Le pricing des options américaines avec
dividendes en temps discret
Orion Jeremy - Royer Julien
2015
Abstract
Abstract :
L...
Remerciements
Nous remercions chaleureusement Mr. Mathis pour avoir accepté de nous diriger
pour la rédaction de ce mémoir...
Table des matières
1 Le modèle de Korn-Rogers et le pricing 5
1.1 Hypothèses sur l’évolution du sous jacent . . . . . . . ...
Introduction
En 1973, Black et Scholes[1] définissent un modèle de pricing d’options qui révo-
lutionne les pratiques financ...
1 Le modèle de Korn-Rogers et le pricing
Dans cette première partie nous définirons le modèle développé par Korn et Ro-
ger...
Or pour tout k ≥ 0 on a
E
+∞
i>k
e−r(t1+(i−1)h−t)
X(t1 + (i − 1)h)
= E
+∞
i>k
e−r(t1+(i−1)h−t)
X(t)eµ(t1+(i−1)h−t)
= E
+∞
...
où z est le même processus de Wiener que celui qui apparaît dans l’équation [pré-
cédente]"
On définit alors
G = ln(ψ(t)Xt)...
On peut donc réécrire l’équation précédente comme
ln(S(t) − φ(t)) − ln(S(0) − φ(0)) ∼ N r −
1
2
σ2
t, σ
√
t
⇔ ln(S(t) − φ(...
1.2 Pricing d’une option européenne avec plusieurs divi-
dendes
On se place ici dans le cas d’une option européenne dont l...
La fonction f est une fonction bijective de R dans R il existe donc une fonction
f−1
telle que f−1
(S(T)) = WT .
WT =f−1
(...
Or
e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX
h(X)=
1
√
2π
e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX−X2
2
⇔ e(r−1
2
σ2)T+σ
√
TX
h(X)=
1
√
2π
erT
e−1
2
(X2−2σ
√
TX+σ2T)...
Ainsi
E[max(S(T) − K; 0)] = erT ˜S0N( ˜d1) − KN( ˜d2)
On a donc bien que le prix du call est
e−rT
E[max(S(T) − K; 0)] = ˜S...
Preuve :
On se place dans le cas d’un titre payant un unique dividende à la date t1, il
apparaît donc que seule cette date...
Ainsi
E e−rt1
(S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0
= E e−rt1
(e(r−µ)h
S(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0
= e−rt1
+∞
S∗
(e(r−µ)h
S(t1) −...
et on obtient donc en notant h(X) la fonction de densité de probabilité de la loi
normale centrée réduite
e−rt1
+∞
S∗
(e(r...
On obtient donc
e−rt1
+∞
S∗
(e(r−µ)
S(t1) − K)g(S(t1))dS(t1)
= S0
+∞
1
σ
√
t1
ln S∗
S0e−(r−µ)h
−(r−1
2
σ2)t1
h(X − σ
√
t1)...
Alors
d1
(t1)=
ln S(t1)
K
+ (r + 1
2
σ2
)(T − t1)
σ
√
T − t1
⇔ d1
(t1)=
ln S0e−(r−µ)he(r− 1
2 σ2)t1+σW (t1)
K
+ (r + 1
2
σ...
avec X une variable normale centrée réduite.
Ainsi
E e−rt1
(S(t1)N(d1
(t1)) − Ke−r(T−t1)
N(d2
(t1)))1{S(t1)≤S∗}|F0
= E e−r...
avec
β2
1 + α2
2
=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1
2
σ2
)T
σ
√
T − t1
1 +
t1
T − t1
−1
2
⇔
β2
1 + α2
2
=
ln S0e−(r−µ)h
K
+ (r − 1...
On effectue le changement de variable
Y = X − σ
√
t1
et on obtient ainsi
S0e−(r−µ)h
−d2
1
−∞
N(β1 + α1X)h(X − σ
√
t1)dX
= S...
Ainsi :
S0e−(r−µ)h
−d1
1
−∞
N(β1 + α1Y )h(Y )dY = S0e−(r−µ)h
N d1
2, −d1
1, −
t1
T
On a donc que
E e−rt1
C0,0
D (S(t1), t1...
et
d1
1 =
ln S0−D1e−rt1
S∗ + (r + 1
2
σ2
)t1
σ
√
t1
et d2
1 = d1
1 − σ
√
t1
d1
2 =
ln S0−D1e−rt1
K
+ (r + 1
2
σ2
)T
σ
√
T
...
Si l’on se place en t1, nous sommes dans le cas où l = 1 et k = 1, on a donc
S(t1) = (S0 − D1e−rt1
)e(r−1
2
σ2)t1+σW(t1)
E...
et
d1
i =
ln
(S0 − D1e−rt1
)e−(r−µ)(i−1)h
S∗
i
+ (r + 1
2
σ2
)(t1 + (i − 1)h)
σ t1 + (i − 1)h
d2
i = d1
i − σ t1 + (i − 1)...
c
(i+1)
kj =



˜c
(i)
kj...
avec
Π0,1
1 (S0, 0) = N(d1
1) + e−(r−µ)h
N d1
2, −d1
1, −
t1
T
Π0,1
2 (S0, 0) = er(T−t1)
N(d2
1) + N d2
2, −d2
1, −
t1
T
e...
américaine dont le sous jacent verse n − 1 dividendes stochastiques jusqu’à la ma-
turité de l’option.
Ainsi, on peut écri...
avec X une variable normale centrée réduite.
Ainsi, en suivant la même méthode que dans la preuve pour la formule d’un cal...
et
d1
i =
ln
(S0 − D1e−rt1
)e−(r−µ)(i−1)h
S∗
i
+ (r + 1
2
σ2
)(t1 + (i − 1)h)
σ t1 + (i − 1)h
d2
i = d1
i − σ t1 + (i − 1)...
où D∗
1 est connu et donc D∗
1 = D1.
On peut donc écrire le prix de l’option en t = 0 comme suit :
C0,n−1
D (S0, 0, T, K)=...
2 Application numérique du modèle
On a déterminé dans la partie précédente des formules analytiques pour le pricing
d’opti...
vérifie l’hypothèse du modèle.
En définissant le µ de notre modèle comme la moyenne équipondérée des µ de
chaque titre de no...
elseif n*h>T
alineaerror(’Il y a trop de dividendes par rapport à la durée de vie de
alineal”option’)
elseif l>n
alineaerr...
Set = fzero(@(S)Setoile(S),T*K) ;
% paramètres à incorporer dans la loi normale bivariée
d11 = (log(S*exp(-(r-mu)*h)/Set)+...
Setoile=@(S)BlackScholes(S,K,(T-t),r,sigma)-S-D+K ;
Set = fzero(@(S)Setoile(S),T*K) ;
% paramètres à incorporer dans la lo...
alineaerror(’Données incompatibles’)
end
options = optimset(’TolFun’, 0.01) ; %optimisation options
d11 = zeros(n+1,1) ; %...
alineaalineaalineacor(1,i+1)= -sqrt(t1/((t1+1)*h)) ;
alineaalinea% cas où i>1 and i<n
alineaalineaelseif i>1 && i<n
alinea...
alineaalinead11(i+1,1) = (log(S*exp(-(r-mu)*((i+1)*h))/Set)
alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+i*h))/(sigma*sqrt(t1+i*h)) ;
...
if t1+(n-1)*h> T
alineaerror(’Données incompatibles’)
elseif n*h>T
alineaerror(’Données incompatibles’)
end
%il faudra a c...
alineaalinead21(i,1) = d11(i,1)-sigma*sqrt(t1+(i-1)*h) ;
alineaalinea% calcul de la matrice de corrélation
alineaalineaif ...
alineaalinead11(i+1,1) = (log((S-D*exp(-r*t1))*exp(-(r-mu)*i*h)/Set)
alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+i*h))/(sigma*sqrt(t1...
3 Frontière d’exercice
Cette partie se focalise sur la particularité de l’option américaine. En effet, l’option
européenne ...
préférable de garder l’option) mais dès que le cours franchit la courbe, il est alors
intéressant d’exercer et il est même...
div_temps = ones(n,1) ; % Nous permettras de savoir quand faire tomber les
dividendes
div_temps(1,1)=t1 ; % 1er dividende ...
mu=0.027634 ;
fe = 0 ; %frontiere
N = 1000 ;
dt = 1 / N ; %pas
n=4 ; % nombre de dividendes attendus
abscisse = 1 :1 :T/dt...
alineaalineaif cash(j) == Smat(j) - X && fe == 0
alineaalineaalineafe = Smat(j) ;
alineaalineaend
alineaend
alineafrontier...
Cela permet de savoir à quel niveau de S(t), la valeur intrinsèque S-K sera supé-
rieure à la valeur de continuation en t....
