Mediante un proceso gradual ıa pero continuado de mejoras sucesivas apuntando siempre a un resultado de gran calidad. Por ello, sus comentarios, sugerencias y colaboraciones ser´n ampliamente aa preciados. Por la misma raz´n, visite con frecuencia las URLs mencionadas y o espere grandes cambios y adiciones en el futuro. Agradecimientos Quiero agradecer a todos los alumnos que han cursado la asignatura NACC, quienes con su trabajo, comentarios y correcciones han permitido mejorar este material a lo largo de sus numerosas versiones. Especialmente quiero mencionar a Merixell Vi˜as, Natalia Vega, Jorge G´mez, Segio Gonz´lez y Alberto Hueltes, n o a entre muchos otros. Tambi´n quiero agradecer a mi amigo el Dr. Jordi Bernabeu, quien muy amae blemente ley´, corrigi´, sugiri´ y en general siempre ayud´ de una u otra manera o o o o en la elaboraci´n de este documento. o Nota Legal El texto de este documento se publica utilizando una licencia del tipo ReconocimientoCompartirIgual 2.5 de Creative Commons. Usted tiene libertad para:
  • 5. Datos del documento V Copiar, distribuir y comunicar p´blicamente la obra. u Hacer obras derivadas. Hacer un uso comercial de esta obra. Bajo las condiciones siguientes: Reconocimiento. Debe reconocer los cr´ditos de la obra de la manera e especificada por el autor o el licenciador. Compartir bajo la misma licencia. Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada, s´lo puede distribuir la obra generada bajo una o licencia id´ntica a ´sta. e e Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los t´rminos de e la licencia de esta obra. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor. Los derechos derivados de usos leg´ ıtimos u otras limitaciones reconocidas por ley no se ven afectados por lo anterior. Las im´genes son autor´ de Dagoberto Salazar y publicadas tambi´n bajo la a ıa e licencia Reconocimiento-CompartirIgual 2.5 de Creative Commons, a menos que se especifique lo contrario. En ese caso es posible que tenga que escribir a las respectivas fuentes si desea hacer una reproducci´n de las mismas con fines o comerciales. El material se presenta tal como est´ y no se da ninguna garant´ sobre su a ıa exactitud o veracidad, ni sobre su utilidad o idoneidad para alg´n prop´sito u o espec´ ıfico. Mayor informaci´n en http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/ o Historial de revisiones 1.0 23/Feb/2004 (D.S.). Primera versi´n. o 2.0 13/Sep/2006 (D.S.). Segunda versi´n. o 3.0 18/Abr/2007 (D.S.). Tercera versi´n. o
  • 6. VI 4.0 14/Feb/2008 (D.S.). Cuarta versi´n. o 5.0 03/Mar/2008 (D.S.). Quinta versi´n. o 6.0 10/Sep/2008 (D.S.). Sexta versi´n. o Datos del documento
  • 7. ´ Indice general 1. Conceptos de Navegaci´n A´rea o e 1 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1 1.2. Definiciones b´sicas sobre navegaci´n a´rea . . . . . . . . . . . a o e 2 1.2.1. Curso, derrota, rumbo y marcaci´n . . . . . . . . . . . . o 3 1.2.2. Tiempos estimados en ruta y de llegada . . . . . . . . . 4 1.2.3. El Norte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Tipos de navegaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7 1.3.1. Navegaci´n visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8 1.3.2. Navegaci´n a estima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8 1.3.3. Navegaci´n aut´noma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 10 1.3.4. Navegaci´n basada en ayudas . . . . . . . . . . . . . . . o 11 1.3.5. Navegaci´n por sat´lite . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 12 1.4. M´todos para determinar la posici´n . . . . . . . . . . . . . . . e o 14 1.4.1. M´todo theta-theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 15 1.4.2. M´todo rho-theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17 1.4.3. M´todo rho-rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18 1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas . . . . . . . . . . e 19 1.5.1. Caracter´ ısticas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.2. Concepto de modulaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 23
  • 8. ´ INDICE GENERAL VIII 1.5.3. El espectro electromagn´tico . . . . . . . . . . . . . . . e 25 1.5.4. Propiedades de la propagaci´n . . . . . . . . . . . . . . o 25 2. Forma y Dimensiones de la Tierra 29 2.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 29 2.2. Antecedentes hist´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 30 2.2.1. Primeras mediciones de la Tierra . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2. Situaci´n durante la Edad Media . . . . . . . . . . . . . o 33 2.2.3. Revoluci´n Cient´ o ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. La forma general de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1. El elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2. El geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4. Sistemas de coordenadas terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.1. ECEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2. Latitud, Longitud, Altura (LLA) . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.3. Conversi´n entre ECEF y LLA . . . . . . . . . . . . . . o 56 2.4.4. Sistema de coordenadas local . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.5. El datum geod´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 60 2.5. Sistemas de coordenadas celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5.1. Conventional Inertial System (CIS) . . . . . . . . . . . . 63 2.5.2. Sistema de coordenadas ecuatorial . . . . . . . . . . . . 64 2.5.3. Sistema de coordenadas horizontal . . . . . . . . . . . . 65 2.5.4. Convirtiendo de ECEF a coordenadas horizontales . . . . 66 2.5.5. Distancia al horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.5.6. Sistema de coordenadas ecl´ ıptico . . . . . . . . . . . . . 73 3. Distancias entre puntos sobre la Tierra 75
  • 9. ´ INDICE GENERAL IX 3.1. Relaci´n entre el ecuador y los paralelos . . . . . . . . . . . . . o 76 3.2. Cambiando de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3. Distancia a lo largo de un c´ ırculo m´ximo . . . . . . . . . . . . a 79 3.3.1. M´todo aproximado No 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . e 79 3.3.2. M´todo aproximado No 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . e 82 3.3.3. M´todo Andoyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 85 4. Los movimientos de la Tierra 89 4.1. Rotaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 89 4.1.1. D´ juliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 91 4.2. Traslaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 92 4.2.1. La inclinaci´n de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . o 94 4.2.2. Elevaci´n del Sol sobre el horizonte . . . . . . . . . . . . o 97 4.3. Precesi´n y nutaci´n o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.4. Movimiento del polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5. El Campo Magn´tico de la Tierra e 105 6. El Tiempo 109 6.1. Antecedentes hist´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 o 6.1.1. El Calendario Romano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.1.2. El Calendario Juliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.1.3. El Calendario Gregoriano . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2. Las diferentes escalas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.2.1. Tiempo Solar Verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.2.2. Tiempo Solar Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2.3. Greenwich Mean Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
  • 10. ´ INDICE GENERAL X 6.2.4. Tiempo Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.2.5. Temps Atomique International . . . . . . . . . . . . . . 120 6.2.6. Tiempo Universal Coordinado . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.2.7. Tiempo GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2.8. Tiempo Loran-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7. Cartograf´ Aeron´utica ıa a 123 7.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 o 7.2. Propiedades de las proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.2.1. Conformidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.2.2. Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.2.3. Equidistancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.2.4. Direcci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.3. Clasificaci´n de las proyecciones o . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.3.1. Tipo de superficie de proyecci´n . . . . . . . . . . . . . 129 o 7.3.2. Orientaci´n de la superficie de proyecci´n . . . . . . . . 130 o o 7.3.3. Posici´n de la superficie de proyecci´n . . . . . . . . . . 133 o o 7.3.4. Posici´n del punto de proyecci´n . . . . . . . . . . . . . 134 o o 7.4. Las cartas OACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.4.1. Cartas OACI obligatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4.2. Cartas OACI condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4.3. Cartas OACI opcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.4.4. La carta OACI 1:500 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 A. Vectores y Matrices 141 A.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 a ´ A.2. Algebra de vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
  • 11. ´ INDICE GENERAL XI A.2.1. Adici´n y sustracci´n de vectores y matrices . . . . . . . 145 o o A.2.2. Multiplicaci´n de un vector o una matriz por un escalar . 146 o A.2.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 A.2.4. Multiplicaci´n de una matriz por otra matriz o . . . . . . 147 A.2.5. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 A.3. El determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.3.1. Menor Mij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.3.2. Cofactor Aij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.3.3. Determinante de matrices de dimensiones nxn . . . . . 149 A.3.4. Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 A.3.5. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 A.4. Inversi´n de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 o B. Sistemas de Ecuaciones 155 B.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 o B.2. Sistemas de ecuaciones consistentes e inconsistentes . . . . . . . 157 B.2.1. Diferenciando sistemas consistentes e inconsistentes . . . 157 B.3. Resolviendo sistemas de ecuaciones consistentes . . . . . . . . . 158 B.4. Resolviendo sistemas de ecuaciones inconsistentes . . . . . . . . 161 B.4.1. M´todo de los m´ e ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . 162 B.4.2. M´todo de los m´ e ınimos cuadrados con pesos C. Lista de Acr´nimos o . . . . . . 163 169
  • 12. XII ´ INDICE GENERAL
  • 13. ´ Indice de figuras 1.1. Trayectoria, ruta, tramo y waypoints . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Curso, derrota, rumbo y marcaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . o 4 1.3. Declinaci´n magn´tica en dos puntos diferentes de la Tierra . . o e 6 1.4. Declinaci´n magn´tica - A˜o 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . o e n 6 1.5. Los diferentes nortes y sus diferencias angulares . . . . . . . . . 7 1.6. Navegaci´n a estima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8 1.7. Error acumulativo en la navegaci´n a estima . . . . . . . . . . . o 9 1.8. Vista a´rea de un DVOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 12 1.9. Precision Approach Path Indicator . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.10. Sat´lite GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 14 1.11. Theta fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.12. Theta fix con marco de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.14. Theta-rho fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.15. Rho-rho fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.16. Hiperbolic fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.17. Onda electromagn´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 20 1.18. Propiedades de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.19. Ondas con diferentes fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.13. Theta-theta fix
