PRESION Y ESTATICA DE FLUIDOSJOSE LUIS ZUÑIGA NAVARROALVARO DAVID RODRIGUEZ
PRESION Y ESTATICA DE FLUIDOSLos fluidos describen distintos comportamientos, sea que se encuentre en reposoo en movimient...
La presión absoluta se denomina a la presión real que se encuentra en unaposición dada. Los instrumentos que se usan para ...
PRESIÓN EN UN PUNTOSe sabe que la presión es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de área y quela presión en cualquie...
↑ ∑ 𝐹𝑧 = 00 = 𝑃2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑊 – 𝑃1 𝑑𝑥𝑑𝑦0 = 𝑃2 – 𝜌𝑔𝑑𝑧 – 𝑃1 = 0𝑃2 = 𝑃1 = 𝑃′′Variación de la presión con la profundidadLa presión...
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaAplicando la segunda ley de Newto...
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Solución:𝑕: 60𝑐𝑚 = 0.6𝑚𝐺𝐸 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 13.6 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠: 𝑘𝑔𝜌: 13600 𝑚3 ...
Solución:𝜌 𝑎𝑔𝑢𝑎 : 1000 𝑘𝑔/ 𝑚³𝜌 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 850 𝑘𝑔/ 𝑚³𝜌 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 : 13600 𝑘𝑔/ 𝑚³𝜌 𝑎𝑡𝑚 : 0𝑃 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑃𝑜 + 𝜌 𝐻𝑔 𝑔𝑕4 – 𝜌 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑔𝑕3 ...
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaLa medida del tubo es de 800𝑚𝑚 y ...
𝑃 𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔𝑕𝑃 𝑎𝑡𝑚 = (13600𝑘𝑔/𝑚³) (9.807𝑚/𝑠²) (0.7𝑚)𝑃 𝑎𝑡𝑚 = 93362.64𝑃𝑎 = 93.362𝑘𝑃𝑎 INTRODUCCION A LA ESTATICA D...
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaPartiendo de este gráfico, se hal...
2. Evaluar a que profundidad se encuentra el centroide de la superficie, medirdesde el punto centroidal en forma totalment...
EJEMPLOPara el caso mostrado en la figura determinar la fuerza hidrostática resultante y elpunto exacto donde se ejerce di...
FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE CURVAS SUMERGIDASLa manera mas fácil de obtener la fuerza hidrostática resultante 𝐹 𝑅 parasupe...
La magnitud de la fuerza hidrostática resultante es:𝐹𝑅 = 𝐹 𝑕 2 + 𝐹𝑣 2El ángulo que forma con la horizontal es: ...
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaSolución:  𝐴 = 150𝑚 × 10𝑚 = ...
FLOTACION Y ESTABILIDADPrincipio de ArquímedesDesde hace más de 2200 años el principio de Arquímedes es utilizado por elho...
La placa se encuentra paralela a la superficie libre. Ambos lados de la placa tienenun área A y las presiones en la superf...
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En la imagen a el hidrómetro marca 1 en la parte superior que coincide con lasuperficie del agua. Esto indica la unidad de...
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaSolución:En agua, 𝑊 = 𝜌...
ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS Y DE LOSFLOTANTESEn un fluido un cuerpo se considera estable si regresa a su posició...
Para el submarino mostrado los puntos 𝑐𝑏 y 𝑐𝑔 son los centros de flotabilidad y degravedad, respectivamente. La figura (b)...
Y 𝑊 producen un par de rectificación que hace al cuerpo regresar a su orientaciónoriginal. De esta manera el cuerpo es est...
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaSe aplica la segunda ley de newto...
La fuerza neta superficial que actúa sobre el elemento en la dirección 𝑍 es ladiferencia entre las fuerzas de presión que ...
Como 𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 ∙ 𝑎 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎, se sustituye en la segunda ley de newton;− ∇ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎 ∇ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑...
CASO ESPECIAL 2. CAIDA LIBRE DE UN CUERPO DE FLUIDOCuando se deja caer un cuerpo este acelera bajo la influencia de la gra...
ACELERACION SOBRE UNA TRAYECTORIA RECTA Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M...
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Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala 𝑎𝑥𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 = 𝑔 ...
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Integrando se obtiene la ecuación para las superficies de presión constante. 𝑧2 𝑟2 ...
𝑑𝑣 = 2𝜋𝑟𝑧 𝑠 𝑑𝑟 𝑟=𝑅𝑣= 2𝜋𝑟𝑧 𝑠 𝑑𝑟 𝑟=0 𝑟=𝑅 𝜔2 𝑟 3𝑣 = 2𝜋 ...
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaDe la gráfica se obtiene: ...
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presion-y-estatica-de-fluidos

Published on: Mar 4, 2016
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Transcripts - presion-y-estatica-de-fluidos

  • 1. PRESION Y ESTATICA DE FLUIDOSJOSE LUIS ZUÑIGA NAVARROALVARO DAVID RODRIGUEZ
  • 2. PRESION Y ESTATICA DE FLUIDOSLos fluidos describen distintos comportamientos, sea que se encuentre en reposoo en movimiento. En el caso de los fluidos que se encuentran en reposo omovimientos a velocidad constante se analizan ciertas propiedades relacionadascon la presión que ejercen estos como, presión manométrica, presión en un punto,variación de la presión con la profundidad, además de los mecanismos necesariospara calcular estas presiones dependiendo del fenómeno en que se presente.PRESIÓNLa presión es la fuerza normal ejercida por un fluido por unidad de área. El términopresión solo se aplica en los gases o líquidos, para los sólidos esta fuerza sedenomina esfuerzo normal. La presión tiene como unidad el Newton por metro 𝑁cuadrado , siendo estas las unidades del Pascal; es decir: 𝑚2 𝑁 1𝑃𝑎 = 𝑚2En la práctica se usan frecuentemente los múltiplos del pascal como el kilopascal 1𝐾𝑃𝑎 = 103 𝑃𝑎 y el megapascal 1𝑀𝑃𝑎 = 106 𝑃𝑎 . A parte de estas unidades seutilizan otras unidades de presión como la atmosfera, el bar y el kilogramo-fuerzapor centímetro cuadrado: 1𝑏𝑎𝑟 = 105 𝑃𝑎 = 0.1𝑀𝑃𝑎 = 100𝐾𝑃𝑎 1𝑎𝑡𝑚 = 101325𝑃𝑎 = 101.325𝐾𝑃𝑎 = 1.01325𝑏𝑎𝑟 1𝑘𝑔𝑓 𝑐𝑚2 = 9.807 𝑁 𝑐𝑚2 = 9.807 × 104 𝑁 𝑚2 = 9.807 × 104 𝑃𝑎 = 0.9807𝑏𝑎𝑟Cabe resaltar que la unidad de presión en el sistema inglés es la libra-fuerza por 𝐿𝑏𝑓pulgada cuadrada y una atmósfera equivale a 14.696 psi. 𝑖𝑛 2Como se mencionó líneas arriba el esfuerzo normal es la presión que se usa paralos sólidos y es la fuerza que actúa perpendicular a la superficie por unidad deárea. Por ejemplo, una persona que pesa 120𝑙𝑏 con un área de impresión de lospies de 40𝑖𝑛2 ejerce una presión de 120𝑙𝑏𝑓 40𝑖𝑛2 = 3.0 psi sobre el suelo. Si lapersona se para sobre uno de sus pies, la presión se duplica.