Conclusion
Nous avons donc, en reprenant les résultats dérivés du modèle de Korn et Rogers
par Kruse et Muller, développé ...
Annexes 1
Propriétés fondamentales
Nous reportons ici les propriétés définies par Kruse et Muller dans l’article sur
lequel...
Propriété 3
On note fX la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite.
On a
γ
−∞
Nn(α1x + β1, ..., αnx + βn; ˆ...
et les éléments hors diagonale de la matrice C(n+1)
sont donnés par :
si n = 1
c
(2)
12 =
−α11σ1
1 + α2
11σ2
1
= −
t1
T
si...
Annexes 2
Données historiques pour le calcul de la volatilité
Volatilités annuelles
2006 2007 2008 2009 2010
Airbus Group ...
Données historiques pour le calcul de µ
Airbus Group
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
29/05/20...
EDF
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
15/12/2014 12/12/2014 22.98 22.4 2.4877%
03/06/2014 02/06...
L’Oreal
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
29/04/2014 28/04/2014 123.25 121 3.1576%
07/05/2013 0...
Sanofi
ExDate ExDate-1 jour Prix avant dividende Prix après dividende µ
12/05/2014 09/05/2014 78.38 76.07 2.0085%
09/05/201...
Total
ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ
15/12/2014 12/12/2014 41.14 40.76 4.0965%
23/09/2014 22...
Références
[1] F. Black & M. Scholes :The Pricing of Options and Corporate Liabilities ,Jour-
nal of Political Economy (19...
of 58

Pricing of American options on stocks with discrete dividends

-Demonstration of an analytical formula for Call Options on stocks paying stochastic dividends in the Black-and-Scholes framework from the Korn-Rogers model -Development of a pricer using VBA and Matlab programs
Published on: Mar 4, 2016
Published in: Economy & Finance      
Source: www.slideshare.net


Transcripts - Pricing of American options on stocks with discrete dividends

  • 1. Le pricing des options américaines avec dividendes en temps discret Orion Jeremy - Royer Julien 2015 Abstract Abstract : Le marché des produits dérivés s’est considérablement développé depuis les années 70 et, avec plus de 693 000 milliards de dollar d’encours en 2014, est le marché financier le plus important en terme de volume. C’est au début de cet essor que Black, Scholes[1], et Merton[2], récompensés pour leurs travaux par le prix Nobel d’Economie en 1997, développèrent le modèle qui s’est imposé comme la référence en terme de pricing d’options. Ce modèle de valorisation en temps continu com- porte toutefois des limites à l’application numérique aux pratiques et condition de marché et a été la base de nombreuses évolutions (modèles à volatilité stochastique par exemple). Une de ces limites est la gestion des dividendes en temps discret. Notre travail s’attache à proposer un modèle de pricing d’options dans un cadre proche de celui de Black & Scholes, et s’appuie sur les travaux de Roll[3], Geske[4] et Whaley[5] puis plus récemment de Rogers et Korn[6] pour proposer des formules analytiques prenant en compte le caractère discret des dividendes. 1
  • 2. Remerciements Nous remercions chaleureusement Mr. Mathis pour avoir accepté de nous diriger pour la rédaction de ce mémoire. Nous tenons aussi à remercier Mr. Peltrault pour sa disponibilité et Mr. Lemoine pour son aide et ses conseils. 2
  • 3. Table des matières 1 Le modèle de Korn-Rogers et le pricing 5 1.1 Hypothèses sur l’évolution du sous jacent . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Pricing d’une option européenne avec plusieurs dividendes . . . . . 9 1.3 Pricing d’une option américaine avec un unique dividende stochastique 12 1.4 Pricing d’une option américaine avec un unique dividende connu . . 21 1.5 Pricing d’une option américaine avec plusieurs dividendes stochas- tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Pricing d’une option américaine avec un dividende connu suivi de plusieurs dividendes stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Application numérique du modèle 31 2.1 Calibrage des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Application Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Pricer d’un call européen sans dividende . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Pricer d’un call européen avec dividendes . . . . . . . . . . . 32 2.2.3 Pricer d’un call américain avec un dividende stochastique . . 33 2.2.4 Pricer d’un call américain avec un dividende connu . . . . . 34 2.2.5 Pricer d’un call américain avec plusieurs dividendes stochas- tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.6 Pricer d’un call américain avec un dividende connu suivi de plusieurs dividendes stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Frontière d’exercice 42 3.1 La notion de frontière d’exercice pour un call américain . . . . . . . 42 3.2 Application Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Simulation du mouvement du sous jacent . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 Construction de la frontière d’exercice . . . . . . . . . . . . 44 3.2.3 Précisions sur le code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3
  • 4. Introduction En 1973, Black et Scholes[1] définissent un modèle de pricing d’options qui révo- lutionne les pratiques financières en créant, à partir des travaux de Samuelson et Merton[7], une relation entre le prix d’une option et l’évolution de son sous-jacent. Très vite ce modèle devient la référence pour la valorisation des produits structu- rés et s’étend à d’autres secteurs financiers, le modèle de Vasicek[8], qui permet de simuler des taux d’intérêts, s’en inspire par exemple. Toutefois, ce modèle reste très contesté sur sa représentation réelle des marchés financiers. Sans remettre totalement en cause les fondements de la théorie fi- nancière moderne développés par Markowitz[10] et Bachelier[9] comme le fait Mandelbrot[11] en critiquant notamment l’utilisation de la loi normale pour si- muler l’évolution des sous jacents, il apparaît que le modèle de Black et Scholes a ses limites. Deux d’entre elles sont particulièrement critiques et ont entrainé le développement de modèles alternatifs de pricing restant dans le cadre du modèle. La première de ces critiques est la définition de la volatilité comme une constante au cours de la durée de vie de l’option. Or il apparaît que la volatilité implicite présente un smile sur les marchés. Cette critique a été