EL TEOREMA DE G¨ODEL
ERNEST NAGEL & JAMES R. NEWMAN
´Indice
1. Introducci´on 1
2. El problema de la consistencia 3
3. Prue...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 1
1. Introducci´on
En 1931 apareci´o en una publicaci´on cient´ıfica a...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 2
descubrieron lo que se conoce con el nombre de ((m´etodo axiom´atic...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 3
pueda llegar a ser plenamente axiomatizada. Y a´un m´as, demostr´o ...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 4
de ejemplo lo siguiente. Los griegos hab´ıan propuesto tres problem...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 5
planteada por el axioma de las paralelas oblig´o a admitir que Eucl...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 6
desempe˜na papel esencial alguno en el proceso de deducir teoremas....
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eucl´ıdea o de la aritm´etica, pero este hecho no caus´o ninguna al...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 8
que los teoremas ya deducidos no se contradicen entre s´ı, toda vez...
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un miembro de L)) en el sentido de que un punto que es un
v´ertice ...
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ser´ıa l´ogicamente incompleta, pues aun cuando todos los hechos o...
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la dificultad queda minimizada, si no completamente eliminada, all´...
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claridad de las nociones implicadas en las hip´otesis y pese al ca...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 13
familiares y aparentemente convincentes modos de razonamiento. Los...
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peligro de utilizar cualesquiera reglas no declaradas de razonamie...
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afirma algo acerca de la expresi´on indicada. La proposici´on no ex...
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(esto es, no es posible derivar de los axiomas de la aritm´etica d...
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descripci´on. Concretamente, trat´o de desarrollar un m´etodo que ...
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figura ser una cierta regi´on geogr´afica, etc. Pero semejantes esti...
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—tomaremos un fragmento de los Principia— y explicar c´omo puede d...
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Obs´ervese el punto n´umero 5 de la argumentaci´on. ¿De d´onde pro...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 21
clase de los destacados en matem´aticas se compone exactamente de ...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 22
era que todas las nociones aritm´eticas pueden ser definidas en ide...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 23
valor inestimable para el ulterior estudio de la cuesti´on de la c...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 24
Para la l´ogica de las proposiciones (frecuentemente llamada el c´...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 25
(los murci´elagos son ciegos y los murci´elagos comen ratones)’10....
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de utilizar un simbolismo especial en la l´ogica formal. Es import...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 27
1.- La propiedad debe ser com´un a todos los axiomas. (Una propied...
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Hacemos aplicaci´on de esta idea para definir una tautolog´ıa en nu...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 29
Hemos alcanzado nuestro objetivo. Hemos encontrado una f´ormula po...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 30
de la l´ogica formal, y su vocabulario y su aparato formal no son ...
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punto merece ser ilustrado con un ejemplo. Las matem´aticas abunda...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 32
perfecto puede ser definida como ((ser el producto de alg´un n´umer...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 33
es richardiano si, y solamente si, n carece de la propiedad design...
El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 34
las relaciones entre las propiedades de las corrientes el´ectricas...
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que esta f´ormula no es demostrable dentro del c´alculo. De ah´ı s...
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El teorema de Gödel

Autores: ERNEST NAGEL & JAMES R. NEWMAN En castellano (SPANISH)
Published on: Mar 3, 2016
Published in: Engineering      
Source: www.slideshare.net


Transcripts - El teorema de Gödel

  • 1. EL TEOREMA DE G¨ODEL ERNEST NAGEL & JAMES R. NEWMAN ´Indice 1. Introducci´on 1 2. El problema de la consistencia 3 3. Pruebas absolutas de consistencia 13 4. La codificaci´on sistem´atica de la l´ogica formal 18 5. Un ejemplo de prueba absoluta de consistencia 23 6. La idea de representaci´on y su empleo en las matem´aticas 29 7. Las pruebas de G¨odel 35 7.1. La numeraci´on de G¨odel 35 7.2. La aritmetizaci´on de la metam´atematica 38 7.3. El n´ucleo de la argumentaci´on de G¨odel 41 8. Reflexiones finales 47 Notas a Pie de P´agina 49 Bibliograf´ıa 67
  • 2. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 1 1. Introducci´on En 1931 apareci´o en una publicaci´on cient´ıfica alemana un trabajo, re- lativamente corto, que llevaba el impresionante t´ıtulo de ((Sobre las propo- siciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas conexos)). Su autor era Kurt G¨odel, a la saz´on un joven matem´atico de veinticinco a˜nos de la Universidad de Viena y, desde 1938, miembro per- manente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Dicho trabajo constituye una piedra miliaria en la historia de la l´ogica y las matem´aticas. Cuando la Universidad de Harvard le invisti´o como doctor honoris causa en 1952, la menci´on describi´o la obra como uno de los m´as importantes avances que en el campo de la l´ogica se han realizado en los tiempos modernos. En la ´epoca de su publicaci´on, sin embargo, ni el t´ıtulo del trabajo de G¨odel ni su contenido eran inteligibles para la mayor´ıa de los matem´ati- cos. Los Principia Mathematica mencionados en el t´ıtulo son el monumental tratado en tres vol´umenes debido a Alfred North Whitehead y Ber- trand Russell sobre la l´ogica matem´atica y los fundamentos de las ma- tem´aticas, y el conocimiento de esa obra no es un requisito indispensable para la realizaci´on de una fructuosa investigaci´on en la mayor´ıa de las ra- mas de la ciencia matem´atica. Adem´as, el trabajo de G¨odel versa sobre una serie de cuestiones que nunca han atra´ıdo m´as que a un grupo relativamente reducido de estudiosos. El razonamiento del teorema era tan nuevo en el momento de su publicaci´on, que s´olo quienes se hallaban pertrechados con un profundo conocimiento de la literatura t´ecnica sumamente especializada pod´ıan seguir y comprender plenamente la l´ınea argumentativa del mismo. Actualmente, sin embargo, las conclusiones establecidas por G¨odel son por todos reconocidas como verdaderamente revolucionarias por su honda sig- nificaci´on filos´ofica. La finalidad del presente ensayo es hacer accesibles a los no especialistas el n´ucleo esencial de los hallazgos de G¨odel y las l´ıneas generales de su teorema. El famoso trabajo de G¨odel se centr´o sobre un importante problema ra- dicado en el fundamento mismo de las matem´aticas. Antes de entrar de lleno en su exposici´on, ser´a conveniente dar una breve explicaci´on del terreno en que se desenvuelve dicho problema. Todo el que haya estudiado geometr´ıa elemental recordar´a, sin duda, que ´esta es ense˜nada como una disciplina de- ductiva. No se la presenta como una ciencia experimental, cuyos teoremas deban ser aceptados por hallarse de acuerdo con lo que ense˜na la observa- ci´on. Esta idea de que una proposici´on puede ser establecida como conclusi´on de una prueba l´ogica expl´ıcita se remonta a los antiguos griegos, los cuales
  • 3. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 2 descubrieron lo que se conoce con el nombre de ((m´etodo axiom´atico)) y lo utilizaron para obtener un desarrollo sistem´atico de la geometr´ıa. El m´etodo axiom´atico consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axio- mas o postulados (por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos s´olo puede trazarse una l´ınea recta), y en derivar luego de esos axiomas todas las dem´as proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas consti- tuyen los ((cimientos)) del sistema; los teoremas son la ((superestructura)), y se obtienen a partir de los axiomas sirvi´endose, exclusivamente, de los principios de la l´ogica. El desarrollo axiom´atico de la geometr´ıa produjo una poderosa impresi´on en los pensadores de todos los tiempos, ya que el relativamente peque˜no n´umero de axiomas soporta el peso de las infinitamente numerosas propo- siciones que de ellos pod´ıan derivarse. Adem´as, si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas —y, en efecto, durante cerca de dos mil a˜nos la mayor´ıa de los estudiosos han cre´ıdo sin discusi´on que son abso- lutamente ciertos—, quedan autom´aticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Por estas razones la forma axiom´atica de la geometr´ıa se present´o a muchas generaciones de destaca- dos pensadores como el m´as excelente modelo de conocimiento cient´ıfico. Era natural preguntar, por tanto, si era posible asentar sobre un s´olido ci- miento axiom´atico otras ramas de pensamiento adem´as de la geometr´ıa. No obstante, aunque en la antig¨uedad se dio una formulaci´on axiom´atica a cier- tas partes de la f´ısica (por Arqu´ımedes), hasta los tiempos modernos la geometr´ıa era la ´unica rama de las matem´aticas dotada de lo que la mayor´ıa de los estudiosos consideraban una adecuada base axiom´atica. Pero durante los dos ´ultimos siglos el m´etodo axiom´atico ha ido adqui- riendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matem´aticas, incluyendo la familiar aritm´etica de los n´umeros cardinales (o ((enteros))), fueron provistas de lo que parec´ıan ser unos adecuados conjuntos de axio- mas. Naci´o as´ı un estado de opini´on en el que se admit´ıa t´acitamente que todos los sectores del pensamiento matem´atico pod´ıan ser dotados de unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistem´aticamente la infi- nita totalidad de proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigaci´on. El trabajo de G¨odel demostr´o que esta suposici´on es insostenible. Pu- so frente a los matem´aticos la asombrosa y melanc´olica conclusi´on de que el m´etodo axiom´atico posee ciertas limitaciones intr´ınsecas que excluyen la posibilidad de que ni siquiera la aritm´etica ordinaria de los n´umeros enteros
  • 4. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 3 pueda llegar a ser plenamente axiomatizada. Y a´un m´as, demostr´o que es imposible establecer la consistencia l´ogica interna de una amplia clase de sistemas deductivos —la aritm´etica elemental, por ejemplo—, a menos que se adopten principios tan complejos de razonamiento que su consistencia in- terna quede tan sujeta a la duda como la de los propios sistemas. A la luz de estas conclusiones, resulta inalcanzable una completa sistematizaci´on final de muchas y muy importantes zonas de las matem´aticas y no puede darse ninguna garant´ıa absolutamente impecable de que muchas de las m´as signi- ficativas ramas del pensamiento matem´atico se hallen enteramente libres de toda contradicci´on interna. Los descubrimientos de G¨odel socavaron, as´ı, prejuicios profundamente arraigados y demolieron las antiguas esperanzas que estaban siendo nueva- mente alimentadas por la investigaci´on en torno a los fundamentos de las matem´aticas. Pero su estudio no era totalmente negativo. Introdujo en el examen de las cuestiones planteadas en torno al fundamento de las ma- tem´aticas una nueva t´ecnica de an´alisis, comparable por su naturaleza y su fecundidad al m´etodo algebraico que Ren´e Descartes introdujo en la geometr´ıa. Esta t´ecnica suger´ıa y planteaba nuevos problemas para la in- vestigaci´on l´ogica y matem´atica. Provoc´o una nueva valoraci´on, todav´ıa en trance de desarrollo, de una extendida filosof´ıa de la matem´atica y de la filosof´ıa del conocimiento en general. Sin una considerable formaci´on matem´atica es demasiado dif´ıcil seguir los detalles de las demostraciones dadas por G¨odel en su ya hist´orico traba- jo. Pero la estructura b´asica de sus razonamientos y el aspecto esencial de sus conclusiones pueden ser hechos accesibles a los lectores que se hallen dotados de una limitada preparaci´on l´ogica y matem´atica. Para lograr esta comprensi´on puede que le sea ´util al lector una breve exposici´on de ciertos progresos relevantes realizados en la historia de las matem´aticas y de la mo- derna l´ogica formal. Los cuatro cap´ıtulos siguientes de este ensayo se hallan consagrados a dicha exposici´on. 2. El problema de la consistencia El siglo xix presenci´o una prodigiosa expansi´on e intensificaci´on de la in- vestigaci´on matem´atica. Fueron resueltos muchos problemas fundamentales que durante largo tiempo hab´ıan resistido a los esfuerzos de los pensadores anteriores: se crearon nuevos sectores de estudio matem´atico y se establecie- ron nuevos cimientos en diversas ramas de la disciplina o se reformaron por completo los antiguos con la ayuda de t´ecnicas anal´ıticas m´as precisas. Sirva