  • 14. ´ INDICE DE FIGURAS XIV 1.20. Polarizaci´n de las ondas electromagn´ticas . . . . . . . . . . . o e 22 1.21. Onda con polarizaci´n circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 23 1.22. Diagramas de radiaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 23 1.23. Modulaci´n en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 24 1.24. Modulaci´n en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 25 1.25. Fen´meno de refracci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 27 2.1. Los Meridianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Los Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. C´ ırculos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. C´ ırculos menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5. Posici´n relativa entre Alejandr´ y Syene . . . . . . . . . . . . o ıa 32 2.6. Diagrama del c´lculo de Erat´stenes . . . . . . . . . . . . . . . a o 33 2.7. El Elipsoide y la Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8. Forma general de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.9. Forma de pera de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.10. Relieve de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.11. Ejes de un elipsoide de revoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 38 2.12. Comparaci´n entre el Geoide y el Elipsoide . . . . . . . . . . . . o 40 2.13. Diferencia vertical geoide-elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ´ 2.14. Geoide en Europa y Africa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.15. Relaci´n entre el Geoide y el Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . o 43 2.16. Sistema ECEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.17. Rotaci´n del sistema ECEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 46 2.18. Rotaci´n alrededor del eje Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 47 2.19. Elevaci´n de Polaris en funci´n de la latitud . . . . . . . . . . . o o 52
  • 15. ´ INDICE DE FIGURAS XV 2.20. Sextante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.21. Octante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.22. Variaci´n de la posici´n del Sol seg´n la longitud . . . . . . . . o o u 55 2.23. Latitudes geod´tica y geoc´ntrica . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 57 2.24. Sistemas Earth-Centered, Earth-Fixed (ECEF) y North-East-Down (NED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.25. Sistemas ECEF y North-East-Up (NEU) . . . . . . . . . . . . . 60 2.26. Aproximaci´n al geoide con un elipsoide local . . . . . . . . . . o 62 2.27. Sistema CIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.28. Sistema ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.29. Sistemas de coordenadas horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.30. Antena de seguimiento por radar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.31. Sistemas ECEF y NED. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.32. Sistemas ECEF y NED vistos desde el polo norte. . . . . . . . . 69 2.33. Sistemas ECEF y NED vistos lateralmente. . . . . . . . . . . . . 70 2.34. Elevaci´n y azimut en el sistema NEU. . . . . . . . . . . . . . . o 71 2.35. Los diferentes tipos de horizontes . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.36. Sistema ecl´ ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.1. Relaci´n entre el ecuador y los paralelos . . . . . . . . . . . . . o 76 3.2. Diferencia de longitud sobre un paralelo . . . . . . . . . . . . . 77 3.3. Cambiando a coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . 78 3.4. Distancia a lo largo de un c´ ırculo m´ximo . . . . . . . . . . . . a 80 3.5. C´ ırculo m´ximo Barcelona - Nueva York . . . . . . . . . . . . . a 83 4.1. El d´ sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 90 4.2. La ´rbita terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 92
  • 16. ´ INDICE DE FIGURAS XVI 4.3. La Ecl´ ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4. Inclinaci´n terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 95 4.5. Equinoccio de Primavera (Norte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6. Solsticio de Verano (Norte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.7. Precesi´n y Nutaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 99 4.8. Movimiento del polo desde el a˜o 2002 al 2006 . . . . . . . . . 102 n 4.9. Deriva del polo desde el a˜o 1962.5 al 1997.5 . . . . . . . . . . 102 n 5.1. Declinaci´n magn´tica - A˜o 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . 106 o e n 5.2. Inclinaci´n magn´tica - A˜o 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 o e n 5.3. Cambio de posici´n del polo norte magn´tico: 2001-2005 . . . . 107 o e 6.1. Efecto de la excentricidad de la ´rbita terrestre . . . . . . . . . 116 o 6.2. Efecto de la inclinaci´n de la ´rbita terrestre . . . . . . . . . . . 116 o o 6.3. Ecuaci´n del tiempo para el a˜o 2005 . . . . . . . . . . . . . . 118 o n 6.4. Analema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 ´ 7.1. Proyecci´n Mercator (no equivalente): Africa vs. Groenlandia . . 125 o ´ 7.2. Proyecci´n Mollweide (equivalente): Africa vs. Groenlandia . . . 125 o 7.3. L´ ınea Ortodr´mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 o 7.4. Proyecci´n Gnom´nica de una l´ o o ınea ortodr´mica . . . . . . . . . 127 o 7.5. Linea Loxodr´mica o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.6. Lineas Loxodr´micas y Ortodr´micas sobre el globo terr´queo . 128 o o a 7.7. Proyecci´n plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 o 7.8. Proyecci´n cil´ o ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.9. Proyecci´n c´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 o o 7.10. Proyecci´n Plana-Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 o 7.11. Proyecci´n Plana-Transversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 o
  • 17. ´ INDICE DE FIGURAS XVII 7.12. Proyecci´n Plana-Oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 o 7.13. Proyecci´n Cil´ o ındrica-Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.14. Proyecci´n Cil´ o ındrica-Transversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.15. Proyecci´n Cil´ o ındrica-Oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.16. Proyecci´n C´nica-Normal o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.17. Proyecci´n C´nica-Transversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 o o 7.18. Proyecci´n C´nica-Oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 o o 7.19. Proyecci´n Cil´ o ındrica Ecuatorial Tangente . . . . . . . . . . . . 133 7.20. Proyecci´n Cil´ o ındrica Ecuatorial Secante . . . . . . . . . . . . . 133 7.21. Proyecciones c´nicas tangentes y secantes . . . . . . . . . . . . 134 o 7.22. Posiciones del punto de proyecci´n (sobre un plano) . . . . . . . 135 o B.1. Velocidad te´rica de un cohete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 o B.2. Datos de telemetr´ del cohete (2) . . . . . . . . . . . . . . . . 161 ıa B.3. Velocidad del cohete ajustada con LMS . . . . . . . . . . . . . 164 B.4. Datos de telemetr´ del cohete (3) . . . . . . . . . . . . . . . . 165 ıa B.5. Velocidad del cohete ajustada con WMS . . . . . . . . . . . . . 168
  • 18. XVIII ´ INDICE DE FIGURAS
  • 19. ´ Indice de tablas 1.1. Espectro radioel´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 26 2.1. Par´metros de elipsoides de referencia . . . . . . . . . . . . . . a 39 2.2. Par´metros de la Tierra seg´n WGS-84 . . . . . . . . . . . . . . a u 39 2.3. Densidades relativas de materiales de la superficie terrestre. . . . 41 2.4. Ondulaci´n del geoide para algunas ciudades. . . . . . . . . . . o 43 2.5. Coordenadas de algunos lugares de la Tierra . . . . . . . . . . . 56 2.6. Par´metros de algunos datum comunes . . . . . . . . . . . . . . a 62 6.1. Nombres de los antiguos meses romanos . . . . . . . . . . . . . 111 B.1. Datos de telemetr´ de un cohete . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 ıa B.2. Datos de telemetr´ de un cohete (2) . . . . . . . . . . . . . . . 161 ıa B.3. Datos de telemetr´ de un cohete (3) . . . . . . . . . . . . . . . 165 ıa
  • 20. XX ´ INDICE DE TABLAS
  • 21. Cap´ ıtulo 1 Conceptos de Navegaci´n o A´rea e 1.1. Introducci´n o La navegaci´n puede definirse como el conjunto de t´cnicas utilizadas para o e desplazarse entre un par de puntos conocidos, llamados origen y destino, siguiendo una trayectoria tambi´n conocida. e Impl´ ıcita en esta definici´n est´ el procesamiento de informaci´n: es necesario o a o conocer la posici´n en cada momento, y ello implica poseer (de alguna manera) o la informaci´n necesaria y aplicarle los procedimientos y algoritmos adecuados o para obtener dicha posici´n. La manera como se obtenga la informaci´n requerida o o determinar´ el tipo de navegaci´n que est´ siendo utilizada. a o a Si bien durante mucho tiempo el t´rmino navegaci´n estuvo asociado esenciale o mente a barcos, el desarrollo de la aviaci´n le agreg´ una nueva dimensi´n: o o o adem´s de la posici´n horizontal (latitud y longitud), se necesita tambi´n la a o e altura de la aeronave para garantizar que no se acerca peligrosamente a alg´n u obst´culo. Se habla entonces de navegaci´n 3D. a o Finalmente, el gran congestionamiento del espacio a´reo en muchas partes del e mundo hace necesario agregar otra variable m´s: el tiempo. El tener disponible a un sistema de navegaci´n que permita mantener sincronizadas las operaciones de o las aeronaves facilita el introducir m´s aeronaves en el mismo espacio a´reo sin a e ´ comprometer la seguridad. Esta es la navegaci´n 4D, y est´ siendo desarrollada o a actualmente.
  • 22. 2 1.2. Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Definiciones b´sicas sobre navegaci´n a´rea a o e En esta secci´n se proporcionar´n una serie de importantes definiciones que o a determinar´n un lenguaje com´n necesario para todo aqu´l que est´ relacionado a u e e con el tema de la navegaci´n, y que es necesario tener en cuenta para abordar o temas m´s complejos relacionados con la navegaci´n a´rea. a o e Puede obtener mayores detalles y profundizar en estas definiciones si consulta, entre otras, las obras de [Hofmann-Wellenhof et al., 2003], [Calvo, 2002] y [S´ez-Nieto and Portillo-P´rez, 2003]. a e Marco de coordenadas de referencia: define un punto de origen y un conjunto de ejes que parten de dicho origen con una determinada orientaci´n. Estos ejes o son los llamados ejes de coordenadas. Los marcos de referencia pueden o no ser inerciales. Se habla de un marco de referencia inercial si ´ste no est´ sujeto a aceleraciones, encontr´ndose en reposo e a a o en movimiento traslacional uniforme. En los marcos de referencia inerciales se pueden aplicar las leyes de la mec´nica de Newton. a Posici´n: es el conjunto de coordenadas que identifica a un punto dado en un o marco de coordenadas espec´ ıfico. El proceso para hallar la posici´n a menudo o es llamado posicionamiento. Enrutamiento: se denomina as´ al proceso de planificar la ruta adecuada para ı llegar al destino. Guiado: ´ste es el procedimiento para que un veh´ e ıculo siga por la ruta predefinida. Trayectoria: se define como el conjunto de puntos del espacio por los cuales pasa la aeronave durante su vuelo. Ruta: es la curva resultante de proyectar la trayectoria sobre la superficie de la Tierra. Waypoints: son puntos conocidos a lo largo de la ruta, y a menudo resaltan por alguna raz´n en particular (Lugares de reporte obligatorio, puntos de intersecci´n o o de aerov´ etc.). ıas, Tramo: llamado en ingl´s “leg” (pierna), se define como un segmento de ruta e comprendido entre dos waypoints. La Figura 1.1 ilustra la relaci´n entre los conceptos anteriores. o
  • 23. 1.2. Definiciones b´sicas sobre navegaci´n a´rea a o e 3 Figura 1.1: Trayectoria, ruta, tramo y waypoints 1.2.1. Curso, derrota, rumbo y marcaci´n o Curso deseado: es el ´ngulo entre el norte (cualquiera que se est´ usando: a e magn´tico, geogr´fico, etc) y la l´ e a ınea recta que une dos waypoints sucesivos en la ruta. En ingl´s se denomina “Desired Track”, y se abrevia DTK. e Derrota: es el ´ngulo entre el norte y la l´ a ınea tangente a la ruta (dicha tangente corresponde, por cierto, al vector velocidad de la aeronave). En ingl´s se le llama e “Track” o TK. Error transversal: el error transversal o “Cross-Track Error” (XTE) es la distancia perpendicular entre la posici´n de la aeronave y la l´ o ınea que representa al curso deseado. Es conveniente tener en cuenta que la diferencia entre el curso deseado (DTK) y la ruta realmente seguida (TK) por lo general es producida por factores externos tales como el viento cruzado (en el caso de las aeronaves) o las corrientes marinas (si se habla de barcos). Rumbo: el rumbo o “Heading” (HDG) es el ´ngulo entre el norte y el eje a longitudinal de la aeronave (hacia donde apunta su nariz). No coincide necesariamente con el vector velocidad (Track) dado que es posible, por ejemplo, que
  • 24. 4 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e el piloto modifique el rumbo para contrarestar un viento cruzado. Marcaci´n: se define como el ´ngulo entre el norte y la l´ o a ınea recta que une a un punto de referencia dado con la aeronave. A menudo, el punto de referencia coincide con alguna instalaci´n importante en tierra tal como una radioayuda. o En ingl´s se le llama “Bearing”. e Note que el “bearing” depender´ siempre del punto que se est´ tomando como a e referencia. La Figura 1.2 presenta la relaci´n entre los conceptos anteriores. o Figura 1.2: Curso, derrota, rumbo y marcaci´n o 1.2.2. Tiempos estimados en ruta y de llegada ETE: Estimated Time En-route es el intervalo de tiempo estimado que tardar´ la a aeronave en su ruta desde el punto de origen hasta el punto de destino. ETA: Estimated Time of Arrival es la hora estimada en que la aeronave llegar´ a a su punto de destino propuesto.