le point de départ d’un grand nombre d’extension du modèle de Black et Scholes comme les modèles à volatilités stochastiques, développés notamment par Heston[12], ou les modèles à volatilité locale comme le modèle de Dupire[13]. La seconde critique porte sur la gestion des dividendes. En effet, l’hypothèse de la dynamique du sous jacent du modèle exclut les dividendes et, s’il est facile d’appli- quer ce modèle avec le cas d’un taux de dividende constant, le cas des dividendes en temps discret est plus problématique. C’est à ce problème que nous tenterons de répondre dans notre mémoire. Nous définirons d’abord le modèle à dividendes stochastiques de Korn et Rogers[6]. Puis nous dériverons de ce modèle, à l’aide des travaux de Kruse et Muller[14], un pricer d’options américaines dont le sous jacent verse un unique dividende. Puis, nous proposerons une formule générale pour la valorisation d’un call américain dont le sous jacent verse plusieurs dividendes en raisonnant par récurrence. Nous développerons ensuite un pricer sous Matlab afin d’appliquer nos résultats théo- riques. Enfin, nous aborderons la notion de frontière d’exercice, concept clé dans la compréhension du fonctionnement des options américaines. 4
  • 5. 1 Le modèle de Korn-Rogers et le pricing Dans cette première partie nous définirons le modèle développé par Korn et Ro- gers pour le pricing d’une option européenne avec dividendes stochastiques[6] et reprendrons le travail de Kruse et Muller sur l’application et l’ouverture de ce modèle aux options américaines avec dividendes en explicitant les démonstrations proposées et les concepts utilisés. 1.1 Hypothèses sur l’évolution du sous jacent Une des hypothèses clés du modèle de Korn-Rogers est que le prix d’un titre est la valeur actualisée de l’ensemble de ses dividendes futurs. Ainsi, en t, le prix d’un titre payant des dividendes D(ti) aux dates ti > t est donné par S(t) = E +∞ i=1 e−r(ti−t) D(ti) . Par ailleurs, on suppose que les dividendes sont versés à intervalles de temps constants et réguliers h. Soit D1, D2..., Dl les l premiers dividendes versés en 0 < t1 < t2 = t1 + h < ... < tl = t1 + (l − 1)h connus, et donc déterministes, et Dl+1, Dl+2, ... les divi- dendes suivant versés en t1 + lh, t1 + (l + 1)h, ... inconnus, et donc stochastiques. Korn et Rogers définissent les dividendes stochastiques à l’aide de processus de Levy, ainsi D(tj) = λX(tj) avec j > l, λ une constante positive et X un processus de Levy tel que, pour un µ < r E[Xt] = X0eµt où r est le taux sans risque. On notera, par la suite, k le nombre de dividendes distribués entre 0 et t. Nous fixons λ = 1 comme le suggère Korn et Rogers, et afin de suivre la même logique que Kruse et Muller dont nous souhaitons développé les travaux[14]. Ainsi, on a S(t) = E +∞ i=1 e−r(ti−t) D(ti) ⇔ S(t) = E l m=1 e−r(t1+(m−1)h−t) Dm + +∞ i>l e−r(t1+(i−1)h−t) X(t1 + (i − 1)h 5
  • 6. Or pour tout k ≥ 0 on a E +∞ i>k e−r(t1+(i−1)h−t) X(t1 + (i − 1)h) = E +∞ i>k e−r(t1+(i−1)h−t) X(t)eµ(t1+(i−1)h−t) = E +∞ i>k e−(r−µ)(t1+(i−1)h−t) X(t) = X(t) e−(r−µ)(t1+kh−t) 1 − e−(r−µ)h Ainsi on a S(t) =    l m=1 e−r(t1+(m−1)h−t) Dm + X(t) e−(r−µ)(t1+lh−t) 1 − e−(r−µ)h si k = 0 l m=k+1 e−r(t1+(m−1)h−t) Dm + X(t) e−(r−µ)(t1+lh−t) 1 − e−(r−µ)h si 1 ≤ k < l X(t) e−(r−µ)(t1+kh−t) 1 − e−(r−µ)h si k ≥ l. On suppose maintenant que X suit un mouvement brownien géométrique, on a alors dXt = µXtdt + σXtdWt où Wt est un processus de Wiener. Pour tout k ≥ 0, on a S(t) = φ(t) + ψ(t)Xt ⇔ S(t) − φ(t) = ψ(t)Xt ⇔ ln(S(t) − φ(t)) = ln(ψ(t)Xt). Rappelons ici le lemme d’Itô, comme il est défini par John Hull[15] : "Supposons que la valeur d’une variable x suive un processus d’Itô : dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz où z est un processus de Wiener standard et a et b des fonctions de x et t. Le processus x a un drift égal à a et un paramètre de variance égal à b2 . Le lemme d’Itô montre qu’une fonction G de x et t est caractérisée par le processus suivant : dG = ∂G ∂x a + ∂G ∂t + 1 2 ∂2 G ∂x2 b2 dt + ∂G ∂x b dz. 6
  • 7. où z est le même processus de Wiener que celui qui apparaît dans l’équation [pré- cédente]" On définit alors G = ln(ψ(t)Xt) ainsi ∂G ∂x = 1 ψ(t)Xt ∂2 G ∂x2 = −1 ψ(t)X2 t ∂G ∂t = ψ (t) ψ(t) alors d’après le lemme d’Itô dG = ∂G ∂x µψ(t)Xt + ∂G ∂t + 1 2 ∂2 G ∂x2 (σXt)2 ψ(t) dt + ∂G ∂x σψ(t)Xt dWt. ⇔ dG = µ + ψ (t) ψ(t) − 1 2 σ2 dt + σdWt or ψ (t) = (r − µ) e−(r−µ)(t1+kh−t) 1 − e−(r−µ)h ⇔ ψ (t) = (r − µ)ψ(t) ⇔ ∂G ∂t = (r − µ) donc dG = µ + r − µ − 1 2 σ2 dt + σdWt ⇔ dG = r − 1 2 σ2 dt + σdWt ⇔ d(ln(ψ(t)Xt)) = r − 1 2 σ2 dt + σdWt ⇔ d(ln(S(t) − φ(t))) = r − 1 2 σ2 dt + σdWt. 7
  • 8. On peut donc réécrire l’équation précédente comme ln(S(t) − φ(t)) − ln(S(0) − φ(0)) ∼ N r − 1 2 σ2 t, σ √ t ⇔ ln(S(t) − φ(t)) ∼ N ln(S(0) − φ(0)) + r − 1 2 σ2 t, σ √ t ⇔ S(t) = (S(0) − φ(0))e(r−1 2 σ2)t+σWt + φ(t) On obtient donc S(t) =    S0 − l m=1 e−r(t1+(m−1)h) Dm e(r−1 2 σ2)t+σWt + l m=1 e−r(t1+(m−1)h−t) Dm si k = 0 S0 − l m=1 e−r(t1+(m−1)h) Dm e(r−1 2 σ2)t+σWt + l m=k+1 e−r(t1+(m−1)h−t) Dm si 1 ≤ k < l S0 − l m=1 e−r(t1+(m−1)h) Dm e(r−1 2 σ2)t+σWt e−(r−µ)(k−l)h si k ≥ l. où k est le nombre de dividendes distribués entre 0 et t. Ainsi le sous jacent peut être représenté graphiquement comme ci dessous : Figure 1 – Evolution d’un sous jacent avec l=0 et n = 5 8
  • 9. 1.2 Pricing d’une option européenne avec plusieurs divi- dendes On se place ici dans le cas d’une option européenne dont le sous jacent distribue n dividendes jusqu’à la maturité. La formule analytique du pricing est donnée par Kruse et Muller[14] comme suit : Enoncé Soit un call européen de strike K et de maturité T sur un titre versant des di- videndes avec un prix de marché S0 et n dividendes D1, ..., Dn distribué jusqu’à la maturité. Les l premiers dividendes, versés en t1, ..., t1+h(l−1) sont connus et donc déterministes, tandis que les dividendes suivant Dl+1 = X(t1 + hl), ...Dn = X(T1 + h(n − 1)) suivent un mouvement brownien géométrique. Le prix de cette option est donné par : ˜S0N( ˜d1) − Ke−rT N( ˜d2) avec N(.) la fonction de repartition d’une loi normale centrée réduite et ˜d1 = ln ˜S0 K + (r + 1 2 σ2 )T σ √ T ˜d2 = ˜d1 − σ √ T où ˜S0 = S0 − l m=1 Dme−r(t1+h(m−1)) e−(r−µ)(n−l)h Preuve : Le prix d’un call européen est donné par : e−rT E[max(S(T) − K; 0)] Or on a que : S(T) = S0 − l m=1 Dme−r(t1+h(m−1)) e−(r−µ)(n−l)h e(r−1 2 σ2)T+σWT ⇔ f(WT ) = S(T) 9