  • 5. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 4 de ejemplo lo siguiente. Los griegos hab´ıan propuesto tres problemas de geo- metr´ıa elemental: con regla y comp´as, dividir en tres partes iguales un ´angulo cualquiera, construir un cubo de doble volumen que el volumen de un cubo dado y construir un cuadrado de ´area igual a la de un c´ırculo dado. Durante m´as de dos mil a˜nos se hicieron infructuosos esfuerzos por resolver estos problemas. Y, finalmente, en el siglo xix, se demostr´o que tales construc- ciones son l´ogicamente imposibles. Se obtuvo, adem´as, un valioso resultado secundario de esos trabajos. Puesto que las soluciones dependen esencial- mente de determinar la clase de ra´ıces que satisfacen a ciertas ecuaciones, el inter´es suscitado por los famosos ejercicios planteados en la antig¨uedad estimul´o la realizaci´on de profundas investigaciones acerca de la naturaleza de los n´umeros y sobre la estructura del continuo num´erico. Los n´umeros negativos, complejos e irracionales fueron definidos con rigurosa precisi´on; se construy´o una base l´ogica para el sistema de n´umeros reales y se fund´o una nueva rama de las matem´aticas: la teor´ıa de los n´umeros transfinitos. Pero el progreso m´as importante por sus repercusiones sobre la subsi- guiente evoluci´on de la ciencia matem´atica fue, quiz´a, la soluci´on de otro problema que los griegos hab´ıan planteado sin darle una respuesta. Uno de los axiomas que Euclides utiliz´o para sistematizar la geometr´ıa se refiere a las paralelas. El axioma que adopt´o es l´ogicamente equivalente (aunque no id´entico) a la hip´otesis de que por un punto exterior a una l´ınea dada solamente puede trazarse una paralela a esa l´ınea. Por varias razones, este axioma no pareci´o ((evidente por s´ı mismo)) a los antiguos. Trataron, por tan- to, de deducirlo de otros axiomas euclidianos que consideraban claramente autoevidentes1. ¿Puede hallarse una demostraci´on del axioma de las para- lelas? Generaciones enteras de matem´aticos forcejearon sin resultado con esta cuesti´on. Pero el reiterado fracaso en el intento de construir una prueba no significa que no pueda ser encontrada ninguna en absoluto, del mismo modo que el reiterado fracaso en el intento de hallar un remedio para el resfriado com´un no demuestra de forma indudable que la Humanidad haya de sufrir eternamente sus molestias. Fue solamente en el siglo xix, principal- mente por la obra de Gauss, Bolyai, Lobachevsky y Riemann, cuando se demostr´o la imposibilidad de deducir de los otros axiomas el axioma de las paralelas. Este resultado tuvo una importancia intelectual extraordina- ria. En primer lugar, llam´o clamorosamente la atenci´on hacia el hecho de que puede demostrarse la imposibilidad de demostrar ciertas proposiciones dentro de un determinado sistema. Como veremos, el trabajo de G¨odel es una demostraci´on de la imposibilidad de demostrar ciertas proposiciones importantes de la aritm´etica. En segundo lugar, la resoluci´on de la cuesti´on
  • 6. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 5 planteada por el axioma de las paralelas oblig´o a admitir que Euclides no hab´ıa dicho la ´ultima palabra acerca de la geometr´ıa, ya que pueden construirse nuevos sistemas de geometr´ıa utilizando cierto n´umero de axio- mas distintos de los adoptados por Euclides e incompatibles con ellos. En particular, como es bien sabido, se obtienen resultados extraordinariamente interesantes y fruct´ıferos cuando se sustituye el axioma de las paralelas de Euclides por la hip´otesis de que, por un punto dado, puede trazarse m´as de una paralela a una l´ınea determinada, o, alternativamente, por la hip´otesis de que no puede trazarse ninguna paralela. La creencia tradicional de que los axiomas de la geometr´ıa (o, lo que es lo mismo, los axiomas de cualquier disciplina) pueden ser establecidos como tales por su aparente autoeviden- cia fue as´ı destruida en su misma base. Adem´as, fue haci´endose cada vez m´as claro que la tarea propia del matem´atico puro es deducir teoremas a partir de hip´otesis postuladas, y que, en cuanto tal matem´atico, no le ata˜ne la cuesti´on de decidir si los axiomas que acepta son realmente verdaderos. Y, finalmente, estas modificaciones de la geometr´ıa ortodoxa estimularon la revisi´on y perfecci´on de las bases axiom´aticas de otros muchos sistemas ma- tem´aticos. Se dio un fundamento axiom´atico a campos de investigaci´on que hasta entonces hab´ıan sido cultivados de una forma m´as o menos intuitiva2. La conclusi´on dominante desprendida de estos estudios cr´ıticos de los fundamentos de las matem´aticas es que la antigua concepci´on de las ma- tem´aticas como ((ciencia de la cantidad)) es equivocada, adem´as de enga˜nosa. Pues se hizo evidente que la matem´atica es, simplemente, la disciplina por excelencia que extrae las conclusiones l´ogicamente implicadas en cualquier conjunto dado de axiomas o postulados. Lleg´o, de hecho, a reconocerse que la validez de una deducci´on matem´atica no depende en absoluto de ning´un significado especial que pueda estar asociado con los t´erminos o expresiones contenidos en los postulados. Se admiti´o as´ı que las matem´aticas eran algo mucho m´as abstracto y formal de lo que tradicionalmente se hab´ıa supuesto; m´as abstracto, porque las afirmaciones matem´aticas pueden ser hechas en principio sobre cualquier objeto, sin estar esencialmente circunscritas a un determinado conjunto de objetos o de propiedades de objeto, y m´as formal, porque la validez de las demostraciones matem´aticas se asienta en la estruc- tura de las afirmaciones m´as que en la naturaleza especial de su contenido. Los postulados de cualquier rama de la matem´atica demostrativa nunca versan intr´ınsecamente sobre el espacio, la cantidad, manzanas, ´angulos o presupuestos financieros; y ning´un significado especial que pueda asociarse con los t´erminos (o ((predicados descriptivos))) contenidos en los postulados
  • 7. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 6 desempe˜na papel esencial alguno en el proceso de deducir teoremas. Repeti- mos que la ´unica cuesti´on a la que se enfrenta el matem´atico puro (en cuanto diferente del cient´ıfico que hace uso de las matem´aticas en la investigaci´on de un determinado objeto de estudio) no es si los postulados de que parte o las conclusiones que de ellos deduce son verdaderos, sino si las conclusiones obtenidas son realmente las consecuencias l´ogicas necesarias de las hip´otesis iniciales. Consideremos un ejemplo. Entre los t´erminos no definidos (o ((primitivos))) empleados por el destacado matem´atico alem´an David Hilbert en su fa- mosa axiomatizaci´on de la geometr´ıa (publicada en 1899) se hallan ((punto)), ((l´ınea)), ((estar situado en)) y ((entre)). Podemos admitir que los significados habituales relacionados con estas expresiones desempe˜nan un papel en el proceso de descubrir y aprender teoremas. Puesto que los significados nos son familiares nos damos cuenta de que comprendemos sus diversas relacio- nes mutuas y ellos tambi´en motivan la formulaci´on y selecci´on de axiomas; adem´as, sugieren y facilitan la formulaci´on de las afirmaciones que esperamos demostrar como teoremas. Sin embargo, como paladinamente declara Hil- bert, mientras estemos interesados en la fundamental labor matem´atica de explorar las relaciones estrictamente l´ogicas de dependencia entre afirma- ciones debemos prescindir de las connotaciones familiares de los t´erminos primitivos, y los ´unicos ((significados)) que se deben asociar con ellos son los que se hallan determinados por los axiomas en que est´an contenidos3. A esto es a lo que se refiere el famoso epigrama de Russell: la matem´atica pura es la ciencia en la que no sabemos de qu´e estamos hablando ni si lo que estamos diciendo es verdadero. No es f´acil, desde luego, adentrarse en un terreno de rigurosa abstracci´on, carente de toda clase de mojones se˜naladores. Pero ofrece compensaciones importantes en forma de una nueva libertad de movimientos y de renovadas perspectivas. La acentuada formalizaci´on de las matem´aticas emancip´o la mente de los hombres de las restricciones que la habitual interpretaci´on de las expresiones establec´ıa para la construcci´on de nuevos sistemas de postu- lados. Surgieron nuevas especies de ´algebras y de geometr´ıas que se˜nalaron importantes desviaciones respecto de las matem´aticas tradicionales. Al ha- cerse m´as generales los significados de ciertos t´erminos se hizo m´as amplia su utilizaci´on y menos limitadas las deducciones que pod´ıan extraerse de ellos. La formalizaci´on condujo a una gran variedad de sistemas de considerable inter´es matem´atico y de un valor extraordinario. Preciso es admitir que algu- nos de estos sistemas no se prestaban a interpretaciones tan evidentemente intuitivas (esto es, conformes al sentido com´un) como las de la geometr´ıa
  • 8. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 7 eucl´ıdea o de la aritm´etica, pero este hecho no caus´o ninguna alarma. La in- tuici´on, en realidad, es una facultad el´astica; nuestros hijos no encontrar´an, probablemente, dificultad alguna en aceptar como intuitivamente evidentes las paradojas de la relatividad, del mismo modo que nosotros no retrocede- mos ante ideas que eran consideradas completamente no intuitivas hace un par de generaciones. Adem´as, como todos sabemos, la intuici´on no es una gu´ıa segura: no puede ser utilizada adecuadamente como criterio de verdad ni de fecundidad en las exploraciones cient´ıficas. La creciente abstracci´on de las matem´aticas plante´o, empero, un problema m´as serio. Suscit´o la cuesti´on de si un determinado conjunto de postulados erigidos como bases de un sistema es internamente consistente, de tal modo que no puedan deducirse teoremas mutuamente contradictorios a partir de esos postulados. El problema no parece apremiante cuando se considera un conjunto de axiomas que versan sobre una especie concreta y conocida de objetos, ya que entonces no s´olo es significativo preguntar, sino que puede ser posible asegurarse de ello, si los axiomas son verdaderos referidos a tales objetos. Como quiera que se daba generalmente por supuesto que los axiomas euclidianos eran afirmaciones verdaderas respecto al espacio (o a los objetos en el espacio), ning´un matem´atico anterior al siglo xix se detuvo siquiera a considerar la cuesti´on de si podr´ıa deducirse alg´un d´ıa de tales axiomas un par de teoremas contradictorios. El fundamento de esta confianza en la consistencia de la geometr´ıa euclidiana es el recto principio de que no pueden ser simult´aneamente verdaderas afirmaciones l´ogicamente incompatibles; por consiguiente, si es verdadero un conjunto de afirmaciones (que es lo que se daba por supuesto respecto de los axiomas euclidianos), esas afirmaciones son mutuamente consistentes. Las geometr´ıas no euclidianas pertenec´ıan a una categor´ıa diferente. Sus axiomas fueron considerados inicialmente como siendo claramente falsos res- pecto del espacio y, por este motivo, dudosamente verdaderos respecto de cualquier otra cosa; por ello fue considerado notablemente arduo, a la par que decisivo, el problema de establecer la consistencia interna de los siste- mas no euclidianos. En la geometr´ıa riemanniana, por ejemplo, el postulado de las paralelas de Euclides es sustituido por la hip´otesis de que por un punto dado exterior a una l´ınea no puede trazarse ninguna paralela a ella. Plante´emonos ahora la cuesti´on de si es consistente el conjunto riemanniano de postulados. Aparentemente, los postulados no son verdaderos referidos al espacio de la experiencia ordinaria. ¿C´omo puede entonces mostrarse su consistencia? ¿C´omo puede demostrarse que no conducir´an a teoremas con- tradictorios? Evidentemente, la cuesti´on no queda resuelta por el hecho de