  • 3. La presión absoluta se denomina a la presión real que se encuentra en unaposición dada. Los instrumentos que se usan para medir la presión estáncalibrados para que den una lectura de cero en la atmosfera.La presión manométrica es la diferencia entre la presión absoluta y la presiónatmosférica. También está la presión de vacío que es la presión que se encuentrapor debajo de la presión atmosférica. La presión manométrica y la presión devacío se indican así: 𝑃 𝑚𝑎𝑛 = 𝑃 𝑎𝑏𝑠 − 𝑃 𝑎𝑡𝑚 𝑃𝑣𝑎𝑐 = 𝑃 𝑎𝑡𝑚 − 𝑃 𝑎𝑏𝑠 Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaEJEMPLOUn medidor de vacío conectado a una cámara da como lectura 6.1psi en un lugardonde la presión atmosférica es 14psi. Determine la presión absoluta en la cámaraSolución:𝑃 𝑎𝑏𝑠 = 𝑃 𝑎𝑡𝑚 − 𝑃𝑣𝑎𝑐 = 14𝑝𝑠𝑖 − 6.1𝑝𝑠𝑖 = 7.9 𝑝𝑠𝑖
  • 4. PRESIÓN EN UN PUNTOSe sabe que la presión es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de área y quela presión en cualquier punto de un fluido es la misma en todas las direcciones,con la misma magnitud, tomándose como una cantidad escalar. Esto se puededemostrar cuando se toma un elemento de fluido en forma de cubo y se le aplicanpresiones en su superficie tal como se muestra en la figura: 𝑃1 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑃3 𝑃4 𝑑𝑥 𝑊 𝑃2 𝑑𝑤 = 𝜌𝑔𝑑∀Por la segunda ley de Newton:Para 𝑃3 𝑌 𝑃4→ ∑ 𝐹𝑦 = 00 = 𝑃3 𝑑𝑥𝑑𝑧 – 𝑃4 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑃3 = 𝑃4 = 𝑃′Para 𝑃2 𝑦 𝑃1
  • 5. ↑ ∑ 𝐹𝑧 = 00 = 𝑃2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑊 – 𝑃1 𝑑𝑥𝑑𝑦0 = 𝑃2 – 𝜌𝑔𝑑𝑧 – 𝑃1 = 0𝑃2 = 𝑃1 = 𝑃′′Variación de la presión con la profundidadLa presión en un fluido en reposo no cambia en la dirección horizontal. Esto severifica al considerar una delgada capa horizontal del un fluido y se realiza unbalance de fuerzas en cualquier dirección horizontal. Para la dirección vertical noocurre lo mismo, la presión en un fluido aumenta con la profundidad debido a quedescansa mas fluido sobre las capas mas profundas y la consecuencia de estepeso adicional sobre la capa mas profunda se equilibra por un aumento depresión. 𝑃 𝑚𝑎𝑛Para entender mejor la variación de la presión con la profundidad considérese unelemento rectangular de fluido en equilibrio con densidad 𝜌, como se muestra enla figura:
  • 6. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaAplicando la segunda ley de Newton↑ ∑ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎 𝑧 = 00 = 𝑃2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑊 – 𝑃1 𝑑𝑥𝑑𝑦Teniendo en cuenta que el peso 𝑊 = 𝑚𝑔 y la masa es igual a 𝜌𝑑𝑣 entonces𝑑𝑊 = 𝜌𝑑𝑣𝑔, reemplazando se obtiene:0 = 𝑃2 𝑑𝑥𝑑𝑦 – 𝜌𝑑𝑣𝑔 – 𝑃1 𝑑𝑥𝑑𝑦Se toma la presión 1 en la superficie, abierta a la atmosfera, donde la presión es laatmosférica, entonces:𝑃2 = 𝑃 𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕Esto demuestra que la variación de la densidad con respecto a la profundidad noes muy grande y se desprecia. No se puede decir lo mismo cuando la densidadvaria con respecto a la temperatura o grandes profundidades; por ejemplo, agrandes profundidades como las de los océanos donde la variación de la densidad
  • 7. es grande debido a la compresión que ejerce gran cantidad de peso líquido sobreun cuerpo sumergido.Se puede decir que la aceleración de la gravedad varía con la altura; desde elnivel del mar hasta grandes alturas la gravedad tiende a cambiar un poco, pero elcambio es tan pequeño que suele despreciarse y no se toma en cuenta.MANOMETROEl manómetro es un instrumento usado para medir presiones pequeñas, consta deun tubo en U que puede contener variedad de fluidos como agua, aceite, alcohol,mercurio, etc.El manómetro de la figura mide la presión en un tanque con un líquido en elmanómetro de densidad 𝜌, una altura 𝑕 y la columna del mismo abierta a laatmosfera, aquí la presión contenida en el tanque se calcula con la siguienteecuación: 𝑃2 = 𝑃 𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕EJEMPLOSe usa un manómetro para medir la presión en un tanque. El fluido que se utilizaes mercurio cuya densidad específica es 13.6 y la elevación de la columna delmanómetro es de 60𝑐𝑚, tal como se muestra en la figura. Si la columna delmanómetro está abierta a la atmósfera, determine la presión absoluta del tanque. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
  • 8. Solución:𝑕: 60𝑐𝑚 = 0.6𝑚𝐺𝐸 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 13.6 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠: 𝑘𝑔𝜌: 13600 𝑚3 kg𝜌 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1000 m3La densidad de un fluido se obtiene cuando se multiplica la densidad específicadel fluido por la densidad del agua. 𝑃 𝑎𝑡𝑚 : Como la columna del manómetro eta abierta a la atmósfera, entonces lapresión atmosférica en ese punto es cero.Luego:𝑃: 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑕 𝑘𝑔 𝑚𝑃: 0 + 13600 3 (9.807 2 ) (0.6𝑚) 𝑚 𝑠𝑃 = 80025 𝑃𝑎 = 80.25 𝑘𝑃𝑎Pero no solo se pueden resolver problemas donde intervenga un solo fluido, en laingeniería se trabajan con manómetros que pueden contener varios fluidos condensidades diferentes. Básicamente estos problemas son fáciles de resolver si setiene en cuenta que la presión es positiva hacia abajo y negativa hacia arriba, dospuntos a la misma altura en un fluido en reposo están a la misma presión y que elcambio de presión a una altura h es ∆𝑃: 𝜌𝑔𝑕Con esto se puede decir que:𝑃 𝑎𝑡𝑚 + 𝜌1 𝑔𝑕1 + 𝜌2 𝑔𝑕2 + ⋯ + 𝜌 𝑛 𝑔𝑕 𝑛 = 𝑃1EJEMPLOBasándose en los datos de la figura siguiente determinar la presión del airecontenida en el tanque.