  • 10. La fonction f est une fonction bijective de R dans R il existe donc une fonction f−1 telle que f−1 (S(T)) = WT . WT =f−1 (S(T)) ⇔ WT = 1 σ    ln     S(T) S0 − l m=1 Dme−r(t1+h(m−1)) e−(r−µ)(n−l)h     − (r − 1 2 σ2 )T     ⇔ WT = 1 σ ln S(T) ˜S0 − (r − 1 2 σ2 )T De plus WT est un processus de Wiener et il suit donc une loi normale N(0, √ T). On a donc que X = 1 √ T WT suit une loi normale centrée réduite. Ainsi : E[max(S(T) − K; 0)]= +∞ K (S(t) − K)g(S(t))dS(t) avec g(S(T)) la fonction de densité de probabilité de S(T). On effectue le change- ment de variable X = 1 σ √ T ln S(T) ˜S0 − (r − 1 2 σ2 )T et on obtient donc en notant h(X) la fonction de densité de probabilité de la loi normale centrée réduite E[max(S(T) − K; 0)] = +∞ 1 σ √ T ln K ˜S0 −(r−1 2 σ2)T ˜S0e(r−1 2 σ2)T+σ √ TX − K h(X)dX = ˜S0 +∞ 1 σ √ T ln K ˜S0 −(r−1 2 σ2)T e(r−1 2 σ2)T+σ √ TX h(X)dX −K +∞ 1 σ √ T ln K ˜S0 −(r−1 2 σ2)T h(X)dX 10
  • 11. Or e(r−1 2 σ2)T+σ √ TX h(X)= 1 √ 2π e(r−1 2 σ2)T+σ √ TX−X2 2 ⇔ e(r−1 2 σ2)T+σ √ TX h(X)= 1 √ 2π erT e−1 2 (X2−2σ √ TX+σ2T) ⇔ e(r−1 2 σ2)T+σ √ TX h(X)= 1 √ 2π erT e−1 2 (X−σ √ T)2 ⇔ e(r−1 2 σ2)T+σ √ TX h(X)=erT h(X − σ √ T) On a ainsi E[max(S(T) − K; 0)] = erT ˜S0 +∞ 1 σ √ T ln K ˜S0 −(r−1 2 σ2)T h(X − σ √ T)dX −K +∞ 1 σ √ T ln K ˜S0 −(r−1 2 σ2)T h(X)dX En notant N(x) la probabilité qu’une variable normale centrée-réduite soit infé- rieure à x, on obtient +∞ 1 σ √ T ln K ˜S0 −(r−1 2 σ2)T h(X − σ √ T)dX = 1 − N 1 σ √ T ln K ˜S0 − (r − 1 2 σ2 )T − σ √ T = N 1 σ √ T − ln K ˜S0 + (r − 1 2 σ2 )T + σ √ T = N 1 σ √ T ln ˜S0 K + (r + 1 2 σ2 )T = N( ˜d1) et +∞ 1 σ √ T ln K ˜S0 −(r−1 2 σ2)T h(X)dX = 1 − N 1 σ √ T ln K ˜S0 − (r − 1 2 σ2 )T = N 1 σ √ T ln ˜S0 K + (r − 1 2 σ2 )T = N( ˜d1 − σ √ T) = N( ˜d2) 11
  • 12. Ainsi E[max(S(T) − K; 0)] = erT ˜S0N( ˜d1) − KN( ˜d2) On a donc bien que le prix du call est e−rT E[max(S(T) − K; 0)] = ˜S0N( ˜d1) − Ke−rT N( ˜d2) 1.3 Pricing d’une option américaine avec un unique divi- dende stochastique On se place dans ici dans le cas d’une option américaine dont le sous jacent verse un unique dividende inconnu en 0 < t1 < T. Le pricing de l’option américaine sous ces conditions est donné, comme défini par Kruse et Muller[14] par la formule suivante : Enoncé Soit un titre payant un dividende inconnu D1 = X(t1) en t1. Le prix C0,1 D d’un call américain de strike K et de maturité T > t1 est donné par : C0,1 D (S0, 0, T, K) = S0Π0,1 1 (S0, 0) − Ke−rT Π0,1 2 (S0, 0) avec Π0,1 1 (S0, 0) = N(d1 1) + e−(r−µ)h N d1 2, −d1 1, − t1 T Π0,1 2 (S0, 0) = er(T−t1) N(d2 1) + N d2 2, −d2 1, − t1 T et d1 1 = ln S0e−(r−µ)h S∗ + (r + 1 2 σ2 )t1 σ √ t1 et d2 1 = d1 1 − σ √ t1 d1 2 = ln S0e−(r−µ)h K + (r + 1 2 σ2 )T σ √ T et d2 1 = d1 1 − σ √ T où N(.) est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite, N(., ., ρ) est la fonction de répartition d’une loi normale bivariée avec une corrélation ρ, et S∗ est l’unique prix du titre tel que CBlack & Scholes(S∗ , t1, T, K) = S∗ + D∗ − K avec D∗ = S∗ 1 − e−(r−µ)h e−(r−µ)h 12
  • 13. Preuve : On se place dans le cas d’un titre payant un unique dividende à la date t1, il apparaît donc que seule cette date est un point critique pour l’exercice anticipé de l’option américaine. On se donne alors un prix du titre S∗ tel que si S(t1) > S∗ le call devrait être exercé et si S(t1) ≤ S∗ l’option d’achat devrait être conservée. Alors, S∗ est tel que défini par Roll dans sa démonstration du pricing d’un call américain sur un sous jacent versant des dividendes connus[3] (cette définition de S∗ est reprise par Geske[4] et Whaley[5] pour la formule de Roll-Geske-Whaley comme nous le développerons par la suite) : CBlack & Scholes(S∗ , t1, T, K) = S∗ + D∗ − K On peut donc écrire le prix de l’option comme suit : E e−rt1 C0,0 D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0 +E e−rt1 (S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0 où C0,0 D (S(t1), t1, T, K)=CBlack & Scholes(S(t1), t1, T, K) ⇔ C0,0 D (S(t1), t1, T, K)=S(t1)N(d1 (t1)) − Ke−r(T−t1) N(d2 (t1)) avec d1 (t1) = ln S(t1) K + (r + 1 2 σ2 )(T − t1) σ √ T − t1 d2 (t1) = d1 (t1) − σ T − t1 Etudions tout d’abord le cas où S(t1) > S∗ . On a : D(t1) = S(t1) 1 − e−(r−µ)h e−(r−µ)h Alors S(t1) + D(t1) − K=S(t1) + S(t1) 1 − e−(r−µ)h e−(r−µ)h − K ⇔ S(t1) + D(t1) − K=S(t1) 1 + 1 − e−(r−µ)h e−(r−µ)h − K ⇔ S(t1) + D(t1) − K=e(r−µ)h S(t1) − K 13
  • 14. Ainsi E e−rt1 (S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0 = E e−rt1 (e(r−µ)h S(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0 = e−rt1 +∞ S∗ (e(r−µ)h S(t1) − K)g(S(t1))dS(t1) avec g(S(t1)) la fonction de densité de probabilité de S(t1). On a montré que : S(t) = S0 − l m=1 Dme−r(t1+h(m−1)) e−(r−µ)(k−l)h e(r−1 2 σ2)t+σWt On est ici dans le cas d’un unique dividende inconnu, on a donc l = 0 et k = 1, ainsi S(t1) = S0e−(r−µ)h e(r−1 2 σ2)t1+σWt1 ⇔ f(Wt1 ) = S(t1) La fonction f est une fonction bijective de R dans R+ il existe donc une fonction f−1 telle que f−1 (S(t1)) = Wt1 . Wt1 =f−1 (S(t1)) ⇔ Wt1 = 1 σ ln S(t1) S0e−(r−µ)h − (r − 1 2 σ2 )t1 De plus Wt1 est un processus de Wiener et il suit donc une loi normale N(0, √ t1). On a donc que X = 1 √ t1 Wt1 suit une loi normale centrée réduite. On effectue le changement de variable X = 1 σ √ t1 ln S(t1) S0e−(r−µ)h − (r − 1 2 σ2 )t1 14
  • 15. et on obtient donc en notant h(X) la fonction de densité de probabilité de la loi normale centrée réduite e−rt1 +∞ S∗ (e(r−µ) S(t1) − K)g(S(t1))dS(t1) = e−rt1 +∞ 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 (e(r−µ) S0e(r−µ)h e(r−1 2 σ2)t1+σ √ t1X − K)h(X)dX = e−rt1  S0 +∞ 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 e(r−1 2 σ2)t1+σ √ t1X h(X)dX −K +∞ 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 h(X)dX   Or e(r−1 2 σ2)t1+σ √ t1X h(X)= 1 √ 2π e(r−1 2 σ2)t1+σ √ t1X−X2 2 ⇔ e(r−1 2 σ2)t1+σ √ t1X h(X)= 1 √ 2π ert1 e−1 2 (X2−2σ √ t1X+σ2t1) ⇔ e(r−1 2 σ2)t1+σ √ t1X h(X)= 1 √ 2π ert1 e−1 2 (X−σ √ t1)2 ⇔ e(r−1 2 σ2)T+σ √ t1X h(X)=ert1 h(X − σ √ t1) 15