  • 9. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 8 que los teoremas ya deducidos no se contradicen entre s´ı, toda vez que sub- siste la posibilidad de que el pr´oximo teorema que se deduzca introduzca la discordia en el sistema. Pero hasta que se resuelva esa cuesti´on no puede haber certeza de que la geometr´ıa riemanniana constituya una verdadera al- ternativa al sistema euclidiano, esto es, que sea igualmente v´alida matem´ati- camente. La posibilidad misma de la existencia de geometr´ıas no euclidianas pas´o as´ı a depender de la resoluci´on de este problema. Se ide´o un m´etodo general para su resoluci´on. La idea b´asica consiste en encontrar un ((modelo)) (o ((interpretaci´on))) para los postulados abstractos de un sistema, de tal modo que cada postulado se convierta en una afirma- ci´on verdadera respecto del modelo. En el caso de la geometr´ıa euclidiana, como hemos visto, el modelo era el espacio ordinario. Se utiliz´o el m´eto- do para encontrar otros modelos cuyos elementos pudiesen servir de puntos de apoyo para determinar la consistencia de postulados abstractos. El pro- cedimiento viene a ser el siguiente. Designemos con la palabra ((clase)) un conjunto o colecci´on de elementos distintos, cada uno de los cuales recibe la denominaci´on de miembro de la clase. As´ı, la clase de n´umeros primos menores de 10 es el conjunto cuyos miembros son 2, 3, 5 y 7. Conside- remos la siguiente serie de postulados concernientes a dos clases, K y L, cuya naturaleza concreta se deja indeterminada excepto en lo que resulta ((impl´ıcitamente)) definido por los postulados: 1.- Dos miembros cualesquiera de K se hallan contenidos en un solo miembro de L. 2.- Ning´un miembro de K se halla contenido en m´as de dos miembros de L. 3.- No todos los miembros de K se hallan contenidos en un ´unico miem- bro de L. 4.- Dos miembros cualesquiera de L contienen a un solo miembro de K. 5.- Ning´un miembro de L contiene a m´as de dos miembros de K. De este peque˜no conjunto podemos derivar, aplicando las reglas corrientes de deducci´on, cierto n´umero de teoremas. Puede demostrarse, por ejemplo, que K contiene tres miembros solamente. Pero ¿se halla dotado este conjunto de consistencia, hasta el punto de que nunca puedan deducirse de ´el teoremas mutuamente contradictorios? Puede responderse prontamente a la cuesti´on con ayuda del modelo siguiente: Sea K la clase de puntos que componen los v´ertices de un tri´angulo, y L la clase de l´ıneas que forman sus lados. En- tendamos la frase ((un miembro de K se halla contenido en
  • 10. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 9 un miembro de L)) en el sentido de que un punto que es un v´ertice est´a situado en una l´ınea que es un lado. Cada uno de los cinco postulados abstractos se convierte entonces en una afirmaci´on verdadera. Por ejemplo, el primer postula- do afirma que dos puntos cualesquiera que sean v´ertices del tri´angulo radican solamente en una misma l´ınea que sea un lado. De esta forma queda demostrada la consistencia del conjunto de postulados. La consistencia de la geometr´ıa plana riemanniana puede tambi´en demos- trarse ostensiblemente mediante un modelo en que encarnen los postulados. Podemos interpretar la expresi´on ((plano)) de los axiomas riemannianos co- mo (significativa de) una esfera euclidiana, la expresi´on ((punto)) como un punto de esta superficie, la expresi´on ((l´ınea recta)) como el arco de un c´ırculo m´aximo de esta superficie, es decir, de la esfera, y as´ı sucesivamente. Cada postulado riemanniano se traduce entonces por un teorema de Euclides. As´ı, por ejemplo, seg´un esta interpretaci´on el postulado riemanniano de las paralelas presenta el siguiente enunciado: por un punto de la superficie de una esfera no puede trazarse ning´un arco de c´ırculo m´aximo paralelo a un arco dado de c´ırculo m´aximo. A primera vista puede parecer concluyente esta prueba de la consistencia de la geometr´ıa riemanniana. Pero si se examina m´as atentamente surge el desconcierto, pues se descubrir´a entonces que el problema no ha sido re- suelto, sino simplemente desplazado a otro terreno. Se intenta demostrar la consistencia de la geometr´ıa riemanniana apelando a la consistencia de la geometr´ıa euclidiana. Lo que se desprende entonces es solamente que la geometr´ıa riemanniana es consistente si es consistente la geometr´ıa eucli- diana. Resulta as´ı que se invoca la autoridad de Euclides para demostrar la consistencia de un sistema que discute la validez exclusiva de Euclides. La insoslayable cuesti´on es: ¿son consistentes por s´ı mismos los axiomas del sistema euclidiano? Una respuesta a esta cuesti´on, consagrada, como hemos visto, por una larga tradici´on, es que los axiomas euclidianos son verdaderos y, por tanto, consistentes. Esta respuesta no se considerada ya aceptable. Volveremos lue- go sobre ella y explicaremos por qu´e no es satisfactoria. Otra contestaci´on es que los axiomas est´an de acuerdo con nuestra actual, aunque limitada, expe- riencia del espacio y que se halla perfectamente justificado hacer una extra- polaci´on de lo particular a lo universal. Pero, por muchas pruebas inductivas que puedan aducirse en apoyo de esta postura, nuestra mejor demostraci´on
  • 11. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 10 ser´ıa l´ogicamente incompleta, pues aun cuando todos los hechos observados mantengan su concordancia con los axiomas, subsiste la posibilidad de que un hecho hasta ahora inobservado pueda contradecirlos y destruir as´ı su pretensi´on de universalidad. Lo m´as que pueden mostrar las consideraciones inductivas es que los axiomas son plausibles, o probablemente verdaderos. Hilbert hizo un ensayo en otra direcci´on. La idea b´asica del mismo se apoya en la geometr´ıa de coordenadas cartesianas. En su interpretaci´on, los axiomas de Euclides se transformaban simplemente en verdades algebrai- cas. As´ı, por ejemplo, tomando los axiomas de la geometr´ıa plana, hace que la expresi´on ((punto)) signifique un par de n´umeros, la expresi´on ((l´ınea rec- ta)) la relaci´on (lineal) entre n´umeros expresada por una ecuaci´on de primer grado con dos inc´ognitas, la expresi´on ((c´ırculo)) la relaci´on entre n´umeros expresada por una ecuaci´on de segundo grado de cierta forma, y as´ı sucesi- vamente. La afirmaci´on geom´etrica de que dos puntos distintos determinan solamente una l´ınea recta se transforma entonces en la verdad algebraica de que dos pares distintos de n´umeros determinan solamente una relaci´on lineal; el teorema geom´etrico de que una l´ınea recta corta a un c´ırculo en dos puntos como m´aximo, en el teorema algebraico de que un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas (una de las cuales es lineal y la otra de segundo grado de cierto tipo) determinan dos pares de n´umeros reales como m´aximo, y as´ı sucesivamente. En resumen, la consistencia de los postulados euclidianos se demuestra haciendo ver que satisfacen a un modelo algebraico. Este m´etodo de demostrar la consistencia es v´alido y eficaz. Sin embargo, es tambi´en vulnerable a la objeci´on ya expuesta, pues tambi´en aqu´ı se resuelve el problema planteado en un terreno desplaz´andolo a otro. La argumenta- ci´on de Hilbert en favor de la consistencia de sus postulados geom´etricos demuestra que si el ´algebra es consistente tambi´en lo es su sistema geom´etri- co. La prueba se halla en una clara dependencia de la supuesta consistencia de otro sistema y no es una prueba ((absoluta)). En los diversos intentos realizados para resolver el problema de la consis- tencia late siempre una permanente fuente de dificultad, la cual radica en el hecho de que los axiomas son interpretados por modelos compuestos de un n´umero infinito de elementos. Esto hace imposible encerrar los modelos en un n´umero finito de observaciones; de ah´ı que la verdad de los axiomas sea objeto de duda. En la argumentaci´on inductiva en favor de la verdad de la geometr´ıa euclidiana un n´umero finito de hechos observados acerca del espa- cio se hallan presumiblemente de acuerdo con los axiomas. Pero la conclusi´on que se trata de demostrar implica una extrapolaci´on de una serie finita de datos a otra infinita. ¿C´omo podemos justificar este salto? Por otra parte,
  • 12. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 11 la dificultad queda minimizada, si no completamente eliminada, all´a donde pueda idearse un modelo que contenga solamente un n´umero limitado de elementos. El tri´angulo modelo utilizado para demostrar la consistencia de los cinco postulados abstractos referidos a las clases K y L es finito; y es relativamente sencillo determinar por medio de una inspecci´on si todos los elementos del modelo satisfacen realmente los postulados y, por consiguien- te, si son verdaderos (y, por tanto, consistentes). Por ejemplo: examinando sucesivamente todos los v´ertices del tri´angulo modelo puede verse si se cum- ple el enunciado de que dos cualesquiera de ellos radican ´unicamente en un solo lado, con lo que queda demostrado como verdadero el primer postulado. Puesto que todos los elementos del modelo, as´ı como las relaciones relevan- tes existentes entre ellos, se prestan a una directa y exhaustiva inspecci´on, y puesto que es pr´acticamente nula la probabilidad de que se produzcan erro- res al inspeccionarlos, la consistencia de los postulados no suscita en este caso duda alguna. Desafortunadamente, la mayor´ıa de los sistemas de postulados que consti- tuyen los fundamentos de numerosas e importantes ramas de las matem´ati- cas no pueden ser reflejados en modelos finitos. Consid´erese el postulado de la aritm´etica elemental que afirma que todo n´umero entero tiene un inme- diato sucesor, distinto de todo otro n´umero anterior. Resulta evidente que el modelo necesario para comprobar el conjunto a que pertenece este postulado no puede ser finito, sino que debe contener una infinidad de elementos. De ello se desprende que la verdad (y, por tanto, la consistencia) del conjunto no puede demostrarse mediante una inspecci´on exhaustiva de un n´umero li- mitado de elementos. Hemos llegado, al parecer, a un callej´on sin salida. Los modelos finitos bastan, en principio, para demostrar la consistencia de cier- tos conjuntos de postulados, pero ´estos tienen una muy escasa importancia matem´atica. Los modelos no finitos, necesarios para la interpretaci´on de la mayor´ıa de los sistemas de postulados matem´aticamente importantes, s´olo pueden ser descritos en t´erminos generales; y no podemos dar por sentado que las descripciones se hallen exentas de ocultas contradicciones. Al llegar a este punto se siente uno tentado a sugerir que podemos es- tar seguros de la consistencia de las formulaciones en que se describen los modelos no finitos si las nociones b´asicas empleadas son transparentemente ((claras)) y ((distintas)). Pero la historia del pensamiento no ha solido admi- tir la doctrina de las ideas claras y distintas ni la teor´ıa del conocimiento intuitivo impl´ıcita en la sugerencia. En ciertas zonas de la investigaci´on ma- tem´atica en que las hip´otesis acerca de los conjuntos infinitos desempe˜nan un importante papel han surgido contradicciones radicales, pese a la intuitiva
  • 13. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 12 claridad de las nociones implicadas en las hip´otesis y pese al car´acter aparen- temente consistente de las construcciones intelectuales realizadas. Contra- dicciones de ´estas (denominadas t´ecnicamente ((antinomias))) han aparecido en la teor´ıa de los n´umeros transfinitos, desarrollada por Georg Cantor en el siglo xix; y la presencia de estas contradicciones ha hecho evidente que la aparente claridad de ni siquiera una noci´on tan elemental como la de clase (o conjunto) garantiza la consistencia de cualquier sistema concreto que se edifique sobre ella. Puesto que la teor´ıa matem´atica de las clases, que versa sobre las propiedades y relaciones de los agregados o colecciones de elementos, es frecuentemente adoptada como fundamento para otras ra- mas de las matem´aticas, y, en particular, para la aritm´etica elemental, es oportuno plantearse la cuesti´on de si no se hallar´an afectadas las formula- ciones de otras partes de las matem´aticas de contradicciones similares a las encontradas en la teor´ıa de las clases infinitas. A este respecto, Bertrand Russell construy´o una contradicci´on dentro del sistema mismo de la l´ogica elemental, que es precisamente an´aloga a la contradicci´on primeramente desarrollada en la teor´ıa cantoriana de las clases infinitas. La antinomia de Russell puede ser enunciada del modo siguiente. Las clases parecen ser de dos tipos: las que no se contienen a s´ı mismas como miembros y las que s´ı se contienen. Una clase ser´a llamada ((normal)) si, y solamente si, no se contiene a s´ı misma como miembro; en otro caso se la llamar´a ((no normal)). Un ejemplo de clase normal es la clase de los matem´aticos, ya que, evidentemente, la clase misma no es un matem´atico y, por tanto, no es un miembro de s´ı misma. Un ejemplo de clase no nor- mal es la clase de todas las cosas pensables, ya que la clase de todas las cosas pensables es, a su vez, pensable y, por consiguiente, un miembro de s´ı misma. Sea ((N)), por definici´on, la clase de todas las clases normales. Pre- guntamos si N mismo es una clase normal. Si N es normal, es un miembro de s´ı misma (pues, por definici´on, N contiene a todas las clases normales); pero, en ese caso, N es no normal, porque, por definici´on, una clase que se contiene a s´ı misma es no normal. Por otra parte, si N es no normal, es un miembro de s´ı misma (por la definici´on de no normal); pero, en ese caso, N es normal, porque, por definici´on, los miembros de N son las clases normales. En resumen, N es normal si, y solamente si, N es no normal. De lo que se desprende que la afirmaci´on ((N es normal)) es verdadera y falsa a la vez. Esta fatal contradicci´on se produce como consecuencia de utilizar sin esp´ıritu cr´ıtico una noci´on aparentemente di´afana de clase. Posteriormen- te fueron encontr´andose otras paradojas, construidas todas por medio de