  • 9. Solución:𝜌 𝑎𝑔𝑢𝑎 : 1000 𝑘𝑔/ 𝑚³𝜌 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 850 𝑘𝑔/ 𝑚³𝜌 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 : 13600 𝑘𝑔/ 𝑚³𝜌 𝑎𝑡𝑚 : 0𝑃 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑃𝑜 + 𝜌 𝐻𝑔 𝑔𝑕4 – 𝜌 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑔𝑕3 + 𝜌 𝐻𝑔 𝑔𝑕2 − 𝜌 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑔𝑕1 1000𝑘𝑔𝑃 𝑎𝑖𝑟𝑒 = × 9.807𝑚/𝑠² × (13.6 × 7𝑚 – 0.85 × 1𝑚 + 13.6 × 6 sin 45 − 1 𝑚3 × 8𝑚) 1000𝑘𝑔𝑃 𝑎𝑖𝑟𝑒 = × 9.807𝑚/𝑠² × (143.04𝑚) 𝑚3𝑃 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1402793.28 𝑃𝑎 = 1402.79𝑘𝑃𝑎 = 1.402𝑀𝑃𝑎.BAROMETRO Y LA PRESION ATMOSFERICAEl barómetro es el instrumento con el que se mide la presión atmosférica, tambiénllamada presión barométrica. Evangelista Torricelli, científico italiano que probóque se puede medir la presión atmosférica en un tubo invertido con mercuriosumergido en un recipiente con el mismo liquido, tal como se muestra en la figura.
  • 10. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaLa medida del tubo es de 800𝑚𝑚 y al sumergirlo en el recipiente, el nivel demercurio bajó hasta 760𝑚𝑚 de mercurio a 0°𝐶. Por ello: 𝑃 𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔𝑕𝜌: Densidad del mercurio𝑔: Aceleración de la gravedad𝑕: Altura de la columna de mercurioEn diferentes sistemas de unidades los 760𝑚𝑚𝐻𝑔 equivalen a 760 𝑡𝑜𝑟𝑟 (unidadllamada asi en honor a Torricelli) y que también es igual a 29.92 𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝐻𝑔 o101325 𝑃𝑎. La altura es uno de los factores mas importantes que afectan lapresión atmosférica, debido que a mayor altitud, la presión disminuye.EJEMPLODeterminar la presión atmosférica en un lugar donde la lectura barométrica es de700𝑚𝑚𝐻𝑔 y la aceleración de la gravedad es de 9,807𝑚/𝑠². suponga que latemperatura del mercurio es de 0°𝐶 a la cual su densidad es de 13600𝑘𝑔/𝑚³.Solución:
  • 11. 𝑃 𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔𝑕𝑃 𝑎𝑡𝑚 = (13600𝑘𝑔/𝑚³) (9.807𝑚/𝑠²) (0.7𝑚)𝑃 𝑎𝑡𝑚 = 93362.64𝑃𝑎 = 93.362𝑘𝑃𝑎 INTRODUCCION A LA ESTATICA DE FLUIDOSLa estática de fluidos estudia los gases y los líquidos en equilibrio o reposo. Adiferencia de los líquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse, por lo tantoel estudio de ambos filudos presentan algunas características diferentes; elestudio de los fluidos líquidos se llama hidrostática y el estudio de los gases sellama aerostática. Por tener un movimiento uniforme en sus planos adyacentes laestática de fluidos no tiene movimiento relativo u otras fuerzas que traten dedeformarlo. El esfuerzo normal es la fuerza que actúa de forma perpendicular alcuerpo.La estática de fluidos se utiliza para calcular las fuerzas que actúan sobre cuerposflotantes o sumergidos. Es utilizada como principio de construcción de muchasobras de ingeniería, como presas, túneles submarinos, entre otros.FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES PLANASSUMERGIDASUna compuerta de un observatorio marino o una pared de un tanque dealmacenamiento de líquidos, son ejemplos de superficies sumergidas. Estassuperficies quedan sometidas a presiones constantes ∫ 𝑃𝑑𝐴 = 𝑃∫ 𝑑𝐴 = 𝑃𝐴que se distribuyen a lo largo de su superficie como fuerzas paralelas queaumentan conforme a su profundidad, por lo que es necesario hallar su centro depresión, que es la magnitud de la fuerza aplicada a dicha superficie. El otro ladode estas superficies, por lo general, está expuesto a la atmosfera, por lo que laecuación de la presión dentro del fluido es: 𝑃 = 𝑃 𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕 → 𝑃 = 𝜌𝑔𝑕Se considera una placa sumergida totalmente en un líquido como se muestra en lafigura.
  • 12. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaPartiendo de este gráfico, se halla un método de solución para calcular lamagnitud y la ubicación de la fuerza resultante que produce la presión hidrostáticasobre una superficie plana sumergida.1. Determinar el área y el centroide de la compuerta que se encuentra sumergidaa partir de un marco de referencia. (𝐴, 𝑥, 𝑦 ).