  • 16. On obtient donc e−rt1 +∞ S∗ (e(r−µ) S(t1) − K)g(S(t1))dS(t1) = S0 +∞ 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 h(X − σ √ t1)dX −Ke−rt1 +∞ 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 h(X)dX = S0 1 − N 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h − (r − 1 2 σ2 )t1 − σ √ t1 −Ke−rt1 1 − N 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h − (r − 1 2 σ2 )t1 = S0N 1 σ √ t1 ln S0e−(r−µ)h S∗ + (r − 1 2 σ2 )t1 + σ √ t1 −Ke−rt1 N 1 σ √ t1 ln S0e−(r−µ)h S∗ + (r − 1 2 σ2 )t1 = S0N 1 σ √ t1 ln S0e−(r−µ)h S∗ + (r + 1 2 σ2 )t1 −Ke−rt1 N 1 σ √ t1 ln S0e−(r−µ)h S∗ + (r − 1 2 σ2 )t1 = S0N(d1 1) − Ke−rt1 N(d2 1) Considérons maintenant le cas S(t1) ≤ S∗ On a : E e−rt1 C0,0 D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0 = E e−rt1 (S(t1)N(d1 (t1)) − Ke−r(T−t1) N(d2 (t1)))1{S(t1)≤S∗}|F0 où d1 (t1) = ln S(t1) K + (r + 1 2 σ2 )(T − t1) σ √ T − t1 d2 (t1) = d1 (t1) − σ T − t1 On a montré que : S(t1) = S0e−(r−µ)h e(r−1 2 σ2)t1+σW(t1) 16
  • 17. Alors d1 (t1)= ln S(t1) K + (r + 1 2 σ2 )(T − t1) σ √ T − t1 ⇔ d1 (t1)= ln S0e−(r−µ)he(r− 1 2 σ2)t1+σW (t1) K + (r + 1 2 σ2 )(T − t1) σ √ T − t1 ⇔ d1 (t1)= ln S0e−(r−µ)h K + (r − 1 2 σ2 )t1 + σW(t1) + (r + 1 2 σ2 )(T − t1) σ √ T − t1 ⇔ d1 (t1)= ln S0e−(r−µ)h K + (r + 1 2 σ2 )T + σW(t1) − σ2 t1 σ √ T − t1 ⇔ d1 (t1)= ln S0e−(r−µ)h K + (r + 1 2 σ2 )T − σ2 t1 σ √ T − t1 + 1 √ T − t1 W(t1) ⇔ d1 (t1)= ln S0e−(r−µ)h K + (r + 1 2 σ2 )T − σ2 t1 σ √ T − t1 + t1 T − t1 X ⇔ d1 (t1)=β1 + α1X et d2 (t1)= ln S(t1) K + (r − 1 2 σ2 )(T − t1) σ √ T − t1 ⇔ d2 (t1)= ln S0e−(r−µ)he(r− 1 2 σ2)t1+σW (t1) K + (r − 1 2 σ2 )(T − t1) σ √ T − t1 ⇔ d2 (t1)= ln S0e−(r−µ)h K + (r − 1 2 σ2 )t1 + σW(t1) + (r − 1 2 σ2 )(T − t1) σ √ T − t1 ⇔ d2 (t1)= ln S0e−(r−µ)h K + (r − 1 2 σ2 )T σ √ T − t1 + 1 √ T − t1 W(t1) ⇔ d2 (t1)= ln S0e−(r−µ)h K + (r − 1 2 σ2 )T σ √ T − t1 + t1 T − t1 X ⇔ d2 (t1)=β2 + α2X 17
  • 18. avec X une variable normale centrée réduite. Ainsi E e−rt1 (S(t1)N(d1 (t1)) − Ke−r(T−t1) N(d2 (t1)))1{S(t1)≤S∗}|F0 = E e−rt1 (S(t1)N(β1 + α1X) − Ke−r(T−t1) N(β2 + α2X))1{S(t1)≤S∗}|F0 = e−rt1 S∗ 0 S(t1)N(β1 + α1X)g(S(t1))dS(t1) −Ke−rt1 e−r(T−t1) S∗ 0 N(β2 + α2X)g(S(t1))dS(t1) = e−rt1 S∗ 0 S(t1)N(β1 + α1X)g(S(t1))dS(t1) −Ke−rT S∗ 0 N(β2 + α2X)g(S(t1))dS(t1) On a montré précédemment que X = 1 σ √ t1 ln S(t1) S0e−(r−µ)h − (r − 1 2 σ2 )t1 On effectue donc le changement de variable pour obtenir E e−rt1 (S(t1)N(d1 (t1)) − Ke−r(T−t1) N(d2 (t1)))1{S(t1)≤S∗}|F0 = e−rt1 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 −∞ S0e−(r−µ)h e(r−1 2 σ2)t1+σ √ t1X N(β1 + α1X)h(X)dX −Ke−rt1 e−r(T−t1) 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 −∞ N(β2 + α2X)h(X)dX On peut réécrire la deuxième partie de l’équation comme suit : Ke−rt1 e−r(T−t1) 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 −∞ N(β2 + α2X)h(X)dX = Ke−rT 1 σ √ t1 − ln S0e−(r−µ)h S∗ −(r−1 2 σ2)t1 −∞ N(β2 + α2X)h(X)dX = Ke−rT −d2 1 −∞ N(β2 + α2X)h(X)dX En appliquant la propriété 2 de en annexe, on obtient alors Ke−rT −d2 1 −∞ N(β2 + α2X)h(X)dX = Ke−rT N β2 1 + α2 2 , −d2 1, −α2σX 1 + α2 2σ2 X 18
  • 19. avec β2 1 + α2 2 = ln S0e−(r−µ)h K + (r − 1 2 σ2 )T σ √ T − t1 1 + t1 T − t1 −1 2 ⇔ β2 1 + α2 2 = ln S0e−(r−µ)h K + (r − 1 2 σ2 )T σ √ T − t1 T − t1 T ⇔ β2 1 + α2 2 = ln S0e−(r−µ)h K + (r − 1 2 σ2 )T σ √ T ⇔ β2 1 + α2 2 =d2 2 et, X suivant une loi normale centrée réduite, σX = 1, −α2σX 1 + α2 2σ2 X =− t1 T − t1 1 + t1 T − t1 ⇔ −α2σX 1 + α2 2σ2 X =− t1 T − t1 T T − t1 ⇔ −α2σX 1 + α2 2σ2 X =− t1 T Ainsi, on a Ke−rT −d2 1 −∞ N(β2 + α2X)h(X)dX = Ke−rT N d2 2, −d2 1, − t1 T De même, on peut réécrire e−rt1 1 σ √ t1 ln S∗ S0e−(r−µ)h −(r−1 2 σ2)t1 −∞ S0e−(r−µ)h e(r−1 2 σ2)t1+σ √ t1X N(β1 + α1X)h(X)dX = S0e−(r−µ)h −d2 1 −∞ 1 √ 2π e−1 2 (X−σ √ t1)2 N(β1 + α1X)dX = S0e−(r−µ)h −d2 1 −∞ N(β1 + α1X)h(X − σ √ t1)dX 19
  • 20. On effectue le changement de variable Y = X − σ √ t1 et on obtient ainsi S0e−(r−µ)h −d2 1 −∞ N(β1 + α1X)h(X − σ √ t1)dX = S0e−(r−µ)h −d2 1+σ √ t1 −∞ N(β1 + α1(Y + σ √ t1))h(Y )dY = S0e−(r−µ)h −d1 1 −∞ N(β1 + α1Y )h(Y )dY avec β1 = β1 + α1σ √ t1 Alors, par la même propriété que précédemment, on a S0e−(r−µ)h −d1 1 −∞ N(β1 + α1Y )h(Y )dY = S0e−(r−µ)h N β1 1 + α2 1 , −d1 1, −α1σY 1 + α2 1σ2 Y avec β1 1 + α2 1 = ln S0e−(r−µ)h K + (r + 1 2 σ2 )T − σ2 t1 σ √ T − t1 + √ t1 √ T − t1 σ √ t1 1 + t1 T − t1 −1 2 ⇔ β1 1 + α2 1 = ln S0e−(r−µ)h K + (r + 1 2 σ2 )T − σ2 t1 + −σ2 t1 σ √ T − t1 √ T − t1 √ T ⇔ β1 1 + α2 1 = ln S0e−(r−µ)h K + (r + 1 2 σ2 )T σ √ T ⇔ β1 1 + α2 1 =d1 2 et, X suivant une loi normale centrée réduite, σY = 1, −α1σY 1 + α2 1σ2 Y =− t1 T − t1 1 + t1 T − t1 ⇔ −α1σY 1 + α2 1σ2 Y =− t1 T − t1 T T − t1 ⇔ −α1σY 1 + α2 1σ2 Y =− t1 T 20
  • 21. Ainsi : S0e−(r−µ)h −d1 1 −∞ N(β1 + α1Y )h(Y )dY = S0e−(r−µ)h N d1 2, −d1 1, − t1 T On a donc que E e−rt1 C0,0 D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0 = S0e−(r−µ)h N d1 2, −d1 1, − t1 T − Ke−rT N d2 2, −d2 1, − t1 T Enfin, on a E e−rt1 C0,0 D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0 +E e−rt1 (S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗}|F0 = S0e−(r−µ)h N d1 2, −d1 1, − t1 T − Ke−rT N d2 2, −d2 1, − t1 T +S0N(d1 1) − Ke−rt1 N(d2 1) = S0Π0,1 1 (S0, 0) − Ke−rT Π0,1 2 (S0, 0) 1.4 Pricing d’une option américaine avec un unique divi- dende connu On suppose maintenant que le sous-jacent de notre option distribue un unique dividende dont le montant D1 est connu. On se place alors dans le cas l = 1 et n = 1. Sous ces conditions, le pricing d’un call américain est obtenu par la formule de Roll-Geske-Whaley[3][4][5] comme définie par M.Kruse et M.Müller[14] : Enoncé Soit un titre payant un dividende D1 en t1. Le prix C1,0 D d’un call américain de strike K et de maturité T > t1 est donné par : C1,0 D (S0, 0, T, K) = (S0 − D1e−rt1 )Π1,0 1 (S0, 0) − Ke−rT Π1,0 2 (S0, 0) + D1e−rt1 N(d2 1) avec Π1,0 1 (S0, 0)=N(d1 1) + N d1 2, −d1 1, − t1 T Π1,0 2 (S0, 0)=er(T−t1) N(d2 1) + N d2 2, −d2 1, − t1 T 21