  • 25. 1.2. Definiciones b´sicas sobre navegaci´n a´rea a o e 1.2.3. 5 El Norte El aparentemente simple concepto de “Norte” engloba una serie de definiciones que es necesario conocer y diferenciar adecuadamente: Norte geogr´fico: es el que viene dado por la intersecci´n del eje de a o 1 rotaci´n de la Tierra con la superficie de la misma . Es llamado tambi´n o e “Norte verdadero”, y en ´l confluyen todos los meridianos. e Norte magn´tico: es el punto donde la mayor parte de las l´ e ıneas de fuerza del campo magn´tico terrestre entran en la superficie. Se puede e detectar utilizando instrumentos tales como la br´jula y la “flux valve” u (equivalente a la br´jula en las aeronaves modernas). u Es importante hacer notar que el norte geogr´fico y el magn´tico NO a e coinciden, y que adem´s el norte magn´tico cambia su posici´n con el a e o tiempo. Declinaci´n magn´tica: es el ´ngulo de desviaci´n entre las posiciones o e a o del norte magn´tico y geogr´fico, vistas desde un punto en particular. Se e a denota como D y se considera positiva cuando el ´ngulo medido est´ hacia a a el Este del norte verdadero, y negativo en caso contrario. En t´rminos pr´cticos, lo anterior significa que si sobre un punto de la e a superficie terrestre la br´jula marca un rumbo de 115o , y sabemos que u la declinaci´n magn´tica en ese punto es 4o E, el rumbo verdadero ser´n o e a o. 119 En la figura que se muestra a continuaci´n se representa la declinaci´n o o magn´tica para dos puntos diferentes de la superficie terrestre. Note que e en uno de ellos la geometr´ es tal que la declinaci´n es cero. ıa o L´ ıneas is´gonas: se llaman as´ a las l´ o ı ıneas que, sobre las cartas de navegaci´n o los mapas, unen puntos que tienen la misma declinaci´n o o magn´tica. Son tambi´n denominadas l´ e e ıneas isog´nicas. Adicionalmente, o si una l´ ınea corresponde a puntos con declinaci´n 0o , se habla de l´ o ınea ag´nica. o Seguidamente se presenta un mapa mundial con los valores de la declinaci´n o magn´tica para el a˜o 2000. e n Norte de la Br´jula: es el norte magn´tico tal y como lo indica a bordo u e el instrumento adecuado (br´jula o flux valve). No indica realmente el u norte magn´tico pues el instrumento comete errores por diversas razones e 1 En realidad esta definici´n incluye tambi´n al polo sur geogr´fico. El norte ser´ entonces o e a a el que se encuentra en el hemisferio con mayor cantidad de tierra emergida sobre el nivel del mar.
  • 26. 6 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Figura 1.3: Declinaci´n magn´tica en dos puntos diferentes de la Tierra o e Figura 1.4: Declinaci´n magn´tica - A˜o 2000 o e n
  • 27. 1.3. Tipos de navegaci´n o 7 (presencia de masas met´licas cercanas, l´ a ıneas de campo magn´tico que e no son horizontales, etc). Desviaci´n magn´tica: es el error angular cometido por la br´jula o flux o e u valve. El fabricante de la aeronave puede corregirla hasta cierto punto. El esquema a continuaci´n presenta la relaci´n entre los nortes geogr´fico, o o a magn´tico y de la br´jula con sus correspondientes diferencias angulares. e u Figura 1.5: Los diferentes nortes y sus diferencias angulares Norte de la Cuadr´ ıcula: cuando se navega a grandes latitudes (muy al norte o muy al sur del planeta), no tiene sentido guiarse por el norte magn´tico debido, entre otras cosas, a las grandes declinaciones implicadas. e Es por ello que se define arbitrariamente el Norte de la Cuadr´ ıcula como el norte indicado por los meridianos de la carta de navegaci´n que se o est´ usando para navegar. a 1.3. Tipos de navegaci´n o En las siguientes secciones se presenta una breve descripci´n de los tipos de o navegaci´n a´rea m´s comunes. o e a
  • 28. 8 1.3.1. Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Navegaci´n visual o En este tipo de navegaci´n, el piloto debe identificar visualmente varios puntos o de referencia a lo largo de su ruta. De esa manera podr´ determinar su posici´n a o correcta y hacer las correcciones necesarias en caso de existir desviaciones. 1.3.2. Navegaci´n a estima o Llamada en ingl´s dead reckoning, representa el proceso mediante el cual, a e partir de una posici´n previa bien conocida (llamada fix), y estimando el vector o velocidad de la aeronave y el tiempo transcurrido, se obtiene (por integraci´n o en funci´n del tiempo) la posici´n actual de la aeronave. o o Figura 1.6: Navegaci´n a estima o Si, dado un marco de referencia arbitrario, las coordenadas de la posici´n previa o conocida P1 son (x1 , y1 ) y las de la nueva posici´n P2 son (x2 , y2 ), entonces o el vector que une ambas posiciones se puede denotar como x12 , y en notaci´n o vectorial: x12 = x2 − x1 = (x2 , y2 ) − (x1 , y1 ) = (x2 − x1 , y2 − y1 ) (1.1) En forma matricial se expresar´ como en la Ecuaci´n 1.2. ıa o x12 = x2 − x1 = x2 y2 − x1 y1 = x2 − x1 y2 − y1 (1.2) Y entonces, la navegaci´n a estima implica que: o t2 x2 = x1 + x12 = x1 + t2 v12 dt = x1 + t1 vdt t1 (1.3)
  • 29. 1.3. Tipos de navegaci´n o 9 N´tese que en la Ecuaci´n 1.3 se asume que el vector x12 es igual a la integraci´n o o o del vector velocidad estimada v. Esto no necesariamente es as´ debido a que ı, el vector velocidad estimada v no necesariamente es igual al vector velocidad real v12 . Esto en general se debe a: Una componente adicional a la velocidad del avi´n, causada t´ o ıpicamente, por el viento (vw ). La acci´n del viento, si no est´ alineada con la velocidad o a del avi´n, lo saca de su curso deseado (Desired Track - DTK). o Por otra parte, si el viento est´ alineado con el vector velocidad del avi´n, a o pero en contra, causar´ una sobre-estimaci´n (overshoot) de la posici´n a o o (se estimar´ que la aeronave est´ m´s all´ de donde realmente est´), y si a a a a a est´ a favor causar´ una sub-estimaci´n (undershoot) de la posici´n. a a o o Un error del sistema de navegaci´n. Los errores m´s perniciosos en este o a sentido son los errores sistem´ticos, que son aquellos en los que hay un a sesgo (o bias) que continuamente altera la medida en una misma direcci´n o (causando, por ejemplo, una desviaci´n constante hacia la derecha de 0.1o o por minuto). Debido al proceso de integraci´n impl´ o ıcito en este tipo de navegaci´n, se tiene o el inconveniente de que los errores son acumulativos, es decir: una peque˜a n desviaci´n en las estimaciones iniciales de la posici´n se va convirtiendo con el o o paso del tiempo en un gran error, tal y como indica la Figura 1.7. Figura 1.7: Error acumulativo en la navegaci´n a estima o Es por esta raz´n que la navegaci´n a estima debe combinarse con otros tipos o o de navegaci´n (el visual, por ejemplo) para obtener una correcci´n de la posici´n o o o que permita empezar una iteraci´n “fresca” del m´todo (es decir, cada cierto o e tiempo hace falta obtener un fix confiable). Tambi´n es conveniente acotar que la navegaci´n a estima en aeron´utica se usa e o a para conocer la posici´n en 2D. Para obtener la altura se utilizan las indicaciones o que proporcionan instrumentos como el alt´ ımetro barom´trico. e
  • 30. 10 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e 1.3.3. Navegaci´n aut´noma o o Se habla de navegaci´n aut´noma cuando ´sta se realiza sin necesidad de utilizar o o e se˜ales emitidas por transmisores de referencia en la tierra o en el espacio. Al n principio se requiere partir de una posici´n conocida y en la pr´ctica es necesario o a cotejar los resultados cada cierto tiempo usando otro tipo de navegaci´n. o La m´s com´n de estas es la Navegaci´n inercial, donde se utiliza un Sistema a u o de Navegaci´n Inercial (INS por sus siglas en ingl´s) que consiste en una o e plataforma estabilizada con gir´scopos que sirve como marco de referencia. o Dentro de dicha plataforma unos aceler´metros y gir´scopos permiten medir los o o cambios de velocidad (tanto traslacional como rotacional) y, mediante integraci´n o sucesiva de los datos, obtener la posici´n de la aeronave y su actitud2 , como se o indica en las Ecuaciones 1.4 y 1.5 v(t) − v0 = x(t) − x0 = t t0 adt t t0 vdt (1.4) ω(t) − ω0 = θ(t) − θ0 = t t0 αdt t t0 ωdt (1.5) Donde: a: Vector aceleraci´n traslacional. o v: Vector velocidad traslacional. x: Vector posici´n. o α: Vector aceleraci´n angular. o ω: Vector velocidad angular. θ: Vector posici´n angular. o Note que seg´n las Ecuaciones 1.4 y 1.5, en realidad se est´ llevando a cabo u a un sofisticado proceso de dead reckoning, y debido a que la plataforma giroestabilizada no es perfecta, en los c´lculos se van introduciendo errores acumua lativos que deben ser corregidos mediante fuentes externas al cabo de un cierto tiempo de vuelo. 2 Se define como actitud de una aeronave los ´ngulos que su morro y alas forman con la a referencia que es el horizonte. De esa manera hablamos de actitud morro arriba, ala izquierda abajo, etc.
  • 31. 1.3. Tipos de navegaci´n o 11 Dicho tiempo es variable seg´n la calidad del INS utilizado: un sistema de u buena calidad acumula un error en distancia de un kil´metro o menos por o hora, y el error angular t´ ıpicamente es menor a pocas d´cimas de grado por e hora [Wikipedia, 2007]. 1.3.4. Navegaci´n basada en ayudas o En este caso se cuenta con la asistencia de dispositivos instalados en tierra que asisten como puntos de referencia en la navegaci´n. Pueden funcionar por radio o o ser de naturaleza visual. Ayudas de radio (Radioayudas) Las radioayudas se pueden clasificar seg´n el tipo de informaci´n que proporu o cionan: Direcci´n a un punto fijo: este tipo de ayudas simplemente indica, o mediante una aguja, la direcci´n en la que tendr´ que volar el piloto para o ıa llegar a un punto de referencia dado. A este tipo pertenece el sistema ADF/NDB. Azimutales: el azimut es el ´ngulo horizontal formado entre un eje de a referencia (por ejemplo el vector radioayuda-norte magn´tico), y el vector e radioayuda-aeronave. En esta clasificaci´n entran, entre otros, el VOR y o el ILS/LLZ. Usar una radioayuda azimutal a menudo se denomina navegaci´n theta o (θ), por la notaci´n que recibe habitualmente el ´ngulo proporcionado o a (azimut). Cenitales: en este caso se proporciona el ´ngulo vertical entre el eje a de referencia radioayuda-horizonte y el vector radioayuda-aeronave. El ILS/GS es el ejemplo t´ ıpico. De distancia: este tipo de ayudas proporcionan la distancia entre radioayuda y aeronave. Como esta distancia a menudo se denota como “rho” (ρ), se habla entonces de navegaci´n rho. A esta categor´ pertenece el o ıa DME. En la Figura 1.8 se presenta la vista a´rea de una estaci´n DVOR en B´lgica. e o e
  • 32. 12 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Figura 1.8: Vista a´rea de un DVOR (Wikimedia) e Ayudas visuales Utilizadas casi desde los inicios mismos de la aviaci´n, por lo general est´n o a asociadas a la operaci´n de aterrizaje: o De punto fijo: permiten identificar f´cilmente desde lo lejos un punto de a referencia importante. El faro aeron´utico es el ejemplo t´ a ıpico. De direcci´n: proporcionan al piloto informaci´n valiosa sobre la direcci´n o o o de, por ejemplo, el viento (manga de viento) o el eje de la pista (luces de eje de pista). De elevaci´n: en este caso se indica al piloto el ´ngulo vertical con el o a que se aproxima a la pista. Entran en esta categor´ los sistemas de luces ıa PAPI, VASI, etc. La Figura 1.9 muestra el t´ ıpico emplazamiento de un sistema PAPI. 1.3.5. Navegaci´n por sat´lite o e Los ultimos avances en la tecnolog´ espacial est´n generando una revoluci´n ´ ıa a o en la manera como se realiza la navegaci´n. De hecho, se estima que antes del o