  • 13. 2. Evaluar a que profundidad se encuentra el centroide de la superficie, medirdesde el punto centroidal en forma totalmente ortogonal a la superficie libre delfluido 𝑕 𝑐 .3. Calcular el valor de la presión promedio sobre la superficie sumergida, teniendopresente que “la presión promedio sobe una superficie sumergida es equivalentea la presión en el centroide de esta”, 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 .Recordar que 𝑃 = 𝑃 𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕 𝑦 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃 𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕 𝑐4. Hallar la magnitud de la fuerza resultante de la presión hidrostática sobre lasuperficie plana sumergida 𝐹 𝑅 . Recordar que 𝐹 𝑅 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 × 𝐴 (la fuerza resultantesobre la superficie equivale a la presión).5. Transformar la profundidad del centroide por la distancia inclinada de lasuperficie del centroide a la superficie libre, tener presente que este pasocorresponde solo a superficies inclinadas 𝑦 𝑐 . 𝑕Teniendo presente el ángulo de inclinación la relación existente es 𝑦 𝑐 = sin 𝑐 𝜃 .6. Calcular la ubicación de la fuerza sobre la superficie 𝑦𝑝 .El valor de la distancia para superficies con ancho constante, se calcula como elcentroide de prismas de presión pero en forma general, para cualquier clase de 𝐼 𝑥𝑥formas geométricas y con ancho variables se tiene que 𝑦 𝑝 = 𝑦 𝑐 + , donde 𝐼 𝑥𝑥 𝑦 𝑐 ∗𝐴corresponde al valor del momento de inercia del área centroidal de la compuerta.Para aéreas compuestas es imprescindible utilizar el teorema de los ejesparalelos, teniendo presente que la distancia de separación vertical para cadaárea del compuesto se mide desde cada centro de las partes hasta el centro de la 𝑛 𝑛compuerta. 𝐼 𝑥𝑥 = ∑ 𝑖=1 𝐼 𝑥𝑥 −1 + ∑ 𝑖=1 𝐴 𝑖 𝑑2 . 𝑖
  • 14. EJEMPLOPara el caso mostrado en la figura determinar la fuerza hidrostática resultante y elpunto exacto donde se ejerce dicha fuerza sobre la superficie.Solución:El área de la superficie triangular es:𝐴 = (𝑏 × 𝑎)/2 = (4 × 9)/2 = 18 1 1El centroide del triángulo es: 3 𝑏 = 3 9 = 3𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜌𝑔𝑕 = 1025𝑘𝑔 𝑚3 × 9.807 𝑚 𝑠 2 × 13 = 130664 𝑁 𝑚2𝐹 𝑅 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 × 𝐴𝐹 𝑅 = 130664.9 𝑁 𝑚2 × 18𝑚2 = 2351969.1𝑁 𝑎𝑏 3 4 × 93𝐼 𝑥𝑥 = = = 81𝑚4 36 36 𝑕𝑐𝑦𝑐 = = 26𝑚 𝑠𝑒𝑛 30° 𝐼 𝑥𝑥 81𝑚4𝑦 𝑝 = 𝑦𝑐 + = 26𝑚 + = 26.173𝑚 𝑦𝑐 × 𝐴 26𝑚 × 18𝑚2
  • 15. FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE CURVAS SUMERGIDASLa manera mas fácil de obtener la fuerza hidrostática resultante 𝐹 𝑅 parasuperficies curvas sumergidas es determinar la fuerza horizontal 𝐹 𝑕 y la fuerzavertical 𝐹𝑣 cada una por separado. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaEn la figura se muestran todas las fuerzas que intervienen sobre la superficiecurva sumergida. El cuerpo sumergido proyecta dos superficies planas (unahorizontal y otra vertical), para las cuales se les hace el análisis de fuerzashidrostáticas, además del peso del propio cuerpo. Es decir, la superficie vertical esla proyección de la superficie curva en un plano vertical. Lo mismo es para laproyección horizontal. A esto se le aplica la tercera ley de newton (acción fuerza).𝐹 𝑕 = 𝐹𝑥𝐹𝑣 = 𝐹𝑦 + 𝑤Se tiene en cuenta que en la fuerza vertical 𝐹𝑣 , 𝐹𝑦 + 𝑤 se suman si actúan en lamisma dirección, pero se restan si ejercen su fuerza en sentido contrario.
  • 16. La magnitud de la fuerza hidrostática resultante es:𝐹𝑅 = 𝐹 𝑕 2 + 𝐹𝑣 2El ángulo que forma con la horizontal es: 𝐹𝑣𝜃 = tan−1 𝐹𝑕Se localiza el punto de acción de la 𝐹 𝑅 cuando la proyección de 𝐹 𝑕 𝑦 𝐹𝑣 seinterceptan.La solución de ejercicios de esta índole se hace más fácil si se consideran lossiguientes pasos:1. Cálculo de la fuerza horizontal:  Determinar el área proyectada horizontalmente A.  Determinar la distancia desde el centroide hasta la superficie libre 𝑕 𝑐 .  Calcular la presión promedio en el centroide 𝑃 𝑝𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑕 𝑐  Calcular fuerza horizontal, 𝐹 𝑕 = 𝑃 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝐴 𝑦𝑐  Calcular 𝑦 𝑐 , 𝑦𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃2. Cálculo de fuerza vertical.𝐹𝑣 = 𝐹𝑦 + 𝑤𝐹𝑦 = 𝑃 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝐴 𝑕𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙3. Cálculo de la fuerza resultante.𝐹𝑅 = 𝐹 𝑕 2 + 𝐹𝑣 24. Calcular el ángulo de inclinación. 𝐹𝑣𝜃 = tan−1 𝐹𝑕EJEMPLOLa superficie sumergida en agua es la cuarta parte de un círculo con un radio de15 𝑚 y una longitud de 150𝑚. Calcular la fuerza hidrostática que se ejerce sobre lasuperficie curva y determinar su línea de acción.
  • 17. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaSolución:  𝐴 = 150𝑚 × 10𝑚 = 1500𝑚2  𝑕 𝑐 = 7.5𝑚 𝐾𝑔 𝑚  𝑃 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝜌𝑔𝑕 𝑐 = 1000 × 9.81 × 7.5𝑚 = 73575𝑃𝑎 𝑚3 𝑠2 6  𝐹 𝑕 = 𝑃 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 × 𝐴 = 110.3625 × 10 𝑁  𝑦 𝑐 = 7.5𝑚  𝐹𝑣 = 𝐹𝑦 + 𝑤 = 0 + 𝑤 𝐾𝑔 𝑚 𝜋 2 𝑤 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔𝑉 = 1000 × 9.81 2 × 150𝑚 × × 15𝑚 𝑚3 𝑠 4 𝑤 = 260.0355 × 106 𝑁 𝐹𝑣 = 0 + 260.0355 × 106 𝑁 = 260.0355 × 106 𝑁  𝐹𝑅 = 𝐹 𝑕 2 + 𝐹𝑣 2 = 282.486 × 106 𝐹𝑣 260.0355 ×10 6 𝑁  𝜃 = tan−1 = tan−1 110.3625 ×10 6 𝑁 = 67° 𝐹𝑕