  • 22. et d1 1 = ln S0−D1e−rt1 S∗ + (r + 1 2 σ2 )t1 σ √ t1 et d2 1 = d1 1 − σ √ t1 d1 2 = ln S0−D1e−rt1 K + (r + 1 2 σ2 )T σ √ T et d2 1 = d1 1 − σ √ T où N(.) est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite, N(., ., ρ) est la fonction de répartition d’une loi normale bivariée avec une corrélation ρ, et S∗ est l’unique prix du titre tel que CBlack & Scholes(S∗ , t1, T, K) = S∗ + D1 − K Preuve La demonstration de ce théorème reprend la preuve de la formule du prix d’un call américain avec un unique dividende stochastique développée précédemment. Le sous-jacent de notre option d’achat verse un unique dividende en t1, il apparaît donc que seule cette date est un point critique pour l’exercice anticipé de l’option. On peut alors définir un prix S∗ du sous jacent en t1 tel que si S(t1) ≤ S∗ l’option n’est pas exerccée et si S(t1) > S∗ l’option est exercée. Dans son article An analytic formula for unprotected Call options on stocks with known dividends[3], Roll définit CBlack & Scholes(S∗ , t1, T, K) = S∗ + D1 − K. L’existence de S∗ est démontrée par Smith[16] en construisant deux portefeuilles A et B à partir d’un titre versant un dividende D en T, date de maturité d’une option tels que A : on achète un call européen de maturité T et de strike K et on place K + D sur le marché monétaire B : on achète une unité du titre sous jacent et en montrant qu’il existe un S(T) tel que si S(T) < K, alors V ∗ a > V ∗ b , et si S(T) ≥ K, alors V ∗ a = V ∗ b . On peut donc écrire le prix de l’option comme suit : E e−rt1 C0,0 D (S(t1), t1, T, K)1{S(t1)≤S∗}|F0 +E e−rt1 (S(t1) + D1 − K)1{S(t1)>S∗}|F0 22
  • 23. Si l’on se place en t1, nous sommes dans le cas où l = 1 et k = 1, on a donc S(t1) = (S0 − D1e−rt1 )e(r−1 2 σ2)t1+σW(t1) En remplaçant S(t1) dans l’équation précédente et en suivant les mêmes étapes que pour la preuve de la formule du prix d’un call américain avec un unique dividende stochastique, on obtient le résultat souhaité. 1.5 Pricing d’une option américaine avec plusieurs dividendes stochastiques On a démontré précédemment la formule pour la valorisation d’un call améri- cain sur un sous jacent versant un unique dividende stochastique. On se place maintenant dans le cas d’un call américain dont le sous jacent verse n dividendes stochastiques aux dates t1, t1 + h, ..., t1 + (n − 1)h < T. La formule de valorisation pour une telle option est donnée par Kruse et Muller[14] comme suit : Enoncé Le prix d’un call américain de strike K et de maturité T sur un sous jacent versant n dividendes stochastiques et de prix S0 est donné par C0,n D (S0, 0, T, K) = S0Π0,n 1 (S0, 0) − Ke−rT Π0,n 2 (S0, 0) avec Π0,n 1 (S0, 0)= N(d1 1) + n i=1 e−(r−µ)ih Ni+1(δ1 i+1; C(i+1) ) Π0,n 2 (S0, 0)= er(T−t1) N(d1 2) + n−1 i=1 er(T−(t1+ih)) Ni+1(δ2 i+1; C(i+1) ) +Nn+1(δ2 n+1; C(n+1) ) avec, pour a = 1, 2 et pour i = 1, ..., n δa i+1 = (da i+1, −da i , ..., −da 2, −da 1) 23
  • 24. et d1 i = ln (S0 − D1e−rt1 )e−(r−µ)(i−1)h S∗ i + (r + 1 2 σ2 )(t1 + (i − 1)h) σ t1 + (i − 1)h d2 i = d1 i − σ t1 + (i − 1)h d1 n+1 = ln (S0 − D1e−rt1 )e−(r−µ)(n−1)h K + (r + 1 2 σ2 )T σ √ T d2 n+1 = d1 n+1 − σ √ T où les S∗ i sont les prix critiques aux dates de versement de dividendes définis pour i = 1, ..., n comme C0,n−i D (S∗ i , t1 + (i − 1)h, T, K) = S∗ i + D∗ i − K avec pour i = 1, ..., n, D∗ i les dividendes stochastiques versés en t1 + (i − 1)h et définis par D∗ i = S∗ i 1 − e−(r−µ)h e−(r−µ)h . Par ailleurs, N(.) est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite et Ni+1(.; C(i+1) ) est la fonction de répartition d’une loi normale mutlivariée de dimension i + 1 et de matrice de corrélation C(i+1) = (c (i+1) kj ) définie comme suit : 24
  • 25. c (i+1) kj =    ˜c (i) kj (i − j + 1)h (i − k + 1)h + t1 t1 + (i − j + 1)h t1 + (i − k + 1)h pour i = 2, ..., n − 1; j = 1, ..., i et k = j + 1, ..., i − t1 t1 + (i − j + 1)h pour i = 1, ..., n − 1; j = 1, ..., i et k = i + 1 ˜c (n) 1k (T − t1) (n − k + 1)h + t1 √ T t1 + (n − k + 1)h pour i = n; j = 1 et k = 2, ..., n ˜c (n) kj (n − j + 1)h (n − k + 1)h + t1 t1 + (n − j + 1)h t1 + (n − k + 1)h pour i = n; j = 2, ..., n et k = j + 1, ..., n − t1 T pour i = n; j = 1; et k = n + 1 − t1 t1 + (n − j + 1)h pour i = n; j = 2, ..., n et k = n + 1 où ˜C(i+1) = ˜ckj (i+1) , pour i = 1, ..., n − 1, est la matrice de corrélation calculée pour le prix d’un call américain dans le cas avec n − 1 dividendes stochastiques payés en t1 + h < ... < t1 + (n − 1)h < T. Preuve On raisonne ici par récurrence sur n. Montrons d’abors que la formule précédente est vérifiée pour n = 1. Si n = 1, alors on est dans le cas du pricing d’une option américaine dont le sous jacent verse un unique dividende stochastique. La formule analytique d’une telle option a été démontrée précédemment et on donc C0,1 D (S0, 0, T, K) = S0Π0,1 1 (S0, 0) − Ke−rT Π0,1 2 (S0, 0) 25
  • 26. avec Π0,1 1 (S0, 0) = N(d1 1) + e−(r−µ)h N d1 2, −d1 1, − t1 T Π0,1 2 (S0, 0) = er(T−t1) N(d2 1) + N d2 2, −d2 1, − t1 T et d1 1 = ln S0e−(r−µ)h S∗ + (r + 1 2 σ2 )t1 σ √ t1 et d2 1 = d1 1 − σ √ t1 d1 2 = ln S0e−(r−µ)h K + (r + 1 2 σ2 )T σ √ T et d2 1 = d1 1 − σ √ T où N(.) est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite, N(., ., ρ) est la fonction de répartition d’une loi normale bivariée avec une corrélation ρ, et S∗ est l’unique prix du titre tel que CBlack & Scholes(S∗ , t1, T, K) = S∗ + D∗ − K avec D∗ = S∗ 1 − e−(r−µ)h e−(r−µ)h . On a donc bien que si n = 1, la formule est vérifiée. On suppose maintenant la formule vraie à un rang n − 1 quelconque et on va montrer que la formule est vérifiée au rang n. Si la formule est vraie au rang n − 1, alors on a C0,n−1 D (S(t1), t1, T, K) = S(t1)Π0,n−1 1 (S(t1), t1) − Ke−rT Π0,n−1 2 (S(t1), t1) avec Π0,n−1 1 (S(t1), t1)et Π0,n−1 2 (S(t1), t1) définis par la propriété pour n − 1. Montrons maintenant que la formule est vraie au rang n. De la même façon que dans les preuves précédentes, on peut montrer qu’il existe un S∗ 1 tel que si S(t1) > S∗ 1 il est rationnel d’exercer l’option et si S(t1) ≤ S∗ 1 il est rationnel d’exercer l’option. Notons que si l’on conserve l’option, en t1 notre option américaine est une option 26
  • 27. américaine dont le sous jacent verse n − 1 dividendes stochastiques jusqu’à la ma- turité de l’option. Ainsi, on peut écrire : C0,n−1 D (S0, 0, T, K)=E e−rt1 (S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗ 1 }|F0 +E e−rt1 C0,n−1 D (S∗ 1, t1, T, K)1{S(t1)≤S∗ 1 }|F0 avec D(t1) = S(t1) 1 − e−(r−µ)h e−(r−µ)h . On a montré précédemment que E e−rt1 (S(t1) + D(t1) − K)1{S(t1)>S∗ 1 }|F0 = S0N(d1 1) − Ke−rt1 N(d2 1) avec d1 1 = 1 σ √ t1 ln S0e−(r−µ)h S∗ 1 + (r + 1 2 σ2 )t1 d2 1 = d1 1 − σ √ t1. Par ailleurs, on est dans le cas où l’intégralité des dividendes sont stochastiques donc l = 0, la dynamique du sous jacent est donc donnée par S(t1) = S0e−(r−µ)h e(r−1 2 σ2)t1+σW(t1) Alors, comme on l’a fait dans la preuve pour un unique dividende stochastique, on peut réécrire pour i = 1, ..., n − 1 d1 i (t1)= ln S0e−(r−µ)(i+1)h S∗ i+1 + (r + 1 2 σ2 )(t1 + ih) − σ2 t1 σ √ T − t1 + 1 √ ih W(t1) d1 i (t1)= ln S0e−(r−µ)(i+1)h S∗ i+1 + (r + 1 2 σ2 )(t1 + ih) − σ2 t1 σ √ T − t1 + t1 ih X ⇔ d1 (t1)=β1 n−i + α1 n−iX et pour i = n d1 n(t1)= ln S0e−(r−µ)nh K + (r + 1 2 σ2 )T − σ2 t1 σ √ T − t1 + 1 √ T − t1 W(t1) d1 n(t1)= ln S0e−(r−µ)nh K + (r + 1 2 σ2 )T − σ2 t1 σ √ T − t1 + t1 T − t1 X ⇔ d1 (t1)n=β1 1 + α1 1X 27