  • 33. 1.3. Tipos de navegaci´n o 13 Figura 1.9: Precision Approach Path Indicator - PAPI (Wikipedia) 2020 los sistemas basados en navegaci´n por sat´lite sustituir´n a casi todos los o e a dem´s sistemas utilizados actualmente. a Estos sistemas reciben el nombre gen´rico de GNSS (Global Navigation Satellite e Systems) porque su cobertura es mundial. Los representantes m´s importantes a son: GPS: sistema estadounidense de origen militar, es actualmente el m´s a conocido y desarrollado. Empez´ a operar a principios de la d´cada de o e 1980 y se est´n ejecutando planes para su modernizaci´n. a o GLONASS: la respuesta sovi´tica al GPS, con las dificultades econ´micas e o de la ex-URSS cay´ a niveles de inoperatividad. Sin embargo, hay planes o de reactivarlo gracias a la ayuda de la Uni´n Europea. o GALILEO: es el futuro sistema GNSS, totalmente civil, actualmente en desarrollo por parte de la Uni´n Europea. Poseer´ caracter´ o a ısticas que lo har´n mucho m´s avanzado que el GPS. a a La Figura 1.10 es una representaci´n art´ o ıstica de un sat´lite GPS de la generaci´n e o IIF. Es muy importante acotar que en la actualidad ninguno de los sistemas GNSS operativos pueden utilizarse, por s´ solo, como m´todo unico de navegaci´n ı e ´ o a´rea. Hay dos causas principales para esto: e En primer lugar, tanto el sistema GPS como el GLONASS son de naturaleza militar y no hay garant´ de que operen continuamente para los usuarios civiles ıa (GALILEO se encuentra aun en fase de desarrollo). En segundo lugar, ninguno de los sistemas GNSS proporciona actualmente integridad, es decir, la garant´ de que el piloto recibir´ r´pidamente y de ıa a a
  • 34. 14 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Figura 1.10: Sat´lite GPS (Wikimedia) e manera autom´tica la advertencia de que el sistema tiene una falla y dej´ de a o funcionar adecuadamente. Es por esta raz´n que se han desarrollado sistemas adicionales a los GNSS que o ´ los complementan. Estos son los llamados Sistemas de Aumento y existen b´sicamente tres categor´ a ıas: SBAS: sistemas de aumento basados en sat´lites. Proporcionan sat´lites e e auxiliares y estaciones de referencia en tierra con funciones espec´ ıficas que complementan a los GNSS y los hacen aptos para navegaci´n en ruta o y aproximaciones a la pista. Los ejemplos son WAAS (estadunidense), EGNOS (europeo) y MSAS (japon´s). e GBAS: sistemas de aumento basados s´lo en instalaciones en tierra. El o ejemplo t´ ıpico es el LAAS (a´n en desarrollo), son de corto alcance y u est´n enfocados en la asistencia en el aterrizaje. a ABAS: sistemas de aumento basados en instrumentos a bordo de la aeronave. Combinan informaci´n de varios instrumentos aeron´uticos y o a en funci´n de esto monitorizan el estado de los sat´lites GNSS. o e 1.4. M´todos para determinar la posici´n e o Adicionalmente al m´todo dead reckoning, descrito en la Secci´n 1.3.2, existen e o varias maneras de obtener la posici´n seg´n la naturaleza de las ayudas de o u navegaci´n disponibles para el aeronavegante. o
  • 35. 1.4. M´todos para determinar la posici´n e o 1.4.1. 15 M´todo theta-theta e Este m´todo se utiliza cuando se tienen disponibles varias radioayudas de tipo e azimutal, o en general, cuando el sistema de navegaci´n obtiene ´ngulos entre o a ejes de referencia, puntos de referencia y la posici´n actual. o Para explicar los fundamentos del m´todo3 , imagine primero que el sistema de e navegaci´n de la aeronave obtiene el ´ngulo θ1 entre la posici´n de la aeronave, o a o el punto de referencia P1 y un eje de referencia, tal y como ilustra la Figura 1.11. Si el punto de referencia es, por ejemplo, una estaci´n VOR, el eje de referencia o apunta al norte magn´tico. e Figura 1.11: Theta fix El conocimiento del ´ngulo θ1 determina una l´ a ınea de posici´n (o LOP, por o sus siglas en ingl´s). Se sabe entonces que la aeronave se encuentra en alg´n e u lugar a lo largo de LOP1 : la l´ ınea que empieza en el punto P1 y se aleja de dicho punto en la direcci´n θ1 . o Si se toma un marco de referencia rectangular de origen cualquiera, con su eje Y paralelo al el eje de referencia hacia el norte de la radioayuda, y se supone que las coordenadas del punto P1 en dicho sistema vienen dadas por (x1 , y1 ), entonces se tiene una situaci´n como la mostrada en la Figura 1.12. o Entonces, se puede demostrar que la posici´n (xA , yA ) de la aeronave es posible o expresarla de manera simple como la ecuaci´n de una recta: o yA = tan(90 − θ1 )(xA − x1 ) + y1 (1.6) 3 En esta explicaci´n se supondr´ que la superficie de la Tierra es plana, lo cual es una o a aproximaci´n razonable s´lo para distancias mucho menores que el radio de curvatura de la o o Tierra.
  • 36. 16 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Figura 1.12: Theta fix con marco de referencia Sin embargo esta informaci´n, aunque muy util, es insuficiente para determinar o ´ la posici´n exacta de la aeronave: existe un n´mero infinito de posiciones que o u cumple con la condici´n establecida por la LOP1 (Ecuaci´n 1.6). Est´ claro que o o a se tiene una unica ecuaci´n y que existen dos inc´gnitas ´ o o Es por ello que se dice que hay una ambig¨edad en la posici´n. Para resolverla, u o es necesario obtener informaci´n adicional. Hablando en t´rminos matem´ticos, o e a es necesario encontrar otra ecuaci´n que no sea linealmente dependiente de la o primera. Ahora bien, si dentro del alcance del sistema de navegaci´n de la aeronave se o encuentra otra estaci´n VOR P2 que proporcione una segunda medici´n θ2 , la o o situaci´n ser´ la planteada en la Figura 1.13. o a En este caso, se tiene una segunda l´ ınea de posici´n LOP2 , que al intersectarse o con LOP1 proporcionar´ la posici´n de la aeronave. La Ecuaci´n 1.7 representa a o o a LOP2 . yA = tan(90 − θ2 )(xA − x2 ) + y2 (1.7) Las Ecuaciones 1.6 y 1.7 se combinan entonces para resolver el sistema y obtener la posici´n. o Obviamente, en las consideraciones anteriores se ha supuesto que las coordenadas de los puntos P1 y P2 eran conocidas (de all´ que se les considere puntos de ı referencia). Por lo general, esto supone que dichos puntos est´n en lugares fijos. a
  • 37. 1.4. M´todos para determinar la posici´n e o 17 Figura 1.13: Theta-theta fix No obstante, pudiera darse el caso de que dichos puntos fueran m´viles, y o entonces el sistema de navegaci´n deber´ tener informaci´n suficiente para o ıa o calcular la posici´n de los puntos de referencia en cada instante (como se hace, o por ejemplo, con los sat´lites de los sistemas GNSS). e 1.4.2. M´todo rho-theta e En ocasiones, junto con el VOR puede existir una estaci´n DME colocalizada4 o en el punto P1 . En este caso, adem´s de un ´ngulo θ1 se tiene una distancia o a a rango ρ1 , como indica la Figura 1.14. Como puede verse, hay dos l´ ıneas de posici´n: LOP1 correspondiente al ´ngulo o a θ1 y LOP2 , que corresponde al rango ρ1 (de hecho, est´ “l´ a ınea de posici´n” es o en realidad una circunferencia, pero el concepto se mantiene). En la intersecci´n o entre ambas LOPs se encuentra la aeronave. La ecuaci´n que corresponde a LOP2 se puede expresar como en 1.8: o (yA − y1 )2 + (xA − x1 )2 = ρ2 1 (1.8) Note que este sistema puede resolverse incluso si el VOR y el DME no est´n en a el mismo lugar. Asimismo, es posible que la LOP de ρ constante intersecte a la 4 Es decir, colocada en el mismo lugar o muy cerca (a menos de un centenar de metros), y asociada al VOR desde el punto de vista operativo y funcional (por ejemplo, sus frecuencias est´n relacionadas entre si). a
  • 38. 18 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Figura 1.14: Theta-rho fix LOP de θ constante en m´s de un lugar, dando como resultado una ambig¨edad a u que deba resolverse con informaci´n adicional. o 1.4.3. M´todo rho-rho e En este caso, se tienen al menos dos radioayudas que proporcionan informaci´n o de distancia, como se indica en la Figura 1.15. Se puede ver con facilidad la aparici´n de una ambig¨edad en la parte inferior o u de la Figura 1.15. Las fuentes de informaci´n adicional usadas habitualmente o para resolver dicha ambig¨edad son: u Agregar mediciones (ecuaciones) adicionales (de ρ o θ) que permitan discernir la posici´n correcta. o Dado que la aeronave despega de una posici´n conocida, un registro o cuidadoso de la ruta seguida puede permitir discriminar cu´l es la posici´n a o correcta. Esto significa que se est´ utilizando informaci´n adicional del a o pasado (en vez del presente) para resolver la ambig¨edad. u Para veh´ ıculos terrestres y acu´ticos, a veces es posible utilizar informaci´n a o sobre el entorno para resolver la ambig¨edad. Por ejemplo, el sistema de u navegaci´n de un barco puede descartar una ambig¨edad que caiga en o u tierra, y el de un coche podr´ eliminar todas las posiciones posibles que ıa caigan fuera de calles y carreteras.
  • 39. 1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas e 19 Figura 1.15: Rho-rho fix M´todo hiperb´lico e o El m´todo hiperb´lico es una versi´n del ρ-ρ, pero en vez de utilizar los rangos e o o absolutos se utiliza la diferencia entre ellos. Variaciones del m´todo usan la e diferencia entre fases, o tiempos de recepci´n, como muestran los diversos o sistemas de navegaci´n que utilizaban este m´todo, como el Omega, el LORAN, o e el Decca, etc. El uso de la diferencia entre rangos genera LOPs que son hip´rbolas, como e muestra la Figura 1.16. Note que en la Figura 1.16 la ambig¨edad queda resuelta al generar la hip´rbola u e entre los puntos P2 y P3 . 1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas e 1.5.1. Caracter´ ısticas generales Como su nombre lo indica, las radioayudas basan su funcionamiento en las ondas de radio. Por ello, es necesario empezar explicando los conceptos b´sicos a asociados a las ondas en general y a las ondas electromagn´ticas en particular e (de las cuales las ondas de radio son apenas un subconjunto). En este sentido, es menester empezar definiendo lo que es una onda electromagn´tica: es un tipo de radiaci´n en forma de onda que se caracteriza e o
  • 40. 20 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Figura 1.16: Hiperbolic fix por poseer dos campos: un campo el´ctrico y otro campo magn´tico, oscilando e e perpendicularente entre s´ La Figura 1.17 representa una onda electromagn´tiı. e ca: Figura 1.17: Onda electromagn´tica (Wikipedia) e Siguen a continuaci´n una serie de conceptos que es necesario repasar para o entender mejor el comportamiento de estas ondas y sus aplicaciones. Ciclo: se denomina ciclo a cada patr´n repetitivo de una onda. o Per´ ıodo: es el tiempo que tarda la onda en completar un ciclo.