  • 18. FLOTACION Y ESTABILIDADPrincipio de ArquímedesDesde hace más de 2200 años el principio de Arquímedes es utilizado por elhombre. Cuando un cuerpo es introducido (sin importar su geometría)completamente en un fluido de densidad conocida se le puede conocer suvolumen midiendo la perdida aparente en peso de este. En conclusiónArquímedes planteó:¨todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje ascensional igual alpeso del líquido que desaloja¨.Con este principio surgen los conceptos de flotabilidad y flotación.Flotabilidad: es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo sobreun cuerpo colocado en el.Estabilidad: se conoce como la propiedad que tiene un cuerpo para regresar a suposición original luego de haber sido inclinado con respecto a su eje.Al observar la flotabilidad de varios objetos cuyo material de constitución sondiferentes, cada uno presenta características diferentes. Como es el caso de losobjetos constituidos por madera, plástico u otros materiales ligeros, que flotan enel agua. Esto permite apreciar que el fluido donde se encuentran inmersos ejerceuna fuerza hacia arriba sobre el cuerpo. Esta fuerza que tiende a empujar elcuerpo hacia la superficie se denomina fuerza de flotación 𝐹 𝐵 . La fuerza deflotación esta asociada a la presión de un fluido y esta a su profundidad. Para elcaso se considera una placa sumergida en un fluido con una densidad 𝜌𝑓 , unespesor h, una distancia s y un área A. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
  • 19. La placa se encuentra paralela a la superficie libre. Ambos lados de la placa tienenun área A y las presiones en la superficie superior como la inferior son:Presión superior: 𝜌 𝑓 𝑔𝑠 fuerza hidrostática superior, 𝐹𝑠𝑢𝑝 = 𝜌 𝑓 𝑔𝑠𝐴Presión inferior: 𝜌 𝑓 𝑔(𝑠 + 𝑕) fuerza hidrostática inferior, 𝐹𝑖𝑛𝑓 = 𝜌 𝑓 𝑔(𝑠 + 𝑕)𝐴 𝐹𝑠𝑢𝑝 actúa hacia debajo de la placa y es menor en comparación con la 𝐹𝑖𝑛𝑓 queactúa hacia arriba desde la parte inferior de la placa. De estas dos fuerzas surge lafuerza de flotación.𝐹 𝐵 = 𝐹𝑖𝑛𝑓 − 𝐹𝑠𝑢𝑝𝐹 𝐵 = 𝜌 𝑓 𝑔 (𝑠 + 𝑕)𝐴 − 𝜌 𝑓 𝑔𝑠𝐴𝐹 𝐵 = 𝜌 𝑓 𝑔𝑕𝐴𝐹 𝐵 = 𝜌 𝑓 𝑔∀∀= 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎.Por lo anterior se deduce que 𝐹 𝐵 = 𝜌 𝑓 𝑔∀ es el peso del líquido cuyo volumen esigual al peso de la placa. Es decir, la fuerza de flotación ejercida sobre la placa esigual al peso del líquido desplazado por la misma placa. Además es notorio que ladistancia que separa al cuerpo de la superficie libre como la densidad del cuerpono tiene relación con la fuerza de flotabilidad o fuerza boyante.La ecuación anterior es valida para cualquier forma geométrica que presente uncuerpo. Esto se ve partiendo del argumento de que la fuerza de flotación queactúa sobre un cuerpo sumergido es igual al peso del fluido desplazado por elcuerpo y actúa hacia arriba pasando por el centroide de dicho volumen. Cuandose tienen cuerpos flotantes, el peso completo del cuerpo debe ser igual a la fuerzade flotación. Esto indica lo siguiente:𝐹𝐵 = 𝑤𝜌 𝑓 𝑔∀ 𝑠𝑢𝑚 = 𝜌 𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 𝑔∀ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝜌 𝑓 ∀ 𝑠𝑢𝑚 = 𝜌 𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 ∀ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙∀ 𝑠𝑢𝑚 𝜌 𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 =∀ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜌𝑓Con la relación de densidades de la ecuación anterior se observa que:
  • 20. 𝜌 𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 < 𝜌 𝑓 = el cuerpo flota𝜌 𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 > 𝜌 𝑓 = el cuerpo se hunde hasta el fondo. 𝜌 𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 = 𝜌 𝑓 = el cuerpo se suspende, permaneciendo en reposo en cualquierpunto del fluido donde se deje.EL HIDROMETROPara determinar las densidades relativas de los líquidos se usa el hidrómetro,instrumento que usa el principio de flotación. Fuente: Mecánica de los fluidos. Víctor L. Streeter, Benjamín WylieComo el líquido de la figura (a) es agua el hidrómetro flota en equilibrio: 𝑊 = 𝜌 𝑓 𝑔∀ 𝑠𝑢𝑚 𝑊 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑕𝑖𝑑𝑟ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝜌 𝑓 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑔 = 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑∀ 𝑠𝑢𝑚 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜
  • 21. En la imagen a el hidrómetro marca 1 en la parte superior que coincide con lasuperficie del agua. Esto indica la unidad de la gravedad específica del fluido, eneste caso es 1.Cuando el hidrómetro flota en otro líquido, la ecuación de equilibrio se transformaen:(∀ 𝑠𝑢𝑚 − ∆∀ 𝑠𝑢𝑚 )𝑠𝑔𝜌 𝑓 = 𝑊∆𝑉𝑠 𝑢𝑚 = 𝑎∆𝑕Como se tienen dos ecuaciones para 𝑊, se igualan y se despeja ∆𝑕:𝜌 𝑓 𝑔∀ 𝑠𝑢𝑚 = (∀ 𝑠𝑢𝑚 − ∆∀ 𝑠𝑢𝑚 )𝑠𝑔𝜌 𝑓∀ 𝑠𝑢𝑚 = (∀ 𝑠𝑢𝑚 − 𝑎∆𝑕)𝑠∀ 𝑠𝑢𝑚 = ∀ 𝑠𝑢𝑚 − 𝑎∆𝑕 𝑠 ∀ 𝑠𝑢𝑚𝑎∆𝑕 = ∀ 𝑠𝑢𝑚 − 𝑠 ∀ 𝑠𝑢𝑚 ∀ 𝑠𝑢𝑚∆𝑕 = − 𝑎 𝑎𝑠 ∀ 𝑠𝑢𝑚 (𝑠 − 1)∆𝑕 = 𝑎𝑠Con esta diferencia de alturas se puede determinar densidades relativas paradiferentes fluidos.EJEMPLOSe desea calcular la densidad de un fluido, para ello se utiliza un hidrómetro quepreviamente se sumerge en agua y marca un altura de 15 cm desde el fondo deltubo hasta la superficie del liquido, indicando el nivel, el cual se marca. Luego seintroduce el liquido de densidad desconocida y se observa que la marca aascendido 0.8 cm por arriba de la superficie libre. Determinar la densidad delfluido. El hidrómetro es de forma cilíndrica, tiene 1 cm de diámetro y no poseemarcas de división a su costado.