  • 14. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 13 familiares y aparentemente convincentes modos de razonamiento. Los ma- tem´aticos acabaron comprendiendo que, en la tarea de desarrollar sistemas consistentes, la familiaridad y la claridad intuitiva son soportes harto d´ebiles en que apoyarse. Hemos visto la importancia del problema de la consistencia y hemos tra- bado conocimiento con el m´etodo cl´asico de resolverlo con ayuda de modelos. Se ha mostrado que, en la mayor´ıa de los casos, el problema requiere el uso de un modelo no finito, cuya descripci´on puede contener ella misma incon- sistencias. Debemos concluir que, si bien el m´etodo del modelo constituye una valiosa herramienta matem´atica, no suministra una respuesta definitiva al problema que trataba de resolver. 3. Pruebas absolutas de consistencia Las limitaciones inherentes a la utilizaci´on de modelos para demostrar la consistencia y la creciente aprensi´on de que las formulaciones cl´asicas de muchos sistemas matem´aticos pudiesen albergar contradicciones internas condujeron a nuevas formas de abordar el problema. Hilbert propuso una alternativa a las pruebas relativas de consistencia. Trat´o de construir pruebas ((absolutas)) con las que pudiera demostrarse la consistencia de los sistemas sin necesidad de dar por supuesta la consistencia de alg´un otro sistema. Explicaremos brevemente este m´etodo con el fin de que pueda comprenderse mejor la realizaci´on de G¨odel. El primer paso en la construcci´on de una prueba absoluta, tal como con- cibi´o Hilbert la cuesti´on, es la completa formalizaci´on de un sistema de- ductivo. Esto implica la extracci´on de todo significado de las expresiones existentes dentro del sistema: se las debe considerar, simplemente, como sig- nos vac´ıos. La forma en que se deben manipular y combinar estos signos ha de ser plasmada en un conjunto de reglas enunciadas con toda precisi´on. La finalidad de este procedimiento estriba en construir un sistema de signos (llamado un ((c´alculo))) que no oculte nada y que solamente contenga lo que expresamente se haya puesto en ´el. Los postulados y los teoremas de un sistema completamente formalizado son ((hileras)) (o sucesiones de longitud finita) de signos carentes de significado construidas conforme a las reglas establecidas para combinar los signos elementales del sistema hasta formar conjuntos m´as amplios. Adem´as, cuando un sistema ha sido completamente formalizado, la derivaci´on de teoremas a partir de los postulados se limita, simplemente, a la transformaci´on (siguiendo las reglas) de un conjunto de estas ((hileras)) en otro conjunto de ((hileras)). De esta manera se elimina el
  • 15. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 14 peligro de utilizar cualesquiera reglas no declaradas de razonamiento. La formalizaci´on es dif´ıcil y exige un buen n´umero de tretas, pero sirve a una valiosa finalidad. Revela con desnuda claridad la estructura y la funci´on, del mismo modo que el n´ıtido modelo de una m´aquina. Cuando ha sido forma- lizado un sistema, quedan a la vista las relaciones l´ogicas existentes entre las proposiciones matem´aticas; pueden verse los m´odulos estructurales de las diversas ((hileras)) de signos ((carentes de significado)), c´omo permanecen unidas, c´omo se combinan, c´omo se alojan una en otra, etc´etera. Una p´agina entera cubierta con los signos ((carentes de significado)) de este tipo de matem´aticas formalizadas no afirma nada; es, simplemente, el dise˜no abstracto de un mosaico que posee una determinada estructu- ra. Sin embargo, es perfectamente posible describir las configuraciones de un sistema as´ı y formular declaraciones acerca de las configuraciones y de sus diversas relaciones mutuas. Puede uno decir que una ((hilera)) es boni- ta, o que se parece a otra ((hilera)), o que una ((hilera)) parece estar hecha de otras tres distintas, etc´etera. Estas declaraciones poseen, evidentemente, significado y pueden suministrar informaci´on importante acerca del sistema formal. Es preciso observar, no obstante, que tales declaraciones significati- vas acerca de un sistema matem´atico carente de significado (o formalizado) no pertenecen plenamente a dicho sistema. Pertenecen a lo que Hilbert denomin´o ((metamatem´aticas)), al lenguaje que se formula acerca de las ma- tem´aticas. Las declaraciones metamatem´aticas son declaraciones acerca de los signos existentes dentro de un sistema matem´atico formalizado (es decir, un c´alculo), acerca de las especies y disposici´on de tales signos cuando se combinan para formar hileras m´as largas de signos llamadas ((f´ormulas)), o acerca de las relaciones entre f´ormulas que pueden obtenerse como conse- cuencia de las reglas de manipulaci´on establecidas para ellas. Unos cuantos ejemplos ayudar´an a comprender la distinci´on de Hilbert entre matem´aticas (es decir, un sistema de signos carentes de significado) y metamatem´aticas (declaraciones significativas acerca de las matem´aticas, los signos introducidos en el c´alculo, su ordenaci´on y sus relaciones). Consi- deremos la expresi´on: 2 + 3 = 5 Esta expresi´on pertenece a las matem´aticas (aritm´etica) y est´a formada exclusivamente de signos aritm´eticos elementales. Por otra parte, la propo- sici´on ‘2 + 3 = 5’ es una f´ormula aritm´etica
  • 16. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 15 afirma algo acerca de la expresi´on indicada. La proposici´on no expresa un hecho aritm´etico ni pertenece al lenguaje formal de la aritm´etica; pertenece a la metamatem´atica porque caracteriza como f´ormula a una determina- da hilera de signos aritm´eticos. Pertenece tambi´en a la metamatem´atica la siguiente proposici´on: Si se usa el signo ‘ = ’ en una f´ormula aritm´etica, el signo de- be hallarse flanqueado a derecha e izquierda por expresiones num´ericas. Esta proposici´on establece una condici´on necesaria para utilizar un de- terminado signo aritm´etico en f´ormulas aritm´eticas: la estructura que debe poseer una f´ormula aritm´etica si ha de incluir dicho signo. Consideremos ahora las tres f´ormulas siguientes: x = x 0 = 0 0 = 0 Cada una de estas f´ormulas pertenece a las matem´aticas (aritm´etica), porque cada una de ellas est´a formada exclusivamente de signos aritm´eticos. Pero la afirmaci´on ‘x’ es una variable pertenece a las metamatem´aticas, toda vez que caracteriza a un determinado signo aritm´etico como perteneciente a una clase espec´ıfica de signos (esto es, a la clase de las variables). Igualmente pertenece a las metamatem´aticas la siguiente afirmaci´on: La f´ormula ‘0 = 0’ puede derivarse de la f´ormula ‘x = x’ sustituyendo por la cifra ‘0’ la variable ‘x’. Aqu´ı se especifica de qu´e modo puede obtenerse una f´ormula aritm´etica a partir de otra f´ormula, con lo que se describe la forma en que se encuentran relacionadas entre s´ı dos f´ormulas. De modo semejante, la afirmaci´on ‘0 = 0’ no es un teorema pertenece a las metamatem´aticas, ya que dice que cierta f´ormula no es de- rivable de los axiomas de la aritm´etica y afirma, por tanto, que no existe una determinada relaci´on entre las dos f´ormulas indicadas del sistema. Fi- nalmente, la siguiente afirmaci´on pertenece a las metamatem´aticas: La aritm´etica es consistente
  • 17. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 16 (esto es, no es posible derivar de los axiomas de la aritm´etica dos f´ormu- las formalmente contradictorias, como, por ejemplo, las f´ormulas ‘0 = 0’ y ‘0 = 0’). Esto se halla referido a la aritm´etica, y afirma que pares de f´ormulas de cierto tipo no se hallan en una espec´ıfica relaci´on con las f´ormulas que constituyen los axiomas de la aritm´etica4. Puede que el lector encuentre intimidante la palabra ((metamatem´aticas)) y un tanto confuso su concepto. No vamos a decir que la palabra sea bonita, pero la idea en s´ı no resultar´a oscura para nadie si hacemos notar que se utiliza en relaci´on a un caso concreto de una conocida distinci´on, la que hace referencia a la diferencia existente entre un objeto determinado que constitu- ye materia de estudio y un raciocinio acerca de dicho objeto. La afirmaci´on ((entre los falaropos son los machos los que incuban los huevos)) concierne al objeto investigado por los zo´ologos y pertenece a la zoolog´ıa; pero si deci- mos que esta afirmaci´on acerca de los falaropos demuestra que la zoolog´ıa es irracional, nuestra declaraci´on no se refiere a los falaropos, sino a la afirma- ci´on enunciada y a la disciplina en que tiene lugar, y es ya metazoolog´ıa. Si decimos que el id es m´as poderoso que el ego, nuestras palabras pertenecen al psicoan´alisis ortodoxo; pero si criticamos esa declaraci´on como absurda e indemostrable, nuestra cr´ıtica pertenece al metapsicoan´alisis. Y lo mis- mo ocurre en el caso de la matem´atica y la metamatem´atica. Los sistemas formales que construyen los matem´aticos pertenecen al grupo denominado ((matem´aticas)); la descripci´on, discusi´on y teorizaci´on realizadas en torno a los sistemas pertenecen al grupo que lleva el ep´ıgrafe de ((metamatem´aticas)). Nunca se recalcar´a bastante la importancia que para el objeto que nos ocupa tiene el que se llegue a apreciar la distinci´on entre matem´aticas y metamatem´aticas. El fracaso en este sentido ha dado lugar a numerosas pa- radojas y a una extraordinaria confusi´on. La comprensi´on de su significado ha hecho posible mostrar con toda claridad la estructura l´ogica del razo- namiento matem´atico. El valor de la distinci´on radica en que da origen a una minuciosa codificaci´on de los diversos signos que entran en la composi- ci´on de un c´alculo formal, libre de enga˜nosas suposiciones y de irrelevantes asociaciones de ideas. Exige, adem´as, disponer de definiciones exactas de las operaciones y de las reglas l´ogicas de la construcci´on y la deducci´on matem´atica, muchas de las cuales hab´ıan estado siendo aplicadas por los matem´aticos sin que ´estos se hallaran plenamente conscientes de qu´e era lo que estaban utilizando. Hilbert capt´o el n´ucleo de la cuesti´on y bas´o su intento de construir prue- bas ((absolutas)) de consistencia en la distinci´on entre un c´alculo formal y su
  • 18. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 17 descripci´on. Concretamente, trat´o de desarrollar un m´etodo que produjera demostraciones de consistencia tan ajenas a una aut´entica duda l´ogica como el uso de modelos finitos para demostrar la consistencia de ciertos conjuntos de postulados, y ello mediante el an´alisis de un n´umero finito de caracter´ısti- cas estructurales de las expresiones contenidas en c´alculos completamente formalizados. El an´alisis consiste en anotar los diversos tipos de signos que se dan en un c´alculo, indicar c´omo combinarlos en f´ormulas, prescribir c´omo pueden obtenerse nuevas f´ormulas a partir de otras y determinar si f´ormulas de una determinada clase pueden derivarse de otras mediante reglas opera- tivas expl´ıcitamente enunciadas. Hilbert cre´ıa posible presentar cualquier c´alculo matem´atico como una especie de esquema ((geom´etrico)) de f´ormu- las, en el que las f´ormulas se relacionaran mutuamente en n´umero finito de relaciones estructurales. Esperaba, por consiguiente, demostrar, exami- nando exhaustivamente estas propiedades estructurales de las expresiones encerradas en un sistema, que no pueden obtenerse f´ormulas formalmente contradictorias a partir de los axiomas de c´alculos dados. Requisito esencial del programa de Hilbert en su primitiva concepci´on era que las demostra- ciones de consistencia implicaran ´unicamente procedimientos que no hicieran referencia ni a un n´umero infinito de propiedades estructurales de f´ormulas ni a un n´umero infinito de operaciones con f´ormulas. Tales procedimientos son denominados ((finitistas)), y una prueba de consistencia que se halle en adecuaci´on a dicho requisito recibe el nombre de ((absoluta)). Una prueba ((absoluta)) logra sus objetivos utilizando un m´ınimo de principios de deduc- ci´on y no presupone la consistencia de ning´un otro conjunto de axiomas. Una prueba absoluta de la consistencia de la aritm´etica, si pudiera construirse alguna, demostrar´ıa, pues, mediante un procedimiento metamatem´atico fi- nitista, que dos f´ormulas contradictorias, tales como ‘0 = 0’ y su negaci´on formal ‘¬(0 = 0)’ —en la que el signo ‘¬’ significa ((no))—, no pueden de- rivarse de los axiomas (o f´ormulas iniciales) mediante reglas expl´ıcitamente enunciadas5. Puede resultar ´util, por v´ıa de ejemplo, comparar las metamatem´aticas como teor´ıa de la demostraci´on con la teor´ıa del ajedrez. El ajedrez se jue- ga con 32 piezas de una forma determinada sobre un tablero cuadrado que contiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se pueden mover las piezas conforme a unas reglas establecidas. Evidentemente, el juego puede desa- rrollarse sin atribuir ninguna ((interpretaci´on)) a las piezas ni a sus diversas posiciones sobre el tablero, si bien podr´ıa introducirse tal interpretaci´on si as´ı se deseara. Podemos estipular, por ejemplo, que un determinado pe´on representa a cierto regimiento de un ej´ercito, que un escaque determinado