  • 41. 1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas e 21 Frecuencia: n´mero de ciclos que completa la onda en un intervalo de tiempo. Si u dicho intervalo es de un segundo, la unidad de frecuencia es el Hertz (Hz). Otras unidades de frecuencias muy utilizadas (en otros ´mbitos) son las “revoluciones a por minuto” (RPM) y los “radianes por segundo” (rad/s). El per´ ıodo y la frecuencia est´n relacionados como muestra la Ecuaci´n 1.9. a o f= 1 T (1.9) Amplitud: es la medida de la magnitud de la m´xima perturbaci´n del medio a o producida por la onda. Longitud: la longitud de una onda viene determinada por la distancia entre los puntos inicial y final de un ciclo (por ejemplo, entre un valle de la onda y el siguiente). Habitualmente se denota con la letra griega λ (lambda). Un factor importante a tener en cuenta es que el tama˜o y dise˜o de las antenas n n est´ fuertemente influenciado por la longitud de onda. Por ejemplo, una antena a dipolo sencilla debe tener una longitud λ/2 para que sintonice de manera ´ptima o las ondas de longitud λ. Los conceptos anteriores est´n representados en la Figura 1.18: a Figura 1.18: Propiedades de una onda (Wikipedia) Velocidad: las ondas se desplazan a una velocidad que depende de la naturaleza de la onda y del medio por el cual se mueven. En el caso de la luz, por ejemplo, la velocidad en el vac´ se denota c y vale 299.792.458 m/s (aproximadamente ıo 8 m/s). 3 · 10 Los conceptos de velocidad, longitud y frecuencia est´n interrelacionados. Para a el caso de las ondas electromagn´ticas (de las cuales la luz es un ejemplo), la e relaci´n se expresa en la Ecuaci´n 1.10. o o
  • 42. 22 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e λ= c f (1.10) Fase: la fase de una onda relaciona la posici´n de una caracter´ o ıstica espec´ ıfica del ciclo (como por ejemplo un pico), con la posici´n de esa misma caracter´ o ıstica en otra onda. Puede medirse en unidades de tiempo, distancia, fracci´n de la o longitud de onda o (m´s com´nmente) como un ´ngulo. a u a Tome en cuenta que la definici´n de fase conlleva impl´ o ıcita la comparaci´n de o dos ondas de la misma frecuencia, pues en caso contrario no tiene mucho sentido dicha comparaci´n. o La Figura 1.19 muestra varias ondas con diferentes fases. Figura 1.19: Ondas con diferentes fases (Wikipedia) Polarizaci´n: la polarizaci´n representa la orientaci´n con la que la onda oscila, o o o y en el caso particular de las ondas electromagn´ticas, la orientaci´n en la e o oscilaci´n del campo el´ctrico. A menudo esta orientaci´n es una l´ o e o ınea y por ello se habla t´ ıpicamente de ondas con polarizaci´n vertical u horizontal, es o decir, cuando el campo el´ctrico oscila en un plano con esas direcciones. e Figura 1.20: Polarizaci´n de las ondas electromagn´ticas (Wikipedia) o e Adicionalmente, es posible que el campo el´ctrico cambie su orientaci´n conforme e o la onda avanza. Se habla entonces de ondas con polarizaci´n circular (ver la o Figura 1.21). Diagramas de radiaci´n: las ondas electromagn´ticas utilizadas por las radioayudas o e t´ ıpicamente se emiten o reciben utilizando diferentes tipos de antenas. Dependiendo del tipo de antena utilizada, la energ´ electromagn´tica puede o no emitirse (o ıa e recibirse) con igual intensidad en todas las direcciones.
  • 43. 1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas e 23 Figura 1.21: Onda con polarizaci´n circular (Wikipedia) o Se denomina entonces diagrama de radiaci´n (o emisi´n) a un diagrama polar o o que represente la intensidad relativa de la se˜al electromagn´tica en funci´n del n e o azimut alrededor de la antena. En la Figure 1.22 se presentan dos diagramas de radiaci´n. El de la izquierda o es en forma de “ocho” y es muy usado en aviaci´n, mientras que el de la o derecha representa una antena is´tropa (o no-direccional: aquella cuya emisi´n o o o recepci´n no depende de la direcci´n). o o Figura 1.22: Diagramas de radiaci´n (Wikipedia) o 1.5.2. Concepto de modulaci´n o Cuando se compara el rango de frecuencia t´ ıpico de la voz humana (400 Hz a 4000 Hz) con el rango de frecuencia de las ondas de radio (a partir de los 30 kHz, aproximadamente), se hace evidente que no es posible convertir directamente de sonido a radio. Es necesario llevar a cabo un proceso intermedio para transmitir una onda de baja frecuencia utilizando una de mayor frecuencia. Se define entonces la Modulaci´n como el proceso de alterar las caracter´ o ısticas de una onda (llamada portadora o carrier) para que transporte informaci´n. o
  • 44. 24 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Son varios los par´metros de la portadora que se pueden alterar, pero los m´s a a habituales en el contexto aeron´utico son la amplitud y la frecuencia. a AM: en este caso, se modifica la amplitud de la portadora en proporci´n directa o a la se˜al moduladora. Este fue el primer m´todo para la emisi´n de radio n e o comercial. En la Figura 1.23 se esquematiza la modulaci´n AM: o Figura 1.23: Modulaci´n en amplitud (Wikipedia) o FM: en esta forma de modulaci´n la informaci´n se representa mediante variao o ciones de la frecuencia instant´nea de la onda portadora. a La modulaci´n FM se representa en la Figura 1.24: o Bandas laterales: en comunicaciones v´ radio se denomina as´ a las bandas ıa ı de frecuencias superiores y/o inferiores a la de la portadora que aparecen por causa del proceso de modulaci´n. o Canal: se denomina canal a una banda de radiofrecuencia espec´ ıfica que ha sido asignada para un uso dado por medio de acuerdos internacionales. Por ejemplo, los canales de voz en aeron´utica tienen un ancho predefinido de a 50 kHz, lo que incluye el espacio para la banda de voz, las bandas laterales que aparezcan al modular, y unos margenes en los extremos para separarlos adecuadamente de los canales adyacentes.
  • 45. 1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas e 25 Figura 1.24: Modulaci´n en frecuencia (Wikipedia) o 1.5.3. El espectro electromagn´tico e Se denomina espectro electromagn´tico a todo el rango posible de radiaci´n e o electromagn´tica. Esto incluye las ondas de radio, los infrarrojos, la luz, los e ultravioletas, los rayos X, gamma, etc. En funci´n de lo anterior, el espectro radioel´ctrico o de radiofrecuencia (RF) se o e refiere a la porci´n del espectro electromagn´tico en el cual las ondas electroo e magn´ticas pueden generarse alimentando a una antena con corriente alterna. e La Tabla 1.1 presenta las bandas de RF m´s importantes. a Recuerde que a mayor frecuencia la longitud de onda se reduce, raz´n por la o cual es posible encontrar tambi´n la tabla anterior en funci´n de la longitud y e o clasificando el espectro en ondas kilom´tricas, decim´tricas, milim´tricas, etc. e e e 1.5.4. Propiedades de la propagaci´n o Las caracter´ ısticas de la propagaci´n de las ondas electromagn´ticas son imporo e tantes para comprender algunas de las caracter´ ısticas de los sistemas que las utilizan. Por eso, en esta secci´n se repasar´n los aspectos m´s importantes de o a a la propagaci´n. o Hay algunas propiedades generales de la propagaci´n que son independientes de o la frecuencia de la onda RF de la cual se est´ hablando: e
  • 46. 26 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e Abreviatura Nombre Frecuencia Algunos usos VLF LF MF HF VHF UHF SHF EHF Very Low Frequency Low Frequency Medium Frequency High Frequency Very High Frequency Ultra High Frequency Super High Frequency Extremely High Frequency 3-30 kHz 30-300 kHz 300-3000 kHz 3-30 MHz 30-300 MHz 300-3000 MHz 3-30 GHz 30-300 GHz Loran-C ADF/NDB ADF/NDB COMM larga distancia VOR, COMM ACFT DME, radar, GNSS Radar, COMM microondas Radioastronom´ ıa Tabla 1.1: Espectro radioel´ctrico e La velocidad de una onda electromagn´tica es constante mientras no e cambie el medio de propagaci´n. o La velocidad de una onda electromagn´tica en el vac´ es siempre c = e ıo 299.792.458 m/s. Las ondas electromagn´ticas tienden a reflejarse en objetos de tama˜o e n similar a su longitud de onda (λ). Las ondas electromagn´ticas se propagan en l´ e ınea recta mientras no sufran influencias externas ni cambien de medio de propagaci´n. o Es oportuno recordar que la reflexi´n es el cambio abrupto en la direcci´n de o o la onda cuando ´sta llega a la uni´n de dos medios diferentes, regresando al e o medio original. Por otro lado, la refracci´n es el cambio en velocidad de una onda cuando pasa o de un medio a otro. Es de hacer notar que a menudo el cambio en velocidad implica un cambio de direcci´n (dado que la velocidad es un vector). V´ase la o e Figura 1.25. Un concepto estrechamente relacionado con el de la refracci´n es el del ´ngulo o a l´ ımite o ´ngulo cr´ a ıtico. Cuando el ´ngulo de incidencia de la onda con respecto a a la normal es mayor que dicho ´ngulo, la onda se refleja en vez de refractarse. a La expresi´n para el ´ngulo l´ o a ımite es la 1.11, donde n1 y n2 son los ´ ındices de refracci´n de los medios de origen y destino, respectivamente. o θcrit = arcsin( n2 ) n1 (1.11)
  • 47. 1.5. Conceptos sobre las Ondas Electromagn´ticas e 27 Figura 1.25: Fen´meno de refracci´n (Wikipedia) o o Finalmente, pero no por ello menos importante, hay que tener en cuenta que la potencia de una onda electromagn´tica va disminuyendo mientras se aleja de la e fuente con una relaci´n inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. o Por otro lado, hay propiedades de la propagaci´n que son fuertemente depeno dientes de la frecuencia de la onda. Si bien no hay una separaci´n estricta entre o cada caso, se suele dividir a las ondas en tres grandes tipos seg´n su forma u predominante de propagaci´n: o Ondas de tierra Las ondas de tierra u ondas de suelo se caracterizan porque aprovechan las propiedades conductivas del terreno (tierra, agua, etc.) para propagarse. De esta manera, son capaces de sortear grandes obst´culos y llegar muy lejos, con un a alcance casi global. A pesar de su nombre, no es necesario estar en el suelo para poder recibirlas. Este tipo de propagaci´n es predominante en las frecuencias bajas (VLF, LF y o MF, principalmente), y por ello se requiere de grandes antenas y mucha potencia para emitirlas y recibirlas. El hecho de que su alcance sea tan grande limita su uso, pues plantea el problema de potenciales interferencias entre estaciones muy lejanas. Asimismo, su trayectoria puede ser dif´ de predecir dado que se refractan en las fronteras ıcil entre medios diferentes, como por ejemplo las costas (tierra/agua). El Loran-C es una de las pocas radioayudas que utiliza este tipo de ondas. Ondas ionosf´ricas e Las ondas ionosf´ricas u ondas de cielo aprovechan las caracter´ e ısticas el´ctricas e de la ionosfera para propagarse, us´ndola como una especie de “espejo”. En a
  • 48. 28 Conceptos de Navegaci´n A´rea o e realidad, m´s que una reflexi´n es una refracci´n progresiva limitada por el a o o a ´ngulo cr´ ıtico (lo que implica que cierta cantidad de energ´ se escapa al ıa espacio). Es predominante en las frecuencias medias: MF y HF. Evidentemente, una propagaci´n de este tipo se ve fuertemente influenciada o por la geometr´ relativa entre emisor, ionosfera y receptor. Para complicar la ıa situaci´n, la posici´n y caracter´ o o ısticas de la ionosfera son altamente variables, pues dependen del Sol. Por eso, la situaci´n es diferente durante el d´ y durante o ıa la noche, y cambia seg´n la estaci´n del a˜o y el ciclo solar. Adicionalmente, el u o n terminator (frontera entre el d´ y la noche) tambi´n afecta la propagaci´n. ıa e o Debido a esta compleja situaci´n aparecen “zonas de oscuridad”, es decir, zonas o donde no hay recepci´n porque ninguna onda ha rebotado con la geometr´ o ıa adecuada para proporcionar cobertura. Asimismo, es posible que hayan m´ltiples u rebotes sucesivos (proporcionando un alcance muy largo pero inestable). Otro problema que presentan estas ondas es el efecto fadding: a cierta distancia del emisor, el receptor puede recibir la misma onda pero que ha seguido caminos diferentes (una parte se propag´ como onda de tierra y otra como de cielo), o ocasionando interferencia destructiva y resultando en una se˜al que aparece y n desaparece r´pidamente. a En el ´mbito aeron´utico, el ADF/NDB y las comunicaciones de largo/medio a a alcance utilizan este tipo de propagaci´n. o Ondas de l´ ınea de vista Las ondas de este tipo se propagan en l´ ınea recta, de forma an´loga a como a lo har´ la bala de un rifle. Debido a lo anterior, su alcance es limitado y no ıa pueden rodear obst´culos de tama˜o medio. a n Esta limitaci´n se convierte en una ventaja dado que entonces es posible reutilizar o las frecuencias una y otra vez si los emisores/receptores est´n lo suficientemente a alejados entre s´ Adem´s, las frecuencias altas (VHF y superior) en donde este ı. a tipo de propagaci´n predomina son mucho menos suceptibles a la interferencia o por causa de est´ticos. a Debido a sus ventajas, la inmensa mayor´ de las comunicaciones y aplicaciones ıa aeron´uticas modernas (VOR, DME, ILS, GNSS y un largo etc´tera) se hace a e con ondas de l´ ınea de vista.