  • 22. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaSolución:En agua, 𝑊 = 𝜌 𝑤 𝑔𝑕 𝑤 𝐴En el líquido desconocido, 𝑊 = 𝜌 𝑙 𝑔𝑕 𝑙 𝐴Se igualan los dos pesos:𝜌 𝑤 𝑔𝑕 𝑤 𝐴 = 𝜌 𝑙 𝑔𝑕 𝑙 𝐴𝜌 𝑤 𝑕 𝑤 = 𝜌𝑙 𝑕 𝑙 𝜌𝑤 𝑕𝑤𝜌𝑙 = 𝑕𝑙 𝑘𝑚 1000 × 0.15𝑚𝜌𝑙 = 𝑚3 0.15𝑚 − 0.008𝑚 𝑘𝑔𝜌 𝑙 = 1056.338 𝑚3
  • 23. ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS Y DE LOSFLOTANTESEn un fluido un cuerpo se considera estable si regresa a su posición original luegode haberse girado un poco alrededor de su eje horizontal. La estabilidad esdiferente dependiendo si el cuerpo esta sumergido o se encuentra flotando.ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOSEjemplos de cuerpos que se encuentran sumergidos son los submarinos. Estoscuerpos necesitan que el centro de gravedad del mismo deba estar por debajo delcentro de flotabilidad para que se presente estabilidad.El centro de estabilidad de un cuerpo se ubica en el centroide del volumen defluido desplazado y es a través de este punto como actúa la fuerza de empuje endirección vertical. El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través delcentro de gravedad.Las figuras a continuación muestran la estabilidad de cuerpos sumergidos: Fuente: Mecánica de fluidos aplicada. Robert L. Mott
  • 24. Para el submarino mostrado los puntos 𝑐𝑏 y 𝑐𝑔 son los centros de flotabilidad y degravedad, respectivamente. La figura (b) muestra el efecto de la fuerza boyante 𝐹 𝐵 y el peso 𝑊 que suministra un par que tiende a girar el submarino de regreso asu posición original luego de haber sido desplazado ligeramente. Lo que originaque el cuerpo sea estable. Por otro lado en la figura (c) se ve lo que sucedería sila configuración estuviera al contrario de lo que se presenta en la figura (a).Cuando se gira el cuerpo de la figura (c), la fuerza boyante 𝐹 𝐵 y el peso 𝑊producen un par que tiende a voltear el submarino. Esta orientación es inestable.Si el centro de gravedad y el centro de flotabilidad de un cuerpo coinciden, comosucede con un cuerpo solido, la fuerza boyante 𝐹 𝐵 y el peso 𝑊 actúan a través delmismo punto sin que se produzca el par. Esto le confiere una estabilidad neutral alcuerpo y permanecerá en cualquier orientación en la que se coloque, con respectoa un eje vertical.ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTESLa condición de estabilidad para cuerpos flotantes se da si su centro de gravedadestá por debajo del metacentro. Ver figura. Fuente: Mecánica de fluidos aplicada. Robert L. MottEl casco de un barco, mostrado en la figura (a), está en su orientación de equilibrioy el centro de gravedad (𝑐𝑔) se encuentra por encima del centro de flotabilidad(𝑐𝑏). En la figura (b) se ve que al girar el casco respecto a su eje horizontal, elcentro de flotabilidad se desplaza en una nueva posición debido que la forma ogeometría del volumen que ha sido desplazado se ha modificado. En este caso 𝐹 𝐵
  • 25. Y 𝑊 producen un par de rectificación que hace al cuerpo regresar a su orientaciónoriginal. De esta manera el cuerpo es estable.El metacentro (𝑚𝑐) es el punto de intersección del eje vertical de un cuerpocuando se encuentra en su posición de equilibrio y la recta vertical que pasa por lanueva posición del centro de flotabilidad cuando el casco, en este caso, estágirado ligeramente.Para saber si un cuerpo flotante es estable se calcula la posición de sumetacentro. La distancia del metacentro al centro de flotabilidad, se denota con(𝑀𝐵), calculándose a partir de la siguiente ecuación: 𝐼 𝑀𝐵 = 𝑉𝑑𝐼 = Volumen desplazado del fluido. 𝑉 𝑑 = Mínimo momento de inercia de una sección horizontal del cuerpo, tomada enla superficie del fluido.Si la distancia 𝑀𝐵 coloca al metacentro por encima del centro de gravedad elcuerpo es estable.FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDOCuando los fluidos son transportados, por ejemplo en contenedores, la aceleraciónhace que el fluido se mueva hacia la parte posterior, formándose una nuevasuperficie libre que no es horizontal. Cada partícula del fluido adquiere la mismaaceleración y la masa del fluido se comporta como un cuerpo rígido. Al fluido notener deformación no se presenta ningún esfuerzo cortante.Para analizar lo que sucede dentro del fluido, este se analiza por medio de unelemento rectangular diferencial del fluido con lados 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧.
  • 26. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaSe aplica la segunda ley de newton del movimiento al elemento:𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 ∙ 𝑎𝛿𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝛿𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜Sobre el cuerpo actúa la gravedad (𝑔) y las fuerzas superficiales, como lasfuerzas de presión, actuando sobre la superficie del elemento y proporcionales alárea superficial. Otras fuerzas como la eléctrica, magnética, esfuerzo cortante, nose tienen en cuenta, debido a que las posiciones relativas de los elementos defluido permanecen inalteradas.La presión (𝑃) se toma en el centro del elemento: 𝜕𝑃 𝑑𝑧Presión en la superficie superior: 𝑃+ 𝜕𝑧 2 𝜕𝑃 𝑑𝑧Presión en la superficie inferior: 𝑃− 𝜕𝑧 2
  • 27. La fuerza neta superficial que actúa sobre el elemento en la dirección 𝑍 es ladiferencia entre las fuerzas de presión que actúan sobre las caras superior einferior. 𝜕𝑃 𝑑𝑧 𝜕𝑃 𝑑𝑧𝛿𝐹𝑠,𝑧 = 𝑃− 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑃− 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑃𝛿𝐹𝑠,𝑧 = − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑧Lo mismo ocurre en las direcciones 𝑋 𝑦 𝑌. 𝜕𝑃𝛿𝐹𝑠,𝑥 = − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑃𝛿𝐹𝑠,𝑦 = − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑦La fuerza superficial neta que actúa sobre el elemento es:𝛿𝐹𝑠 = 𝛿𝐹𝑠,𝑥 𝑖 + 𝛿𝐹𝑠,𝑦 𝑗 + 𝛿𝐹𝑠,𝑧 𝑘 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑃𝛿𝐹𝑠 = − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑖 − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑗 − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑃𝛿𝐹𝑠 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑖− 𝑗− 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑃𝛿𝐹𝑠 = − 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧𝛿𝐹𝑠 = −∇ 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∇ 𝑃 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛.Sobre el elemento de fluido actúa su propio peso en dirección 𝑍 negativa, sedenota con 𝛿𝐹 𝐵,𝑍 :𝛿𝐹 𝐵,𝑍 = −𝑔𝛿𝑚 = −𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛿𝐹 𝐵,𝑍 = −𝑔𝛿𝑚𝑘 = −𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘La fuerza total que actúa sobre el elemento es:𝛿𝐹 = 𝛿𝐹𝑠 + 𝛿𝐹 𝐵 = −∇ 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘𝛿𝐹 = − ∇ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
  • 28. Como 𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 ∙ 𝑎 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎, se sustituye en la segunda ley de newton;− ∇ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎 ∇ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −𝑎 𝐸𝑐. 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠Se puede expresar en forma vectorial como:𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 + 𝜌𝑔𝑘 = −𝜌 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧Al igualar cada vector unitario se obtienen las ecuaciones de fluidos enaceleración:𝜕𝑃 = −𝜌𝑎 𝑥𝜕𝑥𝜕𝑃 = −𝜌𝑎 𝑦𝜕𝑦𝜕𝑃 = −𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧𝜕𝑧CASO ESPECIAL 1. FLUIDOS EN REPOSOCuando los fluidos se mueven en una trayectoria recta a velocidad constante oestán en reposo, la aceleración es cero en cualquier componente por lo que lasecuaciones quedan así:𝜕𝑃 =0𝜕𝑥𝜕𝑃 =0𝜕𝑦𝜕𝑃 = −𝜌𝑔𝜕𝑧La expresión queda de la siguiente manera:𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧Se integra entre dos puntos: 𝑝0 y 𝑝.𝑝 = 𝑝0 − 𝜌𝑔𝑧 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