  • 19. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 18 figura ser una cierta regi´on geogr´afica, etc. Pero semejantes estipulaciones (o interpretaciones) no son habituales, y ni las piezas, ni los escaques, ni las posiciones de las piezas sobre el tablero significan nada ajeno al juego. En este sentido, las piezas y su configuraci´on sobre el tablero son ((carentes de significado)). El juego es, pues, an´alogo a un c´alculo matem´atico formalizado. Las piezas y los cuadrados del tablero corresponden a los signos elementales del c´alculo; las posiciones permitidas de las piezas sobre el tablero, a las f´ormulas del c´alculo; las posiciones iniciales de las piezas sobre el tablero, a los axiomas, o f´ormulas iniciales, del c´alculo; las subsiguientes posiciones de las piezas sobre el tablero, a las f´ormulas derivadas de los axiomas (esto es, a los teoremas), y las reglas del juego, a las reglas de deducci´on (o derivaci´on) establecidas para el c´alculo. El paralelismo contin´ua. Aunque las respectivas situaciones de las piezas en el tablero, como las f´ormulas del c´alculo, sean ((carentes de significado)), las declaraciones acerca de estas situaciones, como las declaraciones metamatem´aticas acerca de las f´ormulas, se hallan plena- mente dotadas de significado. Una declaraci´on ((metaajedrec´ıstica)) puede afirmar que hay veinte movimientos posibles de apertura para las piezas blancas, o que, dada una determinada configuraci´on de las piezas sobre el ta- blero, y correspondi´endoles mover a las blancas, ´estas dan mate a las negras en tres jugadas. Adem´as, pueden establecerse teoremas ((metaajedrec´ısticos)) generales cuya demostraci´on requiere solamente un n´umero finito de confi- guraciones permisibles sobre el tablero. De este modo puede establecerse el teorema ((metaajedrec´ıstico)) acerca del n´umero de posibles movimientos de apertura de que disponen las blancas; y tambi´en el teorema metaajedrec´ısti- co de que si las blancas tienen s´olo dos caballos y el rey, y las negras s´olo su rey, a aqu´ellas les es totalmente imposible dar mate a ´estas. Estos y otros teorema ((metaajedrec´ısticos)) pueden, en otras palabras, ser demostrados mediante m´etodos finitistas de razonamiento, esto es, examinando sucesiva- mente cada una de las configuraciones que, en n´umero finito, pueden darse bajo las condiciones previstas. De modo an´alogo, el prop´osito de la teor´ıa de prueba de Hilbert era demostrar con esos m´etodos finitistas la imposi- bilidad de derivar ciertas f´ormulas contradictorias en un c´alculo matem´atico dado. 4. La codificaci´on sistem´atica de la l´ogica formal Quedan dos puentes m´as por cruzar antes de llegar al teorema de G¨odel propiamente dicho. Debemos indicar c´omo y por qu´e surgieron a la luz los Principia Mathematica de Whitehead y Russell; y debemos pre- sentar una breve ilustraci´on de la formalizaci´on de un sistema deductivo
  • 20. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 19 —tomaremos un fragmento de los Principia— y explicar c´omo puede de- mostrarse su absoluta consistencia. Corrientemente, aun cuando las demostraciones matem´aticas se hallen conformes con los niveles admitidos de rigor profesional, adolecen de una importante omisi´on. Incorporan principios (o reglas) de deducci´on no for- mulados expl´ıcitamente que, frecuentemente, pasan inadvertidos a los ma- tem´aticos. Tomemos el teorema de Euclides de que no existe ning´un n´ume- ro que sea el n´umero primo mayor de todos los posibles (un n´umero es primo si no es divisible sin resto m´as que por s´ı mismo y por 1). La argumentaci´on, desarrollada en la forma de una reductio ad absurdum, es la siguiente: Supongamos, en contradicci´on con lo que el teorema trata de demostrar, que existe un n´umero primo m´aximo. Lo llamamos ‘x’. Entonces: 1.- x es el n´umero primo m´aximo. 2.- F´ormese el producto de todos los n´umeros primos menores o iguales que x y a˜nadase 1 al producto. Esto da un nuevo n´umero, y, donde y = (2 · 3 · 5 · 7 · · · x) + 1 3.- Si y es primo, entonces x no es el mayor n´umero primo, ya que y es evidentemente mayor que x. 4.- Si y es compuesto (es decir, no primo), entonces tampoco x es el mayor n´umero primo. Porque si y es compuesto, tiene que haber un divisor primo z, y z tiene que ser distinto de cada uno de los n´umeros primos 2, 3, 5, 7, . . . , x, menores o igual a x; por consiguiente, z tiene que ser un n´umero primo mayor que x. 5.- Pero y, o es primo o es compuesto. 6.- Por consiguiente, x no es el mayor n´umero primo. 7.- No existe ning´un n´umero primo que sea el mayor de todos. Hemos manifestado solamente los eslabones principales de la demostra- ci´on. Puede hacerse ver, no obstante, que para forjar la cadena completa se requiere un gran n´umero de reglas de deducci´on t´acitamente aceptadas, as´ı como teoremas de la l´ogica. Algunas de ellas pertenecen a la parte m´as elemental de la l´ogica formal, otras a ramas m´as avanzadas; por ejemplo, se incorporan reglas y teoremas que pertenecen a la ((teor´ıa de la cuantifica- ci´on)). Esta hace referencia a las relaciones entre proposiciones que contienen part´ıculas ((cuantificadoras)) tales como ((todos)), ((algunos)) y sus sin´onimos. Mostraremos un teorema elemental de la l´ogica y una regla de deducci´on, cada uno de los cuales es part´ıcipe necesario pero silencioso en la demostra- ci´on.
  • 21. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 20 Obs´ervese el punto n´umero 5 de la argumentaci´on. ¿De d´onde procede? La respuesta es: del teorema l´ogico (o verdad necesaria), ((o p o no p)), en el que se denomina ‘p’ a una variable proposicional. Pero ¿c´omo obtenemos el punto n´umero 5 de este teorema? La respuesta es: utilizando la regla de deducci´on conocida como ((Regla de sustituci´on para variables proposiciona- les)), seg´un la cual una proposici´on puede derivarse de cualquiera otra que contenga variables de ese tipo, sustituyendo por cualquier proposici´on (en este caso, ‘y es primo’) cada presentaci´on de una variable distinta (en este caso, la variable ‘p’). El uso de estas reglas y de estos teoremas l´ogicos es frecuentemente, como hemos dicho, una acci´on casi por completo incons- ciente. Y el an´alisis que los revela, aun en demostraciones tan relativamente sencillas como la de Euclides, se apoya en los progresos hechos en la teor´ıa l´ogica durante los ´ultimos cien a˜nos6. Como el se˜nor Jourdain, de Moli`ere, que hablaba en prosa sin saberlo, los matem´aticos han estado razonando durante dos milenios por lo menos sin darse cuenta de todos los principios que subyac´ıan bajo lo que estaban haciendo. S´olo en tiempos recientes se ha hecho evidente la naturaleza de las herramientas de su oficio. Durante casi dos mil a˜nos la codificaci´on de Arist´oteles de las formas v´alidas de deducci´on fue universalmente considerada como completa e inca- paz de mejora esencial. En 1787, el fil´osofo alem´an Emmanuel Kant pudo decir que desde Arist´oteles la l´ogica formal ((no ha sido capaz de avanzar un solo paso, y, seg´un todas las apariencias, es un cuerpo de doctrina cerrado y completo)). Lo cierto es que la l´ogica tradicional es gravemente incomple- ta e incluso deja de dar una explicaci´on a muchos principios de deducci´on empleados en razonamientos matem´aticos totalmente elementales7. Con la publicaci´on en 1847 de The Mathematical Analysis of Logic, de George Boole, comenz´o en los tiempos modernos un renacimiento de los estudios l´ogicos. El objetivo primordial de Boole y de sus sucesores inmediatos era desarrollar un ´algebra de la l´ogica que suministrase una notaci´on precisa para manejar tipos m´as generales y variados de deducci´on que los abarcados por los principios l´ogicos tradicionales. Sup´ongase que se observa que en una determinada escuela quienes obtienen menci´on honor´ıfica en su examen de grado son precisamente los muchachos que destacan en matem´aticas y las muchachas que no destacan en esta materia. ¿C´omo se forma la clase de destacados en matem´aticas en relaci´on a las otras clases de estudiantes? La respuesta no surge pronta si uno se sirve ´unicamente de la l´ogica tradicional. Pero con ayuda del ´algebra de Boole puede demostrarse f´acilmente que la
  • 22. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 21 clase de los destacados en matem´aticas se compone exactamente de mucha- chos graduados con menci´on honor´ıfica y de muchachas graduadas sin tal menci´on. Todos los caballeros son educados. Ning´un banquero es educado. Ning´un caballero es banquero. c ⊂ e b ⊂ ¯e c ⊂ ¯b c¯e = 0 be = 0 gb = 0 La l´ogica simb´olica fue inventada a mediados del siglo xix por el matem´atico ingles George Boole. En este ejemplo se traduce un silogismo por su notaci´on de dos maneras distintas. En el grupo su- perior de f´ormulas el s´ımbolo ‘⊂’ significa ‘est´a contenido en’. As´ı, ‘c ⊂ e’ quiere decir que la clase de los caballeros est´a incluida en la clase de las personas educadas. En el grupo inferior de f´ormulas dos letras juntas significan la clase de las cosas que poseen ambas caracter´ısticas. Por ejemplo ‘be’ significa la clase de individuos que son banqueros y educados; y la ecuaci´on ‘be = 0’ indica que esta clase no tiene ning´un miembro. Una l´ınea colocada sobre una letra significa ‘no’. (‘¯e’, por ejemplo, significa ineducado) Otra l´ınea de investigaci´on, estrechamente relacionada con los trabajos de los matem´aticos del siglo xix sobre los fundamentos del an´alisis, vino m´as tarde a asociarse al programa de Boole. Este nuevo desarrollo trat´o de mos- trar la matem´atica pura como un cap´ıtulo de la l´ogica formal, y qued´o en- carnado en los Principia Mathematica de Whitehead y Russell en 1910. Los matem´aticos del siglo xix consiguieron ((aritmetizar)) el ´algebra y lo que sol´ıa llamarse el ((c´alculo infinitesimal)), demostrando que las diversas nociones empleadas en el an´alisis matem´atico son definibles en t´erminos ex- clusivamente aritm´eticos (esto es, con n´umeros enteros y con operaciones aritm´eticas realizadas con ellos). Por ejemplo, en vez de aceptar el n´umero imaginario √ −1 como una ((entidad)) un tanto misteriosa fue definido como un par ordenado de n´umeros enteros (0, 1) sobre el que se realizan ciertas operaciones de ((adici´on)) y ((multiplicaci´on)). An´alogamente, el n´umero irra- cional √ 2 fue definido como una cierta clase de n´umeros racionales, la clase de n´umeros racionales cuyo cuadrado es menor de 2. Lo que Russell (y, antes que ´el, el matem´atico alem´an Gottlob Frege) trataba de demostrar
  • 23. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 22 era que todas las nociones aritm´eticas pueden ser definidas en ideas estricta- mente l´ogicas y que todos los axiomas de la aritm´etica pueden ser deducidos de un peque˜no n´umero de proposiciones b´asicas certificables como verdades estrictamente l´ogicas. As´ı, por ejemplo, la noci´on de clase pertenece a la l´ogica general. Dos cla- ses son definidas como ((semejantes)) si existe una correspondencia biun´ıvoca entre sus miembros, pudi´endose explicar la noci´on de tal correspondencia acudiendo a otras ideas l´ogicas. De una clase que tiene un solo miembro se dice que es una ((clase unidad)) (la clase de sat´elites del planeta Tierra); y el n´umero cardinal 1 puede ser definido como la clase de todas las cla- ses semejantes a una clase unidad. Definiciones an´alogas pueden darse de los otros n´umeros cardinales, y las diversas operaciones aritm´eticas, tales como la adici´on y la multiplicaci´on, pueden ser definidas en t´erminos de la l´ogica formal. Una proposici´on aritm´etica, como ‘1 + 1 = 2’, puede en- tonces ser mostrada como la transcripci´on condensada de una proposici´on que contenga expresiones pertenecientes ´unicamente a la l´ogica general; y puede demostrarse que tales proposiciones estrictamente l´ogicas pueden ser deducidas de ciertos axiomas l´ogicos. Principia Mathematica pareci´o as´ı adelantar la soluci´on final del proble- ma de la consistencia de los sistemas matem´aticos, y en particular de la aritm´etica, mediante el expediente de reducir el problema al de la consis- tencia de la l´ogica formal misma. Porque, si los axiomas de la aritm´etica son simples transcripciones de teoremas de la l´ogica, la cuesti´on de si dichos axiomas son consistentes es equivalente a la cuesti´on de si son consistentes los axiomas fundamentales de la l´ogica. La tesis Frege-Russell de que las matem´aticas son ´unicamente un cap´ıtulo de la l´ogica no ha obtenido, por diversas razones de detalle, acepta- ci´on universal por parte de los matem´aticos. Por otra parte, como ya hemos hecho notar, las antinomias de la teor´ıa cantoriana de los n´umeros transfini- tos pueden resultar reproducidas dentro de la l´ogica misma, a no ser que se tomen especiales precauciones para impedir tal resultado. Pero ¿son adecua- das para excluir todas las formas de construcciones autocontradictorias las medidas adoptadas en Principia Mathematica para soslayar las antinomia? No puede asegurarse concluyentemente. Por eso la reducci´on de la aritm´etica a la l´ogica practicada por Frege y Russell no proporciona una respuesta final al problema de la consistencia; en realidad, el problema surge simple- mente en una forma m´as general. Mas, prescindiendo de la validez de la tesis Frege-Russell, existen en Principia dos elementos que poseen un