  • 49. Cap´ ıtulo 2 Forma y Dimensiones de la Tierra La navegaci´n a´rea se realiza sobre la superficie de la Tierra, y por ello es o e necesario conocer la forma y dimensiones de ´sta para entender mejor los e conceptos asociados con el arte de la navegaci´n. o 2.1. Definiciones b´sicas a Con el fin de iniciar el estudio sobre el planeta Tierra, es necesario repasar primero el significado de algunos conceptos importantes. Eje de los polos Es el eje alrededor del cual la Tierra realiza su movimiento de rotaci´n. Pasa por el centro del planeta. o Ecuador Es la intersecci´n de la superficie terrestre con el plano que pasa por o el centro de la Tierra y que es perpendicular al eje de los polos. Meridianos Son las intersecciones de la superficie terrestre con los semiplanos que contienen al eje de los polos. Por tanto, son perpendiculares al Ecuador. Paralelos Son las intersecciones de la superficie terrestre con los planos perpendiculares al eje de los polos. Por ello, el Ecuador es un tipo especial de paralelo (el unico que pasa por el centro de la Tierra). ´ C´ ırculo mayor o c´ ırculo m´ximo Son los que provienen de planos que pasan a por el centro de la Tierra, y por tanto la dividen en dos hemisferios iguales (p.e., el Ecuador y los meridianos son c´ ırculos m´ximos). Se puede a demostrar que sobre la superficie de una esfera, la l´ ınea m´s corta entre a dos puntos es el c´ ırculo m´ximo que los incluye. a
  • 50. 30 Forma y Dimensiones de la Tierra C´ ırculo menor Los que se forman a partir de planos que NO pasan por el centro de la Tierra (p.e., los paralelos). Las siguientes figuras ilustran los conceptos anteriores: Figura 2.1: Los Meridianos Figura 2.2: Los Paralelos Figura 2.3: C´ ırculos mayores 2.2. Antecedentes hist´ricos o El hombre primitivo se mov´ lentamente por la faz de la Tierra, tan s´lo a la ıa o velocidad que le permit´ sus piernas (unos 5 km/h a buen paso). Si tomamos ıan
  • 51. 2.2. Antecedentes hist´ricos o 31 Figura 2.4: C´ ırculos menores en cuenta que adem´s deb´ detenerse para cubrir sus necesidades primarias y a ıa las de la tribu (cazar, beber, cocinar, descansar, etc), es evidente que le requer´ ıa un gran esfuerzo y tiempo recorrer distancias muy peque˜as, comparadas ´stas n e con el radio de la Tierra. En estas condiciones, es f´cil entender porqu´ al principio se pensaba que la a e Tierra era plana: hab´ que recorrer grandes distancias para notar el efecto del ıa radio de curvatura de la superficie terrestre. No obstante, conforme la humanidad empez´ a utilizar medios de transporte o m´s avanzados (caballo, botes, etc.), fue capaz de recorrer mayores distancias a en menor tiempo, y surgi´ la necesidad de desarrollar las artes de la navegaci´n. o o Asimismo, el radio de curvatura de la Tierra empez´ a hacerse m´s evidente. o a Hay elementos que conducen a pensar en una Tierra que no es plana. Por ejemplo, durante los eclipses lunares (cuando la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol), la sombra que se aprecia sobre la Luna es circular, lo que sugiere que la Tierra es una esfera. No obstante, algunos personajes de la antig¨edad u (por ejemplo, el poeta Homero [Wikipedia, 2006i]) atribu´ esto a que la Tierra ıan era un disco plano. Otras formas m´s ex´ticas fueron propuestas en diferentes a o culturas. 2.2.1. Primeras mediciones de la Tierra Sin embargo, varios importantes pensadores griegos (Pit´goras, Arist´teles, a o Arqu´ ımedes y Plat´n) se inclinaban por la esfericidad de la Tierra, si bien m´s o a por razones filos´ficas que cient´ o ıficas (pensaban que la esfera era el s´lido m´s o a perfecto). En todo caso, el fil´sofo griego Erat´stenes de Cyrene (actual Libia) fue la o o primera persona conocida que estim´ la circunferencia de la Tierra utilizando el o m´todo cient´ e ıfico, aproximadamente en el 240 antes de nuestra era. Erat´stenes o vivi´ del a˜o 276 AC al 194 AC, y otro de sus logros es el desarrollo de un sistema o n
  • 52. 32 Forma y Dimensiones de la Tierra que utilizaba los conceptos de latitud y longitud [Wikipedia, 2006f]. El m´todo utilizado por Erat´stenes fue el siguiente: ´l hab´ recibido reportes e o e ıa indicando que en el pueblo de Syene (llamado Aswan en el Egipto moderno), el d´ del solsticio de verano el Sol de mediod´ se reflejaba en las aguas del fondo ıa ıa de un pozo vertical profundo1 . Por otra parte, ´l observ´ que el mismo d´ el Sol no estaba completamente e o ıa vertical sobre Alejandr´ (localizada al norte de Syene, casi en el mismo meridiano. ıa Vea la figura 2.5), donde viv´ porque un gran obelisco generaba sombra, ıa, incluso a mediod´ Erat´stenes midi´ el ´ngulo de dicha sombra con la vertical ıa. o o a o 12’. y determin´ que era de 7 o Figura 2.5: Posici´n relativa entre Alejandr´ y Syene o ıa En dicha ´poca exist´ contadores de pasos, personas que se ganaban la vida e ıan midiendo distancias caminando entre dos puntos dados con una longitud de paso muy regular y contando el n´mero de estos pasos. De acuerdo a los archivos de u la ´poca, la distancia entre Alejandr´ y Syene era de 5000 estadios, donde un e ıa estadio equival´ a 157,5 m [Torge, 1991]. ıa Con la informaci´n anterior (y un esquema adecuado2 como el mostrado en la o figura 2.6), es sencillo estimar el radio de la Tierra utilizando la ecuaci´n: o R= ∆G γ (2.1) Donde ∆G es la longitud del arco entre Alejandr´ y Syene, mientras que γ es ıa el ´ngulo geoc´ntrico entre estas ciudades, expresado en radianes. a e 1 Esto coloca a Syene/Aswan muy cerca del Tr´pico de C´ncer. Razone porqu´. o a e En este esquema se ha colocado el Sol dos veces para indicar que los rayos solares llegan paralelos entre s´ dado que el Sol se encuentra muy lejos comparado con el radio de la Tierra. ı, 2
  • 53. 2.2. Antecedentes hist´ricos o 33 Figura 2.6: Diagrama del c´lculo de Erat´stenes a o Gracias a esto, Erat´stenes estim´ que la circunferencia de la Tierra era de o o 39375 km (es decir, un radio de 6267 km). Dado que el radio medio de la Tierra aceptado hoy en d´ es de unos 6371 km (40030 km de circunferencia), ıa el error cometido estaba alrededor del 2 %, una haza˜a formidable para la ´poca n e y los medios con que se contaba. Erat´stenes no fue el unico en llevar a cabo estos c´lculos. Muchos a˜os despu´s o ´ a n e el matem´tico indio Aryabhata (476-550 DC) logro estimar el tama˜o de la a n Tierra con menos de 1 % de error, el mejor valor obtenido hasta la Revoluci´n o Cient´ ıfica [Wikipedia, 2006a]. 2.2.2. Situaci´n durante la Edad Media o Sin embargo, durante la edad media se perdieron buena parte de los conocimientos obtenidos en la antig¨edad. Claudio Ptolomeo (90-168 DC) se bas´ en u o las estimaciones de Posidonius de una circunferencia terrestre de poco menos de 29000 km para elaborar sus mapas del mundo conocido. Los trabajos de Ptolomeo se convirtieron en dogma de la iglesia cat´lica y por tanto durante o mucho tiempo se tomaron como verdad estos incorrectos valores. La err´nea creencia en una Tierra m´s peque˜a sirvi´ a Crist´bal Col´n para o a n o o o sustentar su plan de llegar a las Indias Orientales (el actual sureste asi´tico) a navegando hacia el oeste. Hoy en d´ sabemos que era algo pr´cticamente ıa a
  • 54. 34 Forma y Dimensiones de la Tierra imposible para los barcos de la ´poca3 : de no haber estado Am´rica situada e e relativamente cerca de Europa, la traves´ por el Oc´ano Pac´ ıa e ıfico hubiera resultado demasiado larga, y los marineros hubieran muerto de hambre y sed4 . 2.2.3. Revoluci´n Cient´ o ıfica A partir de la revoluci´n cient´ o ıfica, la invenci´n del telescopio, el teodolito y los o logaritmos permitieron hacer mediciones y c´lculos m´s precisos. El astr´nomo a a o franc´s Jacques Cassini (1677-1756) midi´ en 1713 el arco del meridiano que e o va desde Dunkerque hasta Perpignan. Luego, dividi´ este arco en dos trozos o y determin´ que las longitudes de arco correspondientes a un grado no eran o iguales en ambos trozos. Concluy´, correctamente, que la forma de la Tierra no o era realmente una esfera sino que se acercaba m´s a un elipsoide de revoluci´n5 , a o como muestra la siguiente figura: Figura 2.7: El Elipsoide y la Esfera Sin embargo, Cassini err´neamente calcul´ que un grado de arco al norte de Par´ o o ıs era m´s largo que un grado de arco al sur, lo que suger´ que el eje m´s largo del a ıa a elipsoide era paralelo al eje de los polos. Esto contradec´ los c´lculos hechos por ıa a Sir Isaac Newton y Christiaan Huygens, basados en la Teor´ de la Gravitaci´n, ıa o y que predec´ un elipsoide achatado en los polos [Wikipedia, 2006i]. ıan Adicionalmente, el astr´nomo J. Richer descubri´ en 1672 que un p´ndulo que o o e hab´ ajustado en Par´ para que oscilara con un per´ ıa ıs ıodo de un segundo, al trasdarlo a Cayena (Guyana Francesa, muy cerca del Ecuador) ya no estaba 3 Algunas fuentes [Wikipedia, 2006c] sugieren que Col´n busc´ los mapas con las distancias o o m´s peque˜as, y adem´s los interpret´ err´neamente a su favor. De all´ la oposici´n a sus a n a o o ı o planes por parte de los asesores de la Reina Isabel La Cat´lica. o 4 Se han dado casos de embarcaciones peque˜as que a la deriva han hecho la traves´ entre n ıa Am´rica y Asia gracias a las corrientes oce´nicas, pero han sido casos puntuales dif´ e a ıciles de repetir con ´xito. e 5 El s´lido definido por una elipse en rotaci´n alrededor de alguno de sus ejes. o o
  • 55. 2.3. La forma general de la Tierra 35 calibrado sino que oscilaba m´s lentamente. Esto suger´ que el valor de la a ıa gravedad hab´ disminuido, y por ende la distancia al centro de la Tierra hab´ ıa ıa aumentado. Esta situaci´n impuls´ a la Academia Francesa de Ciencias a despachar dos o o expediciones con el fin de realizar mediciones m´s precisas: una a Laponia (1736a 37) y la otra a Per´ (1735-44). Los resultados de estas expediciones permitieron u confirmar que los elipsoides te´ricos de Newton y Huygens se acercaban m´s a o a la realidad. Un resultado de la expedici´n a Per´ (as´ como otra realizada por George Everest o u ı a la India) fue el descubrimiento de que la vertical astron´mica6 era modificada o cuando se hac´ mediciones cerca de grandes cordilleras monta˜osas (debido ıan n a la atracci´n gravitatoria de las grandes masas de roca). Esto condujo al o concepto de geoide (forma del campo gravitatorio terrestre) y al estudio de las ondulaciones del geoide, de gran importancia para determinar el nivel medio del mar y la correcta trayectoria de los sat´lites artificiales, entre otros fen´menos. e o Hoy en d´ la ciencia que se encarga de la medici´n y el mapeo de la superficie ıa, o terrestre es llamada Geodesia [Torge, 1991], ciencia fundamental para la navegaci´n de precisi´n moderna. o o 2.3. La forma general de la Tierra Para hacer c´lculos sencillos y aproximados, es conveniente pensar que la Tierra a es una esfera. No obstante, como se vi´ en la secci´n anterior, en la realidad la o o forma de nuestro planeta es m´s compleja: ligeramente achatada en los polos a y abultada en el Ecuador, con el hemisferio sur un poco m´s voluminoso que el a norte, y con la rugosidad propia que le da el relieve del terreno. Observaciones detalladas mediante t´cnicas modernas han mostrado que si e exager´semos estas caracter´ a ısticas, la Tierra se asemejar´ m´s bien a una pera, ıa a como muestra la siguiente figura adaptada de [Seeber, 1993]. N´tese que a esta forma general hay que agregarle la correspondiente a la o orograf´ de la superficie terrestre que es muy compleja, tal y como lo refleja ıa la figura 2.10 que muestra el relieve del planeta, incluyendo el fondo de los oc´anos. e Por otra parte, hay que tener en cuenta que la altura de la monta˜a m´s alta del n a planeta, el Monte Everest, es de 8844 m [Wikipedia, 2006d]. Esto representa 6 La vertical astron´mica es la obtenida utilizando un peso o plomada colgando de un hilo o fino.