  • 28. avec X une variable normale centrée réduite. Ainsi, en suivant la même méthode que dans la preuve pour la formule d’un call américain avec un unique dividende stochastique, et en utilisant les propriétés 2, 3, 4 et 5 définies par Kruse et Muller et reportées en annexes, on obtient le résultat souhaité. On a donc montré que si la propriété était vraie à un rang n − 1, elle était vraie au rang n. Comme la propriété est vraie au rang n = 1, elle est vraie pour tout n ∈ N∗ . 1.6 Pricing d’une option américaine avec un dividende connu suivi de plusieurs dividendes stochastiques On se place maintenant dans le cas d’un call américain dont le sous jacent verse n dividendes aux dates t1, t1 + h, ..., t1 + (n − 1)h < T, tel que le premier dividende, versé en t1 est connu, et les suivants sont stochastiques. Le pricing d’une telle option est donné par Kruse et Muller[14] comme suit : Enoncé Le prix d’un call américain de strike K et de maturité T sur un sous jacent versant un dividende connu suivi de n−1 dividendes stochastiques et de prix S0 est donné par C1,n−1 D (S0, 0, T, K) = (S0 − D1e−rt1 )Π1,n−1 1 (S0, 0) − Ke−rT Π1,n−1 2 (S0, 0) + D1e−rt1 N(d2 1) avec Π1,n−1 1 (S0, 0)= N(d1 1) + n i=1 e−(r−µ)(i−1)h Ni+1(δ1 i+1; C(i+1) ) Π1,n−1 2 (S0, 0)= er(T−t1) N(d1 2) + n−1 i=1 er(T−(t1+ih)) Ni+1(δ2 i+1; C(i+1) ) +Nn+1(δ2 n+1; C(n+1) ) avec, pour a = 1, 2 et pour i = 1, ..., n δa i+1 = (da i+1, −da i , ..., −da 2, −da 1) 28
  • 29. et d1 i = ln (S0 − D1e−rt1 )e−(r−µ)(i−1)h S∗ i + (r + 1 2 σ2 )(t1 + (i − 1)h) σ t1 + (i − 1)h d2 i = d1 i − σ t1 + (i − 1)h d1 n+1 = ln (S0 − D1e−rt1 )e−(r−µ)(n−1)h K + (r + 1 2 σ2 )T σ √ T d2 n+1 = d1 n+1 − σ √ T où les S∗ i sont les prix critiques aux dates de versement de dividendes définis pour i = 1, ..., n comme C0,n−i D (S∗ i , t1 + (i − 1)h, T, K) = S∗ i + D∗ i − K avec D∗ 1 = D1 le premier dividende connu versé en t1 et pour i = 2, ..., n les D∗ i les dividendes stochastiques versés en t1 + (i − 1)h et définis par D∗ i = S∗ i 1 − e−(r−µ)h e−(r−µ)h Preuve Le pricing d’un call américain versant n − 1 dividendes stochastiques est donné par la formule précédemment définie, ainsi on a C0,n−1 D (S0, 0, T, K) = S0Π0,n−1 1 (S0, 0) − Ke−rT Π0,n−1 2 (S0, 0) avec Π0,n−1 1 (S0, 0) = N(d1 1) + n−1 i=1 e−(r−µ)ih Ni+1(δ1 i+1; C(i+1) ) Π0,n 2 (S0, 0) = er(T−t1) N(d1 2) + n−2 i=1 er(T−(t1+ih)) Ni+1(δ2 i+1; C(i+1) ) + Nn(δ2 n; C(n) ) et les δa , a = 1, 2 définis comme précédemment. On peut déterminer un prix critique S∗ 1 en t1 tel que, si S(t1) ≤ S∗ 1, il est ra- tionnel de conserver l’option, et si S(t1) > S∗ 1, il est rationnel d’exercer l’option. Comme pour les preuves précédentes, S∗ 1 est donné par C0,n−1 D (S∗ 1, t1, T, K) = S∗ 1 + D∗ 1 − K 29
  • 30. où D∗ 1 est connu et donc D∗ 1 = D1. On peut donc écrire le prix de l’option en t = 0 comme suit : C0,n−1 D (S0, 0, T, K)=E e−rt1 (S(t1) + D1 − K)1{S(t1)>S∗ 1 }|F0 +E e−rt1 C0,n−1 D (S∗ 1, t1, T, K)1{S(t1)≤S∗ 1 }|F0 En t1, le dividende connu est versé, on est donc dans le cas l = 1 et k = 1. Ainsi, S(t1) est donné par S(t1) = (S0 − D1e−rt1 )e(r−1 2 σ2)t1+σW(t1) En remplaçant S(t1) dans l’équation précédente et en suivant les mêmes étapes que pour la preuve de la formule du prix d’un call américain avec n dividendes stochastiques, on obtient le résultat souhaité. 30
  • 31. 2 Application numérique du modèle On a déterminé dans la partie précédente des formules analytiques pour le pricing d’options américaines et européennes dont le sous jacent verse des dividendes. Nous proposons dans cette partie une application numérique de ces résultats et développons ainsi un pricer sous Matlab. 2.1 Calibrage des paramètres Notre pricing est basé sur le modèle de Korn-Rogers[6] comme développé précé- demment, toutefois pour la mise en place numérique des résultats, il convient de fixer les valeurs des paramètres de ce modèle. Nous avons déjà fixé λ = 1 pour simplifier les résultats comme le font Kruse et Muller dans leur développement du modèle[14]. Certains paramètres sont facilement observables comme le taux sans risque r que l’on fixe à 5%, cependant certains paramètres se doivent d’être cali- brés, c’est le cas de la volatilité et du facteur µ simplement supposé inférieur à r. Afin de calibrer ces deux facteurs, nous nous basons sur une utilisation des données historiques. Nous avons décider de considérer les dix plus grosses capitalisations actuelles du CAC40 comme base de données. Ainsi nous avons récupéré les cours et les distributions de dividendes de ces dix actions depuis le 1er janvier 2006. La volatilité de notre modèle est ainsi obtenu comme la moyenne équipondérée de la volatilité, soit l’écart type annualisé, de chaqu’un des titres de notre base. Nous obtenons σ = 32.8794% Le calibrage de µ à partir de données historiques est possible via la relation définie par Korn et Rogers[6] : e−(r−µ)h S(t−) = S(t−) − ∆ ⇔ 1 − e−(r−µ)h = ∆ S(t−) ⇔ µ = r + 1 h ln 1 − ∆ S(t−) si t est la date exacte de versement de dividende et ∆ représente le saut de valeur entre t− = lim x x→t,x<t et t, soit la différence entre le cours de clôture du sous jacent la veille de l’ExDate et le cours d’ouverture à l’ExDate. Notons que 1 − ∆ S(t−) < 1 ⇔ ln 1 − ∆ S(t−) < 0 ⇔ µ < r 31
  • 32. vérifie l’hypothèse du modèle. En définissant le µ de notre modèle comme la moyenne équipondérée des µ de chaque titre de notre base on obtient µ = 2.7634% sous l’hypothèse r = 5%. 1 2.2 Application Matlab 2.2.1 Pricer d’un call européen sans dividende La fonction BlackScholes function [ C ] = BlackScholes( S0,K,T,r,sigma ) C=S0*normcdf(((log(S0/K)+(r+0.5*sigmaˆ2)*T)/(sigma*sqrt(T)))) ; C=C-K*exp(-r*T)*normcdf(((log(S0/K)+(r-0.5*sigmaˆ2)*T)/(sigma*sqrt(T)))) ; end 2.2.2 Pricer d’un call européen avec dividendes La fonction Eur_call function [ optionprice ] = Eur_call( S0,d1,K,r,T,d2 ) alineaoptionprice = S0* normcdf(d1) -K*exp(-r*T)*normcdf(d2) ; end La fonction Parametre_eur function [ d1,d2,S0mod ] = Parametre_eur( S0,K,r,sigma,T,D,t1,h,mu,n) % il faut calculer la somme des dividendes avant total_div = 0 ; l = length(D) ; % nombre de dividendes connus if l*h>T %on ne doit pas incorporer les dividendes connus après la fin de vie de l’option alineaerror(’Il y a trop de dividendes connus par rapport à la durée de vie de alineal”option’) 1. Les données permettant ce calcul sont disponibles en annexe 32