  • 29. CASO ESPECIAL 2. CAIDA LIBRE DE UN CUERPO DE FLUIDOCuando se deja caer un cuerpo este acelera bajo la influencia de la gravedad. Sidespreciamos la resistencia que ofrece el aire, la aceleración del cuerpo es igual ala gravedad y en dirección horizontal la aceleración es cero. Las ecuacionesquedan así:𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = 0 𝑎 𝑧 = −𝑔𝜕𝑃 =0𝜕𝑥𝜕𝑃 =0𝜕𝑦𝜕𝑃 = −𝜌 𝑔 − 𝑔 = 0𝜕𝑧Si por el contrario se invierte la dirección del movimiento acelerando en direcciónvertical, pero hacia arriba, entonces 𝑎 𝑧 = +𝑔 , entonces:𝜕𝑃 =0𝜕𝑥𝜕𝑃 =0𝜕𝑦𝜕𝑃 = −𝜌 𝑔 + 𝑔 = −2𝜌𝑔𝜕𝑧𝑝 = 𝑝0 − 2𝜌𝑔𝑧
  • 30. ACELERACION SOBRE UNA TRAYECTORIA RECTA Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaAl considerar el gráfico se observa que cuando un fluido contenido en unrecipiente se somete a una aceleración el fluido se desplaza hacia la parteposterior formando una superficie libre diferente. Al no existir movimiento en ladirección 𝑦 entonces 𝑎 𝑦 = 0 . Las ecuaciones para el movimiento se reducen a:𝜕𝑃 = −𝜌𝑎 𝑥𝜕𝑥𝜕𝑃 =0𝜕𝑦𝜕𝑃 = −𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧𝜕𝑧Estas ecuaciones indican que la presión es independiente de 𝑦. La presióndiferencial total de 𝑃 = 𝑃 𝑥, 𝑧 es: 𝜕𝑃 𝜕𝑃𝑑𝑃 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧
  • 31. 𝑑𝑃 = −𝜌𝑎 𝑥 𝑑𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧 𝑑𝑧 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒Para una densidad constante, la diferencia de presiones entre dos puntos 1 y 2 enel fluido: 𝑃2 𝑥2 𝑧2 𝑑𝑃 = −𝜌𝑎 𝑥 𝑑𝑥 − −𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧 𝑑𝑧 𝑃1 𝑥1 𝑧1𝑃2− 𝑃1 = −𝜌𝑎 𝑥 𝑥2 − 𝑥1 − 𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧 𝑧2 − 𝑧1Al tomar 𝑃1 = origen, entonces 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, donde la presión es 𝑃0 y el punto 𝑃2como cualquier punto en el fluido.La variación de la presión se expresa:𝑃2 = 𝑃1 − 𝜌𝑎 𝑥 𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧 𝑧𝑃 = 𝑃0 − 𝜌𝑎 𝑥 𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧 𝑧 𝑃0 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑃 = 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜El ascenso o descenso de las superficie libre se calcula al hacer tanto 1 como 2sobre la superficie libre. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
  • 32. 𝑃2 = 𝑃1 , entonces:𝑃2 − 𝑃1 = −𝜌𝑎 𝑥 𝑥2 − 𝑥1 − −𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧 𝑧2 − 𝑧10 = −𝜌𝑎 𝑥 𝑥2 − 𝑥1 − 𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧 𝑧2 − 𝑧1𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2 − 𝑧1 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2 − 𝑥1 𝑎𝑥𝑧2 − 𝑧1 = ∆𝑧 𝑠 = − 𝑥 +𝑥 𝑔 + 𝑎𝑧 2 1Aquí 𝑧 𝑠 es la proyección vertical de la superficie libre del fluido. Las superficies depresión constantes, isobaras, se obtienen al hacer 𝑑𝑃 = 0.𝑑𝑃 = −𝜌𝑎 𝑥 𝑑𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑥 =− = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑥 𝑔 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 = 𝑑𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎Las pendientes de las isobaras son: 𝑑𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑥𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = =− = −𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝑥 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑎𝑥𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑔 + 𝑎𝑧EJEMPLOUn recipiente que contiene agua es transportado en dirección horizontal, lasuperficie libre forma un ángulo de 17° con respecto a la horizontal. Calcular laaceleración del recipiente y cual es la altura sobre el nivel en reposo que selevanta el fluido cuando este se somete a una aceleración.
  • 33. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala 𝑎𝑥𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 = 𝑔 + 𝑎𝑧𝑎𝑧 = 0 𝑚𝑡𝑎𝑛𝑔 17° 𝑔 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 = 2.999 𝑠2Luego: ∆𝑧 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 = 2.5𝑚
  • 34. ∆𝑧 𝑠 = 2.5𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃∆𝑧 𝑠 = 0.7643𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎.ROTACION EN UN RECIPIENTE CILINDRICOCuando un fluido contenido en un recipiente se hace girar respecto a un eje lasuperficie libre es cóncava, generando a la vez un movimiento de vértice forzado. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaAl considerar el recipiente de la figura este contiene un fluido que se hace giraralrededor de su eje a una velocidad constante angular 𝜔. Luego de iniciar elmovimiento el fluido se comporta como un cuerpo rígido junto con el recipiente.Aquí tampoco existe deformación, ni esfuerzo cortante y al igual que en los casosanteriores las partículas que componen el fluido se moverán a la misma velocidadangular.Para buscar las ecuaciones en este tipo de movimiento se consideran todas lascomponentes mostrada en la figura.Al ser un cilindro y tener movimiento rotacional se usan coordenadas cilíndricas(𝑟, 𝜃, 𝑧). Se conoce que la velocidad angular del fluido es 𝜔, por lo tanto laeceleracion centrípeta es 𝑟𝜔2 , siendo 𝑟 la distancia hacia el eje de rotación,dirección negativa, por lo tanto se denomina aceleración radial 𝑎 𝑟 = −𝑟𝜔2 . aquí
  • 35. no existe relación con el ángulo 𝜃, por lo que se desprecia; por ello la presióndepende del radio y de altura z. Además, la aceleración tangencial 𝑎 𝜃 es igual acero y 𝑎 𝑧 tambien es cero.Considerando lo anterior las ecuaciones del movimiento rotacional son:𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑃 = −𝜌𝑟𝜔2 =0 = −𝜌𝑔𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧La diferencial de presión es: 𝜕𝑃 𝜕𝑃𝑑𝑃 = 𝑑𝑟 + 𝑑𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧Para obtener la ecuación de las superficies de presión constante (isobara), seprocede igual que en el caso anterior. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaA saber 𝑑𝑃 = 0 𝑦 𝑧 = 𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧0 = 𝜌𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧𝑔𝑑𝑧 = 𝑟𝜔2 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑟𝜔2 = 𝑑𝑟 𝑔
  • 36. Integrando se obtiene la ecuación para las superficies de presión constante. 𝑧2 𝑟2 𝑟𝜔2 𝑑𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝑑𝑟 𝑧1 𝑟1 𝑔 𝜔2 2 𝑧2 − 𝑧1 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝑟 𝑟 + 𝑐1 2𝑔 2− 1𝑟2− 𝑟1 = 𝑟𝑧2 − 𝑧1= 𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝜔2 𝑟 2𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 = + 𝑐1 2𝑔Por la ecuación anterior se deduce que las superficies de presión constante sonparaboloides. Al hacer 𝑟 = 0,𝑧 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 0 = 𝑐1 = 𝑕 𝑐 𝑕 𝑐 es la distancia que hay desde la superficie libre al fondo del recipiente, comosiempre va a existir liquido 𝑧 𝑠 nunca va a ser igual a cero a menos que no existalíquido. La ecuación para la superficie libre se transforma en: 𝜔2 𝑟 2𝑧𝑠 = + 𝑕𝑐 2𝑔Aquí 𝑧 𝑠 es la distancia desde la superficie libre hasta el fondo del tanque a lo largodel eje de rotación.El volumen formado por la superficie libre se puede determinar conociendo unelemento de cascaron cilíndrico de radio 𝑟, altura 𝑧 𝑠 y espesor 𝑑𝑟.