  • 24. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 23 valor inestimable para el ulterior estudio de la cuesti´on de la consistencia. Principia suministra un sistema notablemente comprensivo de notaci´on, con ayuda del cual se pueden codificar todas las proposiciones de la matem´atica pura (y en particular de la aritm´etica), al tiempo que revela de un mo- do expl´ıcito la mayor´ıa de las reglas de deducci´on formal utilizadas en las demostraciones matem´aticas (reglas que, finalmente, fueron completadas y dotadas de una mayor precisi´on). Principia, en suma, cre´o el instrumento esencial para investigar todo el sistema de la aritm´etica como un c´alculo no interpretado, esto es, como un sistema de signos carentes de significado, cu- yas f´ormulas (o ((hileras))) se combinan y transforman de acuerdo con reglas operativas expresas. 5. Un ejemplo de prueba absoluta de consistencia Debemos abordar ahora la segunda tarea mencionada al principio del cap´ıtulo anterior y familiarizarnos con un importante aunque f´acilmente comprensible ejemplo de una prueba absoluta de consistencia. Una vez co- nocida la prueba, el lector se encontrar´a en condiciones de apreciar la signi- ficaci´on del trabajo realizado por G¨odel en 1931. Pondremos de relieve c´omo puede ser formalizada una peque˜na porci´on de los Principia: la l´ogica elemental de las proposiciones. Esto supone la conversi´on del sistema fragmentario en un c´alculo de signos no interpretados. Desarrollaremos entonces una prueba absoluta de consistencia. La formalizaci´on se lleva a cabo en cuatro fases. Primero se prepara un cat´alogo completo de los signos que se han de usar en el c´alculo. Son su vo- cabulario. En segundo lugar se establecen las ((reglas de formaci´on)). Estas declaran qu´e combinaciones de los signos del vocabulario pueden ser acepta- das como ((f´ormulas)) (en realidad, como proposiciones). Las reglas pueden ser consideradas como constitutivas de la gram´atica del sistema. En tercer lugar se expresan las ((reglas de transformaci´on)), que describen la estructu- ra precisa de las f´ormulas de las cuales pueden derivarse otras f´ormulas de estructura determinada. Estas reglas son, en efecto, las reglas de deducci´on. Finalmente se seleccionan ciertas f´ormulas como axiomas (o ((f´ormulas pri- mitivas))). Estas sirven de fundamento a todo el sistema. Emplearemos la ex- presi´on ((teorema del sistema)) para designar cualquier f´ormula que pueda ser derivada de los axiomas aplicando sucesivamente las reglas de transforma- ci´on. Por ((prueba)) (o ((demostraci´on))) formal designaremos una serie finita de f´ormulas, cada una de las cuales o es un axioma o puede ser derivada de otras f´ormulas anteriores de la serie mediante las reglas de transformaci´on8.
  • 25. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 24 Para la l´ogica de las proposiciones (frecuentemente llamada el c´alculo sen- tencial), el vocabulario (o lista de ((signos elementales))) es extremadamente sencillo. Se compone de variables y de signos constantes. Las variables pue- den ser sustituidas por sentencias y reciben por ello el nombre de ((variables sentenciales)). Son las letras p, q, r, . . . Los signos constantes son o ((enlaces sentenciales)) o signos de puntuaci´on. Los enlaces sentenciales son: ‘¬’ que quiere decir ‘no’ (y se llama la ((tilde))). ‘∨’ que quiere decir ‘o’. ‘→’ que quiere decir ‘si... entonces...’. ‘∧’ que quiere decir ‘y’. Los signos de puntuaci´on son los par´entesis de apertura y de cierre, ‘(’ y ‘)’, respectivamente. Las reglas de formaci´on est´an dise˜nadas de modo que las combinaciones de signos elementales, que normalmente tendr´ıan forma de proposiciones, se llamen f´ormulas. Igualmente, cada variable sentencial vale como una f´ormu- la. Adem´as, si la letra S representa una f´ormula, su negaci´on formal, es decir, ¬(S), es tambi´en una f´ormula. An´alogamente, si S1, S2 son f´ormulas, tambi´en lo son (S1 ∧ S2), (S1 → S2) y (S1 ∨ S2). Cada una de las siguientes expresiones es una f´ormula: ‘p’, ‘¬(p)’, ‘(p → q)’, ‘((q ∨ r) → p)’. Pero ni ‘(p)(¬q)’ ni ‘(p) → (q))∧’ son una f´ormula; no lo es la primera expresi´on porque si bien ‘p’ y ‘¬(p)’ son f´ormulas, no existe ning´un enlace sentencial entre ellas; y no lo es la segunda porque el enlace ‘∧’ no est´a flanqueado a derecha e izquierda por una f´ormula, como exigen las reglas9. Se adoptan dos reglas de transformaci´on. Una de ellas, la regla de sus- tituci´on (para variables sentenciales), dice que de una f´ormula que conten- ga variables sentenciales puede siempre derivarse otra f´ormula sustituyendo uniformemente con f´ormulas las variables. Queda entendido que cuando se sustituye una variable en una f´ormula debe hacerse la misma sustituci´on en todos los lugares en que est´e presente dicha variable. Por ejemplo, su- poniendo que ha quedado establecido ya que ‘p → p’, podemos sustituir la variable ‘p’ con la f´ormula ‘q’ para obtener ‘q → q’; o podemos sustituirla con la f´ormula ‘p ∧ q’ para obtener ‘(p ∧ q) → (p ∧ q)’. O bien, si susti- tuimos ‘p’ por frases reales podemos obtener cualquiera de las siguientes expresiones a partir de ‘p → p’: ‘las ranas son ruidosas → las ranas son ruidosas’; ‘(los murci´elagos son ciegos y los murci´elagos comen ratones) →
  • 26. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 25 (los murci´elagos son ciegos y los murci´elagos comen ratones)’10. La segunda regla de transformaci´on es la regla de separaci´on (o modus ponens). Esta regla dice que de dos f´ormulas que tengan la forma S1 y S1 → S2 se puede derivar siempre la f´ormula S2. Por ejemplo, de las dos f´ormulas ‘p ∨ (¬p)’ y ‘(p ∨ (¬p)) → (p → p)’ podemos derivar ‘p → p’. Finalmente, los axiomas del c´alculo (esencialmente los de Principia) son las cuatro f´ormulas siguientes: (p ∨ p) → p o, en espa˜nol, si p o p entonces p Si (Enrique viii era un pat´an o Enrique viii era un pat´an) entonces Enrique viii era un pat´an p → (p ∨ q) esto es, si p entonces p o q Si el psicoan´alisis est´a de mo- da, entonces (o el psicoan´alisis est´a de moda o los polvos pa- ra el dolor de cabeza son ba- ratos). (p ∨ q) → (q ∨ p) esto es, si o p o q entonces o q o p. Si (o Emmanuel Kant era puntual o Hollywood es pe- caminoso), entonces (o Holly- wood es pecaminoso o Emma- nuel Kant era puntual) (p → q) → ((r ∨ q) → (r ∨ q)) esto es, si (si p, entonces q), entonces (si (o r o p) entonces (o r o q)) Si (si los patos anadean en- tonces 5 es un n´umero pri- mo), entonces (si (o Chur- chill bebe co˜nac o los patos anadean) entonces (o Chur- chill bebe co˜nac o 5 es un n´umero primo)). En la columna de la izquierda hemos expresado los axiomas con su corres- pondiente traducci´on. En la columna de la derecha hemos dado un ejemplo para cada axioma. La tosquedad de las traducciones, especialmente en el caso del ´ultimo axioma, ayudar´a tal vez al lector a comprender las ventajas
  • 27. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 26 de utilizar un simbolismo especial en la l´ogica formal. Es importante tam- bi´en observar que las disparatadas ilustraciones utilizadas como ejemplos de sustituci´on de los axiomas y el hecho de que los consiguientes no guarden relaci´on con los antecedentes en manera alguna afectan a la validez de las conexiones l´ogicas establecidas en los ejemplos. Cada uno de estos axiomas puede parecer ((evidente)) y trivial. Sin embar- go, con ayuda de las reglas de transformaci´on expresadas es posible derivar de ellos una clase infinitamente grande de teoremas que est´an lejos de ser evidentes o triviales. Por ejemplo, la f´ormula ((p → q)→((r → s)→t)) → ((u → ((r → s) → t)) → ((p → u) → (s → t))) puede ser derivada como teorema. No nos interesa, empero, por el momen- to derivar teoremas de los axiomas. Nuestro prop´osito es demostrar que este conjunto de axiomas no es contradictorio, es decir, demostrar ((absolu- tamente)) que, utilizando las reglas de transformaci´on, es imposible derivar de los axiomas una f´ormula S juntamente con su negaci´on formal ¬(S). Ahora bien, ocurre que ‘p → (¬(p) → q)’ (en palabras: ‘si p, entonces si no p entonces q’) es un teorema del c´alculo. (Aceptaremos esto como un hecho sin exponer la derivaci´on.) Supongamos ahora que pudiera deducirse de los axiomas alguna f´ormula S juntamente con su contradictoria ¬(S). Sustituyendo la variable ‘p’ por S en el teorema (como lo permite la regla de sustituci´on) y aplicando por dos veces la regla de separaci´on, ser´ıa deducible la f´ormula ‘q’. Pero si la f´ormula que se compone de la variable11 ‘q’ es demostrable, se sigue inmediatamente que, sustituyendo ‘q’ por una f´ormula cualquiera, cualquier f´ormula es deducible de los axiomas. Resulta as´ı claro que, si tanto una f´ormula S como su contradictoria ¬(S) fuesen deducibles de los axiomas, ser´ıa tambi´en deducible cualquier f´ormula. En resumen, si el c´alculo no es consistente, toda f´ormula es un teorema, lo que equivale a decir que de un conjunto contradictorio de axiomas puede ser derivada cualquier f´ormula. Pero esto tiene una contrapartida: si no toda f´ormula es un teorema (es decir, si existe por lo menos una f´ormula que no sea derivable de los axiomas), entonces el c´alculo es consistente. Lo que hace falta, por consiguiente, es demostrar que existe por lo menos una f´ormula que no puede ser derivada de los axiomas. La forma de hacerlo es emplear un razonamiento metamatem´atico sobre el sistema que tenemos delante. El procedimiento no carece de elegancia. Con- siste en encontrar una caracter´ıstica o propiedad estructural de las f´ormulas que satisfaga las tres condiciones siguientes:
  • 28. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 27 1.- La propiedad debe ser com´un a todos los axiomas. (Una propiedad de este tipo es la de no contener m´as de 25 signos elementales; esta propiedad, sin embargo, no satisface la condici´on siguiente.) 2.- La propiedad debe ser ((hereditaria)), seg´un las reglas de transfor- maci´on, esto es, si todos los axiomas poseen la propiedad, cualquier f´ormula adecuadamente derivada de ellos mediante las reglas de trans- formaci´on debe poseerla tambi´en. Puesto que cualquier f´ormula as´ı derivada es por definici´on un teorema, esta condici´on estipula en esen- cia que todo teorema debe poseer esa propiedad. 3.- La propiedad no debe pertenecer a toda f´ormula que pueda cons- truirse de acuerdo con las reglas de formaci´on del sistema; esto es, debemos tratar de mostrar una f´ormula por lo menos que no posea esa propiedad. Si logramos ´exito en esta triple tarea habremos conseguido una prueba absoluta de consistencia. El razonamiento viene a ser el siguiente: la propie- dad hereditaria se transmite desde los axiomas a todos los teoremas; pero si puede encontrarse un conjunto de signos que sea adecuado a las exigencias de ser una f´ormula del sistema y que, sin embargo, no posea esa determinada propiedad hereditaria, tal f´ormula no puede ser un teorema. (Lo que es lo mismo, si un hijo dudoso [f´ormula] carece de un rasgo invariablemente here- ditario de los antepasados [axioma], no puede ser realmente su descendiente [teorema].) Pero si descubrimos una f´ormula que no es un teorema, hemos demostrado la consistencia del sistema, ya que, como hemos hecho notar ha- ce un momento, si el sistema no fuese consistente todas las f´ormulas podr´ıan ser derivadas de los axiomas (esto es, toda f´ormula ser´ıa un teorema). En resumen, lo que se necesita es mostrar una sola f´ormula que carezca de la propiedad hereditaria. Identifiquemos una propiedad de la clase requerida. La que elegimos es la propiedad de ser una ((tautolog´ıa)). En el lenguaje corriente, se dice que una expresi´on es tautol´ogica si contiene una redundancia y manifiesta dos veces la misma cosa con diferentes palabras, como, por ejemplo, ((Juan es el padre de Carlos, y Carlos es hijo de Juan)). Pero en l´ogica se define la tautolog´ıa como una proposici´on que no excluye ninguna posibilidad l´ogica, por ejemplo, ((o est´a lloviendo o no est´a lloviendo)). Otra forma de expresar esto mismo es decir que una tautolog´ıa es ((verdadera en todos los mundos posibles)). Nadie dudar´a que, independientemente del estado real del tiempo (esto es, prescindiendo de si la afirmaci´on de que est´a lloviendo es verdadera o falsa), la proposici´on ((o est´a lloviendo o no est´a lloviendo)) es necesariamente verdadera.