  • 56. 36 Forma y Dimensiones de la Tierra Figura 2.8: Forma general de la Tierra Figura 2.9: Forma de pera de la Tierra
  • 57. 2.3. La forma general de la Tierra 37 Figura 2.10: Relieve de la Tierra. Fuente: NOAA menos del 0,14 % del radio medio de la Tierra. Por la raz´n anterior, es razonable o utilizar aproximaciones en vez de la forma general del planeta para muchas aplicaciones, en particular la navegaci´n global. o 2.3.1. El elipsoide En general, es m´s pr´ctico trabajar la forma de la Tierra como si fuera un a a elipsoide, sin considerar las ondulaciones propias de la topograf´ Esto se debe ıa. a que el elipsoide es una figura matem´tica f´cil de usar que es lo suficientemente a a parecida a la forma de la Tierra cuando se est´n trabajando las coordenadas en a el plano: latitud y longitud. Existen diferentes modelos de elipsoides utilizados en geodesia, denominados elipsoides de referencia. Las diferencias entre ´stos vienen dadas por los valores e asignados a sus par´metros m´s importantes: a a Semieje ecuatorial (a) o Semieje mayor : longitud del semieje correspondiente al ecuador, desde el centro de masas de la Tierra hasta la superficie terrestre.
  • 58. 38 Forma y Dimensiones de la Tierra Semieje polar (b) o Semieje menor : longitud del semieje desde el centro de masas de la Tierra hasta uno de los polos. Alrededor de este eje se realiza la rotaci´n de la elipse base7 . o La relaci´n entre el eje ecuatorial y el polar se presenta en la figura 2.11. o Figura 2.11: Ejes de un elipsoide de revoluci´n o Es habitual describir matem´ticamente a una elipse como esta mediante a la ecuaci´n 2.2. o x2 y 2 + 2 =1 a2 b (2.2) Factor de achatamiento (f ): este factor representa qu´ tan diferentes son e los semiejes entre s´ Su expresi´n es: ı. o f =1− b a (2.3) Note que mientras m´s cerca de cero se encuentre f , m´s parecido a una a a esfera es el elipsoide. Por lo general el factor f es muy peque˜o, por lo n que se acostumbra proporcionar 1/f . Por la misma raz´n a veces, y para o c´lculos simples, se utiliza una esfera en vez de un elipsoide8 . a Una manera equivalente de indicar f es mediante la excentricidad de la elipse transversal: e2 = 1 − b2 a2 (2.4) Que es equivalente a: 7 Algunos, aunque pocos, elipsoides de referencia no son de revoluci´n, sino que definen un o tercer eje, ortogonal a los dos anteriores. 8 El factor de achatamiento de la Tierra va disminuyendo muy lentamente con el tiempo. En comparaci´n, la luna es pr´cticamente esf´rica, mientras que J´piter es visiblemente oblongo, o a e u con f = 1/15 [Wikipedia, 2006n].
  • 59. 2.3. La forma general de la Tierra 39 e= √ a2 − b2 a (2.5) Los valores de estos par´metros para algunos elipsoides de referencia importantes a se presentan en la tabla 2.1 (adaptada de [µ-blox ag., 1999]): Nombre Australian National Bessel 1841 Clarke 1866 Clarke 1880 Everest 1956 Fischer 1968 GRS 1980 International 1924 (Hayford) SGS 85 South American 1969 WGS 72 WGS 84 a (m) 6378160.000 6377397.155 6378206.400 6378249.145 6377301.243 6378150.000 6378137.000 6378388.000 6378136.000 6378160.000 6378135.000 6378137.000 b (m) 6356774.719 6356078.963 6356583.800 6356514.870 6356100.228 6356768.337 6356752.314 6356911.946 6356751.302 6356774.719 6356750.520 6356752.314 1/f 298.250000 299.152813 294.978698 293.465000 300.801700 298.300000 298.257222 297.000000 298.257000 298.250000 298.260000 298.257224 Tabla 2.1: Par´metros de elipsoides de referencia a Uno de los elipsoides de referencia m´s utilizados actualmente es el descrito en a el sistema denominado World Geodetic System 84 (WGS-84), desarrollado por el Departamento de Defensa de los EEUU, y que tiene como origen el centro de masas de la Tierra. Su popularidad se debe a que es el utilizado por el sistema de posicionamiento global por sat´lite Global Positioning System (GPS). e El elipsoide WGS-84 define los par´metros para la Tierra indicados en la tabla a 2.2.9 Nombre Semieje mayor de la elipse Semieje menor de la elipse Factor de achatamiento Velocidad angular de la Tierra S´ ımbolo a b f = a−b a ωe Valor 6378,137000 km 6356,752314 km 1/298,257223563 7292115 . 10−11 rad/s Tabla 2.2: Par´metros de la Tierra seg´n WGS-84 a u 9 Note que, en realidad, un elipsoide de referencia no solamente define par´metros a relacionados con la forma, sino que tambi´n puede proporcionar par´metros f´ e a ısicos como la velocidad angular ω.
  • 60. 40 2.3.2. Forma y Dimensiones de la Tierra El geoide No obstante la ventaja de ser una figura matem´tica sencilla, el elipsoide no es a adecuado cuando lo que deseamos medir son altitudes. Dado que la mayor parte de la Tierra est´ cubierta por mares y oc´anos (70,8 %, seg´n [Wikipedia, 2006d]), a e u entonces la superficie de referencia por excelencia para medir altitudes es el nivel medio del mar. Adem´s, este nivel medio es una mejor aproximaci´n a la forma a o real de la Tierra vista desde el espacio. El nivel medio del mar, a su vez, depende de las irregularidades en el campo gravitatorio de la Tierra (v´ase la secci´n 2.2.3), que alteran su posici´n. El e o o agua de los oc´anos del globo busca estar en equilibrio, y por ello tiende a e seguir una superficie gravitatoria equipotencial. Es por esto que se introduce una nueva figura llamada Geoide, definida como: la superficie equipotencial del campo gravitatorio de la Tierra que mejor se ajusta (en el sentido de m´ ınimos cuadrados), al nivel medio global del mar 10 (ver [National Geodetic Survey, 2006]). Una de las consecuencias de esta definici´n o es que el geoide es siempre perpendicular al vector de gravedad local en cada punto. La figura 2.12 (adaptada de [Seeber, 1993]) muestra una comparaci´n entre el o geoide y el elipsoide: Figura 2.12: Comparaci´n entre el Geoide y el Elipsoide o Como ya se mencion´, es f´cil asociar el geoide al nivel medio del mar en las o a zonas oce´nicas. Esto se muestra en la figura 2.13, donde se grafica la diferencia a 10 Estrictamente, el nivel medio del mar no coincide exactamente con el geoide. Existe una peque˜a diferencia introducida por la salinidad, las corrientes, la temperatura y otros efectos n locales.
  • 61. 2.3. La forma general de la Tierra 41 vertical entre geoide y elipsoide y pueden apreciarse diferencias de hasta 150 m. Por otra parte, sobre los continentes lo que se hace es tomar medidas cuidadosas para extender el concepto a las zonas secas, lo que permite utilizar una referencia de alturas com´n y coherente11 . u Figura 2.13: Diferencia vertical geoide-elipsoide. Fuente: NASA. Medir el geoide a nivel mundial es una tarea dif´ pues la corteza terrestre no ıcil, es homog´nea y por tanto su densidad no es uniforme, lo que altera la fuerza e de gravedad en un punto dado. Asimismo, ya se coment´ que grandes masas de o rocas (como cordilleras, monta˜as y volcanes) pueden alterar tambi´n el vector n e de gravedad local. La tabla 2.3 muestra densidades para diferentes materiales que componen la superficie terrestre (adaptadas de [Torge, 1991]), mientras que la figura 2.14 presenta una gr´fica que muestra (de manera muy exagerada) la a ´ forma del geoide en el hemisferio que contiene Europa y Africa. Material Agua Sedimentos Granito Flujos de lava Basalto Peridotita Densidad (kg/m3 ) 1030 2000 a 2500 2500 a 2800 2700 2700 a 3100 3300 a 3400 Tabla 2.3: Densidades relativas de materiales de la superficie terrestre. Si bien el geoide es una superficie compleja, es posible aproximarse a la expresi´n o 11 Recuerde que el alt´ ımetro (un importante instrumento para la navegaci´n a´rea) lo que o e hace es medir presiones atmosf´ricas, y que ´stas a su vez dependen del nivel medio del mar. e e
  • 62. 42 Forma y Dimensiones de la Tierra ´ Figura 2.14: Geoide en Europa y Africa. Fuente: Misi´n GRACE (NASA). o del potencial gravitatorio de la Tierra (de donde el geoide se deriva) mediante un desarrollo en serie en esf´ricos arm´nicos 12 (para mayores detalles consulte e o [Wikipedia, 2006g] y [Wikipedia, 2006o]). Por otro lado, es posible relacionar matem´ticamente al geoide y el elipsoide a mediante la expresi´n: o h=H +N (2.6) Donde h es la altura de un punto con respecto al elipsoide(altura elipsoidal), N es la altura del geoide respecto al elipsoide (ondulaci´n del geoide) y H es la o altura del punto con respecto al geoide (llamada altura ortom´trica). La figura e 2.15 muestra esta relaci´n. o Note que tanto h como N son perpendiculares al elipsoide de referencia, mientras que H es la altura medida a lo largo de la l´ ınea de plomada (perpendicular al geoide y cuya curvatura ha sido exagerada en la figura). Mediante esta relaci´n, y con la ayuda de las series en esf´ricos arm´nicos o e o mencionadas previamente, es posible escribir programas que aproximen los valores del geoide. Un ejemplo de ello es el proporcionado por la National GeospatialIntelligency Agency (NGA) (ver [NGA, 2006b] y [NGA, 2006a]), donde se rela12 Los coeficientes de esta serie son muy importantes para determinar la ´rbita de los sat´lites o e artificiales. Por ejemplo, el coeficiente C20 produce en los sat´lites GPS una desviaci´n en la e o ´rbita de 2 km en 3 horas ([Hernandez-Pajares et al., 2001]) o
  • 63. 2.4. Sistemas de coordenadas terrestres 43 Figura 2.15: Relaci´n entre el Geoide y el Elipsoide o ciona el geoide con el elipsoide WGS-84. La tabla 2.4 presenta los valores de N (ondulaci´n del geoide) para algunas o ciudades del mundo seg´n el NGA WGS 84 Geoid Calculator ([NGA, 2006a]). u Ciudad Barcelona Berl´ ın Buenos Aires Lahore Londres Madrid Quito Seattle Singapur Tel Aviv N (m) 48,61 39,79 14,34 -43,60 47,37 53,44 26,13 -19,38 7,03 17,30 Tabla 2.4: Ondulaci´n del geoide para algunas ciudades. o 2.4. Sistemas de coordenadas terrestres Ubicar un punto en el espacio significa saber su posici´n, entendida ´sta como o e la separaci´n (medida como distancia o ´ngulos) que existe entre el punto dado o a y puntos o ejes de referencia predeterminados. Surge entonces la necesidad de asignar dichas referencias de manera formal, lo que define un sistema de referencia. Hay muchas maneras diferentes de definir las referencias, principalmente en funci´n del uso que se le dar´, y es por esa o a