  • 37. 𝑑𝑣 = 2𝜋𝑟𝑧 𝑠 𝑑𝑟 𝑟=𝑅𝑣= 2𝜋𝑟𝑧 𝑠 𝑑𝑟 𝑟=0 𝑟=𝑅 𝜔2 𝑟 3𝑣 = 2𝜋 + 𝑟𝑕 𝑐 𝑑𝑟 𝑟=0 2𝑔 𝜔2 𝑅 4 𝑅2𝑣 = 2𝜋 + 𝑕 8𝑔 2 𝑐 𝜔2 𝑅 4𝑣= 𝜋 + 𝑅2 𝑕 𝑐 4𝑔 2 𝜔2 𝑅 2𝑣 = 𝜋𝑅 + 𝑕𝑐 4𝑔𝑣 = 𝜋𝑅 2 𝑕0𝑕0 es la altura original del fluido en el recipiente sin flotación.
  • 38. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. CimbalaDe la gráfica se obtiene: 𝜔2 𝑅 2𝑕 𝑐 = 𝑕0 − 4𝑔 𝜔2 𝑟 2 𝜔2 𝑅 2𝑧𝑠 − = 𝑕0 − 2𝑔 4𝑔 𝜔2 𝑅 2 𝜔2 𝑟 2𝑧 𝑠 = 𝑕0 − + 4𝑔 2𝑔 𝜔2 𝑅 2 + 2𝜔2 𝑟 2𝑧 𝑠 = 𝑕0 − 4𝑔 𝜔2 2𝑧 𝑠 = 𝑕0 − 𝑅 − 2𝑟 2 4𝑔La altura máxima vertical se da en el borde cuando 𝑟 = 𝑅 y la diferencia máximaen las alturas entre el borde y el centro de la superficie se obtiene al evaluar 𝑧 𝑠 en𝑟 = 𝑅 y 𝑟 = 0 y se calcula la diferencia. La altura máxima es igual a: 𝜔2 2𝑧 𝑠 = 𝑕0 − 𝑅 − 2𝑟 2 4𝑔 𝜔2 2𝑧 𝑠 = 𝑕0 − 𝑅 − 2𝑅 2 4𝑔
  • 39. 𝜔2𝑧 𝑠 = 𝑕0 − −𝑅 2 4𝑔 𝜔2 𝑅 2𝑧 𝑠 = 𝑕0 + 4𝑔La diferencia máxima en las alturas es 𝑧 𝑠 𝑅 = 𝑧 𝑠 0 𝜔2 2𝑧𝑠 𝑅 = 𝑕0 − 𝑅 − 2𝑟 2 4𝑔 𝜔2 𝑅 2𝑧 𝑠 𝑅 = 𝑕0 + 4𝑔 𝜔2 2 2𝑧 𝑠 0 = 𝑕0 − 𝑅 −2 0 4𝑔 𝜔2 𝑅 2𝑧 𝑠 0 = 𝑕0 − 4𝑔Luego: 𝜔2 𝑅2 𝜔2 𝑅 2𝑧𝑠 𝑅 = 𝑧𝑠 0 = 𝑕0 + − 𝑕0 − 4𝑔 4𝑔 𝜔2 𝑅 2 𝜔2 𝑅 2∆𝑧 𝑠,𝑚𝑎𝑥 = + 4𝑔 4𝑔 𝜔2 𝑅 2 + 𝜔2 𝑅 2∆𝑧 𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 4𝑔 2𝜔2 𝑅 2∆𝑧 𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 4𝑔 𝜔2 𝑅 2∆𝑧 𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 2𝑔Para obtener la diferencia de presión entre dos puntos 𝑃1 y 𝑃2 se integra.𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧 𝑃2 𝑟2 𝑧2 𝑑𝑃 = −𝜌𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − −𝜌𝑔𝑑𝑧 𝑃1 𝑟1 𝑧1
  • 40. 𝜌𝜔2 2 2𝑃2− 𝑃1 = 𝑟2 − 𝑟1 − 𝜌𝑔 𝑧2 − 𝑧1 2Al tomar 𝑃1 como el origen, 𝑟 = 0 y 𝑧 = 0 ;𝑃1 = 𝑃0 ; 𝑃2 se toma como cualquier puntoen el fluido. 𝜌𝜔2 2𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑃 = 𝑃0 + 𝑟 − 𝜌𝑔𝑧 2EJEMPLOSe hace girar un tanque cilíndrico de diámetro 2.5 𝑚 con agua a 15 𝑟𝑝𝑚. Lapresión en el centro de la superficie del fondo es de 100 𝑘𝑃𝑎. Calcular la presiónen el borde de la superficie del fondo. Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
  • 41. 𝑅𝑒𝑣 1 𝑚𝑖𝑛𝑤 = 2𝜋𝑛 = 2𝜋 15 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 𝑅𝑒𝑣𝑤 = 1.571 𝑚𝑖𝑛 𝜌𝜔2 2𝑃 = 𝑃0 + 𝑟 − 𝜌𝑔𝑧 2 2 𝑘𝑔 𝑟𝑎𝑑 1000 3 × 1.571 𝑠 𝑘𝑔 𝑚𝑃 = 100000𝑘𝑃𝑎 + 𝑚 1.25𝑚 2 − 1000 × 9.81 2 × 0 2 𝑚 3 𝑠𝑃 𝐵𝑜𝑟𝑑𝑒 = 101.928𝑘𝑃𝑎.