  • 29. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 28 Hacemos aplicaci´on de esta idea para definir una tautolog´ıa en nuestro sistema. Obs´ervese primero que toda f´ormula se halla construida de com- ponentes elementales, ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. Una f´ormula es una tautolog´ıa si es invariablemente verdadera, independientemente de que sus componentes ele- mentales sean verdaderos o falsos. As´ı, en el primer axioma, ‘(p∧p) → p’, el ´unico componente elemental es ‘p’; pero no importa en absoluto que se su- ponga que ‘p’ es verdadero o que se suponga que es falso; el primer axioma es verdadero en cualquiera de ambos casos. Puede darse una mayor evidencia a esto si sustituimos ‘p’ por la proposici´on ‘el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura’; de este modo obtenemos como ejemplo del primer axioma la proposici´on ‘si el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura o el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura, entonces el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura’. El lector no encontrar´a ninguna dificultad para admitir que esta declaraci´on es verdadera, aun cuando ignore si lo es la proposici´on constitutiva ‘el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura’. Evidentemen- te, pues, el primer axioma es una tautolog´ıa, es decir, ((verdadero en todos los mundos posibles)). Puede demostrarse f´acilmente que cada uno de los dem´as axiomas es tambi´en una tautolog´ıa. Despu´es, es posible demostrar que la propiedad de ser una tautolog´ıa es hereditaria por las reglas de transformaci´on, aunque no nos detendremos a dar la demostraci´on12. De aqu´ı se desprende que toda f´ormula correctamente derivada de los axiomas (esto es, todo teorema) debe ser una tautolog´ıa. Se ha demostrado ya que la propiedad de ser tautol´ogia satisface dos de las tres condiciones anteriormente mencionadas, con lo que estamos ya en situaci´on de dar el tercer paso. Debemos buscar una f´ormula que pertenezca al sistema (esto es, que se halle formada con los signos mencionados en el vocabulario, de conformidad con las reglas de formaci´on) y que, no obstante, por no poseer la propiedad de ser una tautolog´ıa, no pueda ser un teorema (es decir, que no pueda ser derivada de los axiomas). No se necesita buscar mucho; es f´acil mostrar una f´ormula de esta clase. Por ejemplo, ‘p ∨ q’ se ajusta a los requisitos. ‘Quiere ser ansar´on, pero no pasa de pato’ no per- tenece a la familia; es una f´ormula, pero no es un teorema. Evidentemente, no es una tautolog´ıa. Cualquier ejemplo de sustituci´on (o interpretaci´on) lo demuestra en seguida. Sustituyendo las variables de ‘p∨q’ podemos obtener la proposici´on ‘Napole´on muri´o de c´ancer o a Bismarck le gustaba el caf´e’. Esto no es una verdad de la l´ogica, ya que ser´ıa falsa si fuesen falsas las dos cl´ausulas presentes en ella; y, aun cuando se tratase de una proposi- ci´on verdadera, no lo es independientemente de la verdad o falsedad de sus proposiciones constitutivas.
  • 30. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 29 Hemos alcanzado nuestro objetivo. Hemos encontrado una f´ormula por lo menos que no es un teorema. Tal f´ormula no podr´ıa existir si los axio- mas fuesen contradictorios. Por consiguiente, no es posible derivar de los axiomas del c´alculo sentencial tanto una f´ormula como su negaci´on. En re- sumidas cuentas, hemos mostrado una prueba absoluta de la consistencia del sistema13. Antes de abandonar el c´alculo sentencial debemos mencionar una ´ultima cuesti´on. Puesto que todo teorema de este c´alculo es una tautolog´ıa, una verdad de la l´ogica, es natural preguntar si, inversamente, toda verdad l´ogica susceptible de ser expresada en el vocabulario del c´alculo (es decir, toda tautolog´ıa es tambi´en un teorema (esto es, derivable de los axiomas). La respuesta es afirmativa, aunque su demostraci´on es demasiado larga para presentarla aqu´ı. La cuesti´on que aqu´ı nos interesa, sin embargo, no depende del conocimiento de la demostraci´on. La cuesti´on es que, a la luz de esta conclusi´on, los axiomas son suficientes para engendrar todas las f´ormulas tautol´ogicas, todas las verdades l´ogicas susceptibles de ser expresadas en el sistema. De tales axiomas se dice que son ((completos)). Ahora bien, frecuentemente ofrece un inter´es extraordinario determinar si un sistema axiomatizado es completo. En efecto, un poderoso motivo para la axiomatizaci´on de diversas ramas de las matem´aticas ha sido el deseo de establecer un conjunto de presunciones iniciales, a partir de las cuales pue- dan deducirse todas las declaraciones verdaderas de alg´un campo de inves- tigaci´on. Cuando Euclides axiomatiz´o la geometr´ıa elemental, seleccion´o, aparentemente, sus axiomas de modo que fuese posible derivar de ellos to- das las verdades geom´etricas; esto es, las que ya hab´ıan sido establecidas, as´ı como cualesquiera otras que pudieran descubrirse en el futuro14. Hasta tiempos muy recientes se admit´ıa como algo incontrovertiblemente cierto la posibilidad de reunir un conjunto completo de axiomas para cualquier rama de las matem´aticas. Los matem´aticos cre´ıan en particular que el conjunto propuesto en el pasado para la aritm´etica era realmente completo, o, en to- do caso, pod´ıa completarse mediante el sencillo expediente de agregar un n´umero finito de axiomas a la lista original. El descubrimiento de que esto no surtir´ıa efecto es uno de los m´as importantes logros de G¨odel. 6. La idea de representaci´on y su empleo en las matem´aticas El c´alculo proposicional constituye un ejemplo de un sistema matem´atico en el que se alcanzan plenamente los objetivos de la teor´ıa de la demostra- ci´on de Hilbert. Ciertamente, este c´alculo codifica solamente un fragmento
  • 31. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 30 de la l´ogica formal, y su vocabulario y su aparato formal no son suficien- tes para desarrollar ni siquiera la aritm´etica elemental, pero el programa de Hilbert no es tan limitado. Puede ser aplicado con ´exito a sistemas m´as amplios, cuyo car´acter, a la vez consistente y completo, puede ser demos- trado mediante un razonamiento metamatem´atico. Una prueba absoluta de consistencia, por ejemplo, se ha logrado para un sistema de aritm´etica que permita la adici´on de n´umeros cardinales, aunque no la multiplicaci´on. Pero ¿es el m´etodo finitista de Hilbert lo suficientemente potente como para demostrar la consistencia de un sistema como Principia, cuyo vocabulario y cuyo aparato l´ogico son adecuados para expresar toda la aritm´etica y no simplemente un fragmento de ella? Los repetidos intentos de construir una prueba de este tipo resultaron infructuosos; y la publicaci´on en 1931 del tra- bajo de G¨odel demostr´o finalmente que no pod´ıan por menos de fracasar todos los esfuerzos que se desenvolvieran dentro de los estrictos l´ımites del primitivo programa de de Hilbert. ¿Qu´e es lo que estableci´o G¨odel y c´omo demostr´o sus resultados? Sus principales conclusiones son dos. En primer lugar (aunque no sea ´este el puesto que ocupa en el razonamiento de G¨odel) demostr´o que es imposible presentar una prueba metamatem´atica de la consistencia de un sistema lo bastante comprensivo como para contener toda la aritm´etica, a menos que se empleen en la prueba reglas de deducci´on que difieran en ciertos aspectos esenciales de las reglas de transformaci´on utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema. Indudablemente, una prueba as´ı posee gran valor e im- portancia. Sin embargo, si el razonamiento se basa en reglas de deducci´on mucho m´as potentes que las reglas del c´alculo aritm´etico, de tal modo que la consistencia de las hip´otesis contenidas en el razonamiento est´e tan sujeta a la duda como lo est´a la consistencia de la aritm´etica, la prueba no produ- cir´ıa sino un especioso triunfo; ser´ıa matar un drag´on solamente para crear otro. En cualquier caso, si la prueba no es finitista, no cubre los objetivos del programa original de Hilbert; y la argumentaci´on de G¨odel hace que sea improbable el que pueda darse una prueba finitista de la consistencia de la aritm´etica. La segunda importante conclusi´on de G¨odel es a´un m´as sorprendente y revolucionaria, porque demuestra la existencia de una fundamental li- mitaci´on en la potencia del m´etodo axiom´atico. G¨odel demostr´o que los Principia, o cualquier otro sistema dentro del cual pueda desarrollarse la aritm´etica, es esencialmente incompleto. En otras palabras: dado cualquier conjunto consistente de axiomas aritm´eticos, existen proposiciones aritm´eti- cas verdaderas que no pueden ser derivadas de dicho conjunto. Este decisivo
  • 32. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 31 punto merece ser ilustrado con un ejemplo. Las matem´aticas abundan en proposiciones generales a las que no se ha encontrado ninguna excepci´on que hasta ahora haya frustrado todo intento de prueba. Un ejemplo cl´asi- co es el conocido como ((teorema de Goldbach)), el cual afirma que todo n´umero par es la suma de dos n´umeros primos. Jam´as se ha encontrado ning´un n´umero par que no sea la suma dos n´umeros primos; sin embargo, nadie ha logrado encontrar una prueba de que la conjetura de Goldbach se aplique sin excepci´on a todos los n´umeros pares. Tenemos, pues, aqu´ı un ejemplo de una proposici´on aritm´etica que puede ser verdadera, pero que puede no ser derivable de los axiomas de la aritm´etica. Supongamos ahora que la conjetura de Goldbach fuese, en efecto, universalmente verdadera, aunque no derivable de los axiomas. ¿Qu´e decir ante la sugerencia de que, en este caso, los axiomas podr´ıan ser modificados o aumentados hasta hacer que las proposiciones hasta el momento indemostrables (tal como la de Gold- bach en nuestra hip´otesis) fuesen derivables en el sistema ampliado? Los resultados obtenidos por G¨odel demuestran que, aunque la hip´otesis fuese correcta, la sugerencia no suministrar´ıa remedio definitivo a la dificultad. Es decir, que aun cuando los axiomas de la aritm´etica sean ampliados con un n´umero indefinido de otros axiomas verdaderos, siempre quedar´an verdades aritm´eticas que no son formalmente derivables del conjunto ampliado15. ¿C´omo demostr´o G¨odel estas conclusiones? Hasta cierto punto, la es- tructura de su argumentaci´on est´a moldeada, como ´el mismo hizo notar, sobre el razonamiento implicado en una de las antinomias l´ogicas conocida como la ((paradoja richardiana)), propuesta por el matem´atico franc´es Jules Richard en 1905. Explicaremos en qu´e consiste esta paradoja. Consid´erese un lenguaje (por ejemplo, el espa˜nol) en el que se puedan formular y definir las propiedades puramente aritm´eticas de los n´umeros cardinales. Examinemos las definiciones que pueden ser expresadas en dicho lenguaje. Resulta claro que, so pena de caer en c´ırculo vicioso o regreso al infinito, no pueden definirse expl´ıcitamente algunos t´erminos que hacen referencia a propiedades aritm´eticas —ya que no podemos definirlo todo y debemos empezar en alguna parte—, aunque, presumiblemente, pueden ser comprendidos de alguna otra manera. Para el objeto que nos ocupa, es indiferente cu´ales sean los t´erminos no definidos o ((primitivos)); podemos, por ejemplo, dar por supuesto que comprendernos lo que se quiere decir con ((un n´umero entero es divisible por otro)), etc. La propiedad de ser un n´umero primo puede ser definida como ((no divisible por ning´un otro n´umero entero m´as que por s´ı mismo y la unidad)); la propiedad de ser un cuadrado