  • 64. 44 Forma y Dimensiones de la Tierra raz´n que hay diferentes sistemas de referencia. o En la siguientes secciones se presentan algunos sistemas utilizados para ubicar los puntos con respecto a la superficie terrestre, denominados sistemas de referencia terrestres o sistemas de coordenadas terrestres. 2.4.1. ECEF El sistema denominado ECEF es un sistema de coordenadas Cartesiano muy utilizado en GPS que, como su nombre lo indica, est´ centrado en la Tierra y a rota fijado a su superficie. Tambi´n es llamado Conventional Terrestrial System e (CTS). Las caracter´ ısticas principales del sistema ECEF son: Utiliza coordenadas tridimensionales en los ejes X, Y , Z, habitualmente expresadas en metros. Su centro es el centro de masas de la Tierra. El eje Z coincide con el eje de rotaci´n de la Tierra convencional. Como se o ver´ m´s adelante, el eje de rotaci´n terrestre tiene peque˜as variaciones a a o n a lo largo del tiempo con respecto a la superficie de la Tierra (el polo norte geogr´fico se mueve). Por esa raz´n, se defini´ el Conventional a o o International Origin (CIO) como la definici´n est´ndar para el polo norte. o a El eje X viene dado por la intersecci´n entre el Meridiano de Greenwich o y el plano que pasa por el centro de masas de la Tierra y es ortogonal al eje Z 13 . El eje Y est´ definido por la direcci´n que es perpendicular a los dos ejes a o anteriores y su sentido es tal que: XxY = Z Es decir, Z es el producto vectorial de X e Y , y el sistema est´ orientado a a derechas14 . 13 Este plano define al ecuador al intersectar la superficie terrestre Un sistema a derechas es tal que. al aplicar la regla de la mano derecha a los vectores X e Y , el pulgar apunta en la direcci´n de Z. Si apunta en sentido contrario, se dice que el sistema o es a izquierdas. Esta diferencia es importante a la hora de realizar operaciones vectoriales en uno u otro sistema, pues el signo del resultado puede variar. 14
  • 65. 2.4. Sistemas de coordenadas terrestres 45 La figura 2.16 representa el sistema ECEF. Es posible que Ud. escuche hablar sobre sistemas de referencia y marcos de referencia. Los primeros pueden verse como una ”definici´n te´rica´´, mientras o o que los segundos implican que se han hecho las observaciones pertinentes para definir los par´metros necesarios (posici´n del polo, ubicaci´n del centro de a o o masas, etc.). Debido a que estos par´metros pueden cambiar con el tiempo, los marcos de a referencia habitualmente vienen asociados a su a˜o de definici´n. Por ejemplo, n o el International Terrestrial Reference Frame (ITRF) tiene las versiones ITRF94, ITRF96, ITRF97 e ITRF2000 [ITRF, 2006]. Figura 2.16: Sistema ECEF Matrices de rotaci´n o A menudo es necesario convertir de un sistema a otro mediante rotaciones alrededor de los ejes de coordenadas. Un ejemplo de esto es cuando en un momento dado representamos la posici´n de un sat´lite artificial en el sistema o e ′ , la posici´n del sat´lite habr´ variado debido al ECEF. Un tiempo despu´s t e o e a movimiento en su ´rbita, pero tambi´n la Tierra habr´ rotado, de modo que o e a
  • 66. 46 Forma y Dimensiones de la Tierra tendremos un nuevo sistema ECEF ′ , que no es igual al sistema ECEF inicial (ver figura 2.17). Figura 2.17: Rotaci´n del sistema ECEF o Es por esto que debemos convertir las coordenadas del sat´lite a un sistema e com´n para conocer c´mo se movi´ en realidad. En este ejemplo, si tenemos u o o el tiempo transcurrido y conocemos la velocidad angular de rotaci´n de la o Tierra15 ), sabremos el ´ngulo con el cual difieren ambos sistemas (note que a la rotaci´n s´lo sucede alrededor del eje Z). o o La figura 2.18 ilustra la rotaci´n alrededor del eje Z del sistema XY en X ′ Y ′ . o Note que la distancia r desde el origen al punto P es igual en ambos sistemas, de modo que las respectivas coordenadas (x, y) y (x′ , y ′ ) se pueden escribir: x = r cos α y = r sin α x′ = r cos(α − β) y ′ = r sin(α − β) 15 Ver tabla 2.2.
  • 67. 2.4. Sistemas de coordenadas terrestres 47 Figura 2.18: Rotaci´n alrededor del eje Z o Por otra parte, tomando en cuenta las expresiones para diferencias de ´ngulos: a x′ = r cos(α − β) = r(cos α cos β + sin α sin β) → x′ = r cos α cos β + r sin α sin β → x′ = x cos β + y sin β (2.7) y ′ = r sin(α − β) = r(sin α cos β − cos α sin β) → y ′ = r sin α cos β − r cos α sin β → y ′ = −x sin β + y cos β (2.8) Las ecuaciones 2.7 y 2.8 se pueden escribir de manera matricial as´ ı: x′ y′ = cos β sin β − sin β cos β x y (2.9)
  • 68. 48 Forma y Dimensiones de la Tierra La expresi´n 2.9 determina la rotaci´n en dos dimensiones. Para obtener la o o expresi´n tridimensional basta saber que en este caso la rotaci´n es excluo o sivamente alrededor del eje Z y por tando las coordenadas z se mantienen constantes. Entonces la rotaci´n alrededor de Z es: o     cos β sin β 0 x x′  y ′  =  − sin β cos β 0   y  0 0 1 z z′  (2.10) Siguiendo un procedimiento semejante se pueden deducir las expresiones de rotaci´n alrededor de X e Y . Como a los ejes coordenados X, Y , Z se les suele o denotar como 1, 2 y 3, a las matrices de rotaci´n correspondientes se les llama o R1 , R2 y R3 :  (2.11)  (2.12)  (2.13)  1 0 0 R1 (β) =  0 cos β sin β  0 − sin β cos β  cos β 0 − sin β  1 0 R2 (β) =  0 sin β 0 cos β  cos β sin β 0 R3 (β) =  − sin β cos β 0  0 0 1 La convenci´n para el signo de β es muy importante: el ´ngulo ser´ positivo o a a cuando la rotaci´n alrededor del eje se realiza en el sentido de la regla de la mano o derecha. Por ello en la figura 2.18 se consideraba la rotaci´n como positiva. o En general, la rotaci´n de un sistema de coordenadas p a otro sistema q se o puede expresar como: xq = Rq xp p (2.14) Donde xq es el vector definido en el sistema q, xp es el vector definido en el sistema p, y Rq es la matriz de rotaci´n que convierte de p a q. o p Las matrices de rotaci´n as´ definidas son ortogonales y tienen por tanto unas o ı importantes propiedades:
  • 69. 2.4. Sistemas de coordenadas terrestres Si Rq convierte de p en q, entonces Rq p p T Rq = Rp ). q p 49 T convierte de q en p (es decir, El determinante es 1 (det(Rq ) = 1). p T T Rq Rq = Rq Rq = I, donde I es la matriz identidad. p p p p Rq p −1 T = Rq . p Cualquier rotaci´n de p en q se puede realizar mediante la composici´n o o de rotaciones sucesivas alrededor de los ejes 1, 2 y 3 (en ese orden): Rq = R3 (β3 )R2 (β2 )R1 (β1 ) p . Matrices de rotaci´n para ´ngulos peque˜os o a n En ocasiones sucede que el ´ngulo de rotaci´n a aplicar es peque˜o (menor a o n a 10o ). Si es ese el caso, es posible aprovechar las siguientes aproximaciones (v´lidas s´lo para ´ngulos expresados en radianes): a o a sin ǫ ≃ ǫ cos ǫ ≃ 1 Entonces, las matrices de rotaci´n se podr´n escribir as´ o a ı:  (2.15)  (2.16)  1 0 0 R1 (β) =  0 1 β  0 −β 1  1 0 −β R2 (β) =  0 1 0  β 0 1
  • 70. 50 Forma y Dimensiones de la Tierra   1 β 0 R3 (β) =  −β 1 0  0 0 1 (2.17) Matrices de reflexi´n o Es posible que para un sistema de coordenadas dado nos interese cambiar el sentido en que apunta alguno o varios de sus ejes. Esto se puede lograr utilizando las llamadas matrices de reflexi´n, que son variaciones de la matriz identidad o pero que cambian de signo las coordenadas del eje de inter´s: e   −1 0 0 S1 (β) =  0 1 0  0 0 1  1 0 0 S2 (β) =  0 −1 0  0 0 1 (2.18)  (2.19)  (2.20)  1 0 0 S3 (β) =  0 1 0  0 0 −1 2.4.2. LLA En este caso, el sistema utilizado consiste en dividir la superficie terrestre en una cuadr´ ıcula imaginaria formada por los paralelos y meridianos. Dado que la superficie del geoide es bidimensional, hacen falta al menos dos par´metros para a especificar la posici´n. Tales par´metros son llamados latitud y longitud. o a Latitud
  • 71. 2.4. Sistemas de coordenadas terrestres 51 La latitud es el par´metro que determina cu´n hacia el norte o hacia el sur a a se encuentra ubicado el punto. La referencia ´ptima para esta medici´n es el o o ecuador, y por tanto a ´ste se le asigna latitud 0o . e Por otra parte, a cada uno de los polos se le asigna la latitud 90o (N - norte o S - sur, dependiendo del que se trate. Tambi´n es posible denotar las latitudes e o corresponden al ´ngulo que forma el al sur con un signo negativo). Estos 90 a polo con el centro de la tierra y el ecuador. Por tanto, la latitud tiene un rango de 0o a 90o (un cuarto de esfera terrestre). Los paralelos, al serlo con respecto al ecuador, representan planos de latitud fija. Por ello se puede hablar del “paralelo 55o ”. Algunos paralelos notables que hemos mencionado previamente son: Tr´pico de C´ncer : latitud 23o 27’ N. o a Tr´pico de Capricornio: latitud 23o 27’ S. o ´ C´ ırculo Polar Artico: latitud 66o 33’ N. C´ ırculo Polar Ant´rtico: latitud 66o 33’ S. a En la navegaci´n tradicional, la latitud ha sido un par´metro relativamente o a sencillo de obtener. Justo sobre el polo norte se encuentra una estrella relativamente brillante llamada Polaris o Estrella Polar . Dado que Polaris se encuentra alineada con el eje de rotaci´n de la Tierra, su o posici´n permanece invariable durante la noche, consistiendo en un buen punto o de referencia en una noche clara. Como se muestra en la figura 2.19, la elevaci´n de Polaris sobre el horizonte o ser´ funci´n de la latitud del navegante16 . Utilizando entonces un instrumento a o para medir elevaciones (como por ejemplo el sextante 17 ), es posible determinar la latitud. En la figura 2.20 se aprecia uno de estos dispositivos (ver figura 2.21 para un ejemplo del hermano m´s peque˜o del sextante: el octante). a n Es necesario agregar que, en realidad, para encontrar la latitud con este m´todo e se puede utilizar cualquier cuerpo celeste del cual se sepa su declinaci´n18 en o un momento dado, incluyendo el Sol. 16 En este esquema se ha colocado a Polaris varias veces para indicar que, al quedar muy lejos comparado con el radio de la Tierra, sus rayos llegan paralelos. 17 Llamado as´ porque su escala es de un sexto de c´ ı ırculo. 18 Cu´n hacia el norte o hacia el sur del ecuador celeste se encuentra el cuerpo. a
  • 72. 52 Forma y Dimensiones de la Tierra Figura 2.19: Elevaci´n de Polaris en funci´n de la latitud o o
  • 73. 2.4. Sistemas de coordenadas terrestres Figura 2.20: Sextante. Fuente: Wikipedia Figura 2.21: Octante. Fuente: Georges Jansoone. Wikimedia Commons 53