  • 33. elseif n*h>T alineaerror(’Il y a trop de dividendes par rapport à la durée de vie de alineal”option’) elseif l>n alineaerror(’Incompatibilité des données’) end %on calcule la somme des dividendes connus for j = 1 :l alineatotal_div = total_div+ D(j,1)* exp( -r *( t1 + h * (j-1))) ; end %calcul de S0mod S0mod = (S0 -total_div)* exp(-(r-mu)*(n-l)*h) ; %calcul de d1 et d2 d1 = (log(S0mod/K)+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ; d2 = d1 -sigma*sqrt(T) ; end 2.2.3 Pricer d’un call américain avec un dividende stochastique La fonction Am_call_1div_stocha function [ price ] = Am_call_1div_stocha( S0,Pi1,Pi2,K,r,T ) alineaprice = S0*Pi1-K*exp(-r*T)*Pi2 ; end La fonction Parametre_amer_1div_stocha function [ d11,d12,d21,d22,Pi1,Pi2] = Parametre_amer_1div_stocha( S,r,mu,sigma,t1,T,K,h ) %cette fonction sous entend qu’il ne reste qu’un dividende à payer, quelque soit la maturité de l’option %Définition de Setoile Setoile=@(S)BlackScholes(S,K,(T-t),r,sigma) -S-S*((1-exp(-(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ; 33
  • 34. Set = fzero(@(S)Setoile(S),T*K) ; % paramètres à incorporer dans la loi normale bivariée d11 = (log(S*exp(-(r-mu)*h)/Set)+(r+(sigmaˆ2)/2)*t1)/(sigma*sqrt(t1)) ; d21 = d11-sigma*sqrt(t1) ; d12 = (log(S*exp(-(r-mu)*h)/K)+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ; d22 = d12-sigma*sqrt(T) ; % calcul de Pi1 et Pi2 mat_cov = [ 1 -sqrt(t1/T) ; -sqrt(t1/T) 1] ; % matrice variance/covariance X = [d12 -d11] ; % matrice comprenant les parametres de la loi normale bivariée Pi1 = normcdf(d11)+exp(-(r-mu)*h)*mvncdf(X,0,mat_cov) ; % Le 0 represente la moyenne X = [d22 -d21] ; Pi2 = exp(r*(T-t1))*normcdf(d21)+mvncdf(X,0,mat_cov) ; end 2.2.4 Pricer d’un call américain avec un dividende connu La fonction Am_call_1Div_known function [ Price ] = Am_call_1Div_known(S0,D,Pi1,Pi2,K,r,T,t1,d21) alineaPrice = (S0-D*exp(-r*t1))*Pi1-K*exp(-r*T)*Pi2 alinea+D*exp(-r*t1)*normcdf(d21) ; end La fonction Parametre_amer_1div_known function [ d11,d12,d21,d22,Pi1,Pi2 ] = Parametre_amer_1div_known(S,D,r,sigma,t1,T,K) %cette fonction sous entend qu’il ne reste qu’un dividende connu à payer, quelque soit la maturité de l’option %Définition de Setoile 34
  • 35. Setoile=@(S)BlackScholes(S,K,(T-t),r,sigma)-S-D+K ; Set = fzero(@(S)Setoile(S),T*K) ; % paramètres à incorporer dans la loi normale bivariée d11 = (log((S-D*exp(-r*t1))/Set)+(r+(sigmaˆ2)/2)*t1)/(sigma*sqrt(t1)) ; d21 = d11-sigma*sqrt(t1) ; d12 = (log((S-D*exp(-r*t1))/K)+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ; d22 = d12-sigma*sqrt(T) ; % calcul de Pi1 et Pi2 mat_cov = [ 1 -sqrt(t1/T) ; -sqrt(t1/T) 1] ; % matrice variance/covariance X = [d12 -d11] ; % paramètre de la loi normale multivariée Pi1 = normcdf(d11)+mvncdf(X,0,mat_cov) ; X = [d22 -d21] ; Pi2 = exp(r*(T-t1))*normcdf(d21)+mvncdf(X,0,mat_cov) ; end 2.2.5 Pricer d’un call américain avec plusieurs dividendes stochas- tiques La fonction Am_call_N_stocha function [ price ] = Am_call_N_stocha( S0,Pi1,Pi2,K,r,T ) alineaprice = S0*Pi1-K*exp(-r*T)*Pi2 ; end La fonction Parametre_amer_n_div_stoch function [ d11,d21,Pi1,Pi2] = Parametre_amer_n_div_stocha( S,r,mu,sigma,t1,T,K,h,n ) %on s’assure que les données de base sont compatibles avec la réalité if t1+(n-1)*h> T alineaerror(’Données incompatibles’) elseif n*h>T 35
  • 36. alineaerror(’Données incompatibles’) end options = optimset(’TolFun’, 0.01) ; %optimisation options d11 = zeros(n+1,1) ; %on dimensionne les différentes matrices utilisées d21 = zeros(n+1,1) ; cor = 1 ; %cela deviendra une matrice grace aux concatenations successives total1 = 0 ; % résultat des sommes utilisées plus tard total2 = 0 ; % boucle afin de réaliser la somme des différentes lois normales multivariées for i=1 :n alineatemps =t1+(i-1)*h ; alinea%il faudra à chaque fois recalculer le Setoile alineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-temps),r,sigma)-S-S*((1-exp(- alinea(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ; alineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ; alineaX1 = zeros(1,i+1) ; % Il y a le d(i+1) et i fois -d donc i+1 colonnes alineapour chaque X, il se redimensionnera à chaque boucle alineaX2 = zeros(1,i+1) ; alinea%concaténation afin d’agrandir la matrice corrélation en gardant les alineaanciennes données alineaconca = ones(i,1) ; alineacor = [ cor conca] ; % on rajoute une colonne alineaconca = ones(1,i+1) ; alineacor = [ cor ;conca] ; % on rajoute une ligne alinea% calcul des d allant de 1 a i qui seront transformés en -d après alinead11(i,1) = (log(S*exp(-(r-mu)*(i*h))/Set)+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+(i-1)*h)) alinea/(sigma*sqrt(t1+(i-1)*h)) ; alinead21(i,1) = d11(i,1)-sigma*sqrt(t1+(i-1)*h) ; alineafor j=1 :i alinea% calcul de la matrice de corrélation, on calcule seulement la partie alineasupérieure de la matrice alineaalineaif i==1 alineaalineaalinea% la matrice est une 2*2 donc un seul calcul à faire 36
  • 37. alineaalineaalineacor(1,i+1)= -sqrt(t1/((t1+1)*h)) ; alineaalinea% cas où i>1 and i<n alineaalineaelseif i>1 && i<n alineaalineaalineafor k =j+1 :i alineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt((i-j+1)*h)*sqrt((i-k+1)*h)+t1) alineaalineaalineaalinea/(sqrt(t1+(i-j+1)*h)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ; alineaalineaalineaend alineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/(t1+(i-j+1)*h)) ; alineaalinea% cas où i = n, T intervient et il faut donc modifier quelque peu la alineaalineacondition alineaalineaelseif i ==n alineaalineaalineaif j==1 alineaalineaalineaalineafor k =j+1 :i alineaalineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt(T-t1)*sqrt((i-k+1)*h)+t1) alineaalineaalineaalineaalinea/(sqrt(T)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ; alineaalineaalineaalineaend alineaalineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/T) ; alineaalineaalineaelseif j >1 alineaalineaalineaalineafor k =j+1 :i alineaalineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt((i-j+1)*h)*sqrt((i-k+1)*h)+t1) alineaalineaalineaalineaalinea/(sqrt(