  • 33. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 32 perfecto puede ser definida como ((ser el producto de alg´un n´umero entero por s´ı mismo)), etc. F´acilmente podemos ver que cada una de tales definiciones contendr´a so- lamente un n´umero finito de palabras y, por consiguiente, s´olo un n´umero finito de letras del alfabeto. Siendo esto as´ı, las definiciones pueden ser or- denadas en una serie: una definici´on preceder´a a otra si el n´umero de letras de la primera es menor que el n´umero de letras de la segunda; y si dos defi- niciones tienen el mismo n´umero de letras, una de ellas preceder´a a la otra atendiendo al orden alfab´etico de las letras contenidas en cada una. Sobre la base de este orden, a cada definici´on corresponder´a un ´unico n´umero entero, que representar´a el lugar que ocupa la definici´on en la serie. De este modo, la definici´on que menos letras tenga corresponder´a al n´umero 1, la siguiente definici´on de la serie corresponder´a al 2, y as´ı sucesivamente. Dado que cada definici´on est´a asociada a un ´unico n´umero entero, puede ocurrir en algunos casos que un n´umero entero posea la misma propiedad expresada por la definici´on con la cual est´a asociado16. Supongamos, por ejemplo, que la expresi´on definidora ((no divisible por ning´un n´umero en- tero m´as que por s´ı mismo y por la unidad)) se halla en correlaci´on con el n´umero de orden 17; evidentemente, el 17 tiene la propiedad designada por esa expresi´on. Por otra parte, supongamos que la expresi´on definidora ((ser el producto de alg´un n´umero entero por s´ı mismo)) se halla en correlaci´on con el n´umero de orden 15; est´a claro que 15 no posee la propiedad desig- nada por la expresi´on. Describiremos la situaci´on existente en el segundo ejemplo diciendo que el n´umero 15 tiene la propiedad de ser richardiano, y la del primer ejemplo, diciendo que el n´umero 17 no tiene la propiedad de ser richardiano. Hablando en t´erminos m´as generales, definimos ((x es ri- chardiano)) como una forma abreviada de declarar ((x no tiene la propiedad designada por la expresi´on definidora con la que se halla relacionado en la serie ordenada de definiciones)). Llegamos ahora a un punto curioso, pero caracter´ıstico, de la proposici´on en que consiste la paradoja richardiana. La expresi´on definidora de la pro- piedad de ser richardiano describe ostensiblemente una propiedad num´erica de los enteros. La expresi´on misma pertenece, por tanto, a la serie de defi- niciones ya enunciadas antes. De aqu´ı se desprende que la expresi´on est´a re- lacionada con un n´umero entero determinador de su posici´on. Supongamos que este n´umero es n. Y ahora planteamos la cuesti´on, con ciertas reminis- cencias de la antinomia de Russell: ¿Es n richardiano? El lector puede, sin duda alguna, anticipar la fatal contradicci´on que amenaza ahora. Porque n
  • 34. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 33 es richardiano si, y solamente si, n carece de la propiedad designada por la expresi´on (definidora) con la que est´a relacionado (esto es, si carece de la propiedad de ser richardiano). En resumen, n es richardiano si, y solamente si, n no es richardiano; de modo que la declaraci´on ((n es richardiano)) es verdadera y falsa a la vez. Debemos hacer notar ahora que la contradicci´on es, en cierto sentido, una consecuencia derivada de no jugar del todo limpio. Se ha deslizado, por ser ´util, una esencial pero t´acita hip´otesis subyacente bajo la ordenaci´on su- cesiva de las definiciones. Se hab´ıa acordado considerar las definiciones de las propiedades estrictamente aritm´eticas de los n´umeros enteros, es decir, propiedades que pueden formularse con ayuda de nociones tales como las de adici´on aritm´etica, multiplicaci´on, etc. Pero entonces, sin previo aviso, se nos invita a que metamos dentro de la serie una definici´on que se refie- re a la notaci´on utilizada para formular las propiedades aritm´eticas. M´as concretamente, la definici´on de la propiedad de ser richardiano no pertenece a la serie inicialmente proyectada, porque esta definici´on implica nociones metamatem´aticas tales como el n´umero de letras (o signos) que se dan en las expresiones. Podemos soslayar la paradoja de Richard distinguiendo cui- dadosamente entre las proposiciones que se producen dentro de la aritm´eti- ca (que no hacen ninguna referencia a sistema alguno de notaci´on) y las proposiciones acerca de alg´un sistema de notaci´on en el que se codifica la aritm´etica. Existe una evidente falacia en el razonamiento empleado para la cons- trucci´on de la paradoja de Richard. La construcci´on sugiere, no obstante, la idea de que cabe la posibilidad de ((representar)) o ((reflejar)) declaracio- nes metamatem´aticas acerca de un sistema formal suficientemente amplio dentro del sistema mismo. La idea de la ((representaci´on)) es sobradamen- te conocida y desempe˜na un papel fundamental en muchas ramas de las matem´aticas. Se utiliza para la construcci´on de los mapas ordinarios, en la que las formas existentes en la superficie de una esfera se proyectan sobre un plano, de tal modo que las relaciones entre las figuras del plano reflejan las relaciones entre las figuras de la superficie esf´erica. Se utiliza en la geo- metr´ıa de coordenadas, que traduce la geometr´ıa al ´algebra de modo que las relaciones geom´etricas quedan representadas por otras algebraicas. (El lector recordar´a la exposici´on realizada en el cap´ıtulo segundo, en el que se explicaba c´omo emple´o Hilbert el ´algebra para demostrar la consistencia de sus axiomas aplicados a la geometr´ıa. Lo que en realidad hizo Hilbert fue representar la geometr´ıa en el ´algebra.) La representaci´on desempe˜na tambi´en un importante papel en la f´ısica matem´atica, donde, por ejemplo,
  • 35. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 34 las relaciones entre las propiedades de las corrientes el´ectricas se plasman en el lenguaje de la hidrodin´amica. Y existe tambi´en representaci´on cuando se construye una maqueta antes de abordar la realizaci´on de la m´aquina a su tama˜no natural, cuando se somete a observaci´on una peque˜na superficie del ala de un avi´on en un t´unel de viento con objeto de apreciar sus propie- dades aerodin´amicas, o cuando se utiliza un equipo de laboratorio hecho de circuitos el´ectricos para estudiar las relaciones entre masas de gran tama˜no en movimiento. La caracter´ıstica fundamental de la representaci´on es que puede demos- trarse que una estructura abstracta de relaciones existente en un campo de ((objetos)) existe tambi´en entre ((objetos)) (generalmente de un tipo distin- to que los del primer grupo) pertenecientes a otro campo diferente. Esta caracter´ıstica es lo que impuls´o a G¨odel a construir sus pruebas. Si, co- mo ´el esperaba, unas complicadas proposiciones metamatem´aticas acerca de un sistema formalizado de aritm´etica pudiesen ser traducidas a (o refleja- das por) proposiciones aritm´eticas contenidas dentro del propio sistema, se habr´ıa dado un gran paso en el camino de facilitar las demostraciones meta- matem´aticas. Porque, as´ı como es m´as f´acil manejar las f´ormulas algebraicas que representan (o reflejan) intrincadas relaciones geom´etricas entre curvas y superficies en el espacio que manejar las propias relaciones geom´etricas, del mismo modo manejar las contrapartidas aritm´eticas (o ((im´agenes refleja- das))) de complejas relaciones l´ogicas es m´as f´acil que manejar las relaciones l´ogicas mismas. La explotaci´on de la idea de la representaci´on es la clave de la argu- mentaci´on del famoso trabajo de G¨odel. Siguiendo el estilo de la para- doja richardiana, pero evitando cuidadosamente la falacia involucrada en su construcci´on, G¨odel demostr´o que las proposiciones metamatem´aticas acerca de un c´alculo aritm´etico formalizado pueden efectivamente ser repre- sentadas por f´ormulas aritm´eticas dentro del c´alculo. Como con m´as detalle explicaremos en el cap´ıtulo siguiente, ide´o un m´etodo de representaci´on tal, que ni la f´ormula aritm´etica correspondiente a una determinada proposici´on metamatem´atica verdadera acerca de la f´ormula ni la f´ormula aritm´etica correspondiente a la negaci´on de la proposici´on son demostrables dentro del c´alculo. Como quiera que una de estas f´ormulas aritm´eticas debe codificar una verdad aritm´etica, ninguna de las cuales es, sin embargo, derivable de los axiomas, los axiomas son incompletos. El m´etodo de representaci´on de G¨odel le permiti´o tambi´en construir una f´ormula aritm´etica correspondien- te a la proposici´on metamatem´atica ((el c´alculo es consistente)) y demostrar
  • 36. El teorema de G¨odel. Ernest Nagel & James R. Newman 35 que esta f´ormula no es demostrable dentro del c´alculo. De ah´ı se despren- de que la proposici´on metamatem´atica no puede ser demostrada a no ser que se utilicen reglas de deducci´on que no puedan ser representadas dentro del c´alculo, de tal modo que, al demostrar la proposici´on, se deben emplear reglas cuya propia consistencia pueda ser tan discutible como la consisten- cia de la misma aritm´etica. G¨odel demostr´o y estableci´o estas importantes conclusiones utilizando una forma sumamente ingeniosa de representaci´on. 7. Las pruebas de G¨odel El estudio realizado por G¨odel es sumamente complejo. Antes de llegar a los resultados principales es necesario comprender y dominar perfectamente cuarenta y seis definiciones preliminares, juntamente con varios e importan- tes teoremas preliminares. Nosotros seguiremos un camino mucho m´as f´acil; en ´el, sin embargo, podr´a el lector tener varios atisbos del ascenso y de la estructura final de la cumbre. 7.1. La numeraci´on de G¨odel. G¨odel describi´o un c´alculo formali- zado dentro del cual pueden expresarse todas las acostumbradas notaciones aritm´eticas y establecer las relaciones aritm´eticas ya conocidas17. Las f´ormu- las del c´alculo est´an construidas con una clase de signos elementales que constituyen el vocabulario fundamental. Los cimientos est´an formados por un conjunto de f´ormulas primitivas (o axiomas), y los teoremas del c´alculo son f´ormulas que pueden derivarse de los axiomas con ayuda de una serie de reglas de transformaci´on (o reglas de deducci´on) cuidadosamente especi- ficadas. G¨odel demostr´o en primer lugar que es posible asignar un ´unico n´umero a cada signo elemental, a cada f´ormula (o sucesi´on de signos) y a cada prueba (o sucesi´on finita de f´ormulas). Este n´umero, que sirve de r´otulo distintivo, recibe el nombre de ((n´umero G¨odel)) del signo, f´ormula o prueba18. Los signos elementales pertenecientes al vocabulario fundamental son de dos clases: los signos constantes y las variables. Supondremos que hay exacta- mente diez signos constantes19, a los que se asocian, como n´umeros G¨odel, los n´umeros enteros que van del 1 al 10. La mayor´ıa de estos signos son ya conocidos del lector: ‘¬’(que quiere decir ‘no’); ‘∨’ (que quiere decir ‘o’); ‘→’ (que quiere decir ‘si... entonces...’); ‘=’ (que quiere decir ‘igual a’); ‘0’ (el numeral para el n´umero cero); y tres signos de puntuaci´on, el par´entesis de apertura, ‘(’, el par´entesis de cierre ‘)’, y la coma, ‘,’. Se utilizar´an adem´as otros dos signos: la letra invertida ‘∃’, que puede leerse como ‘existe’ y que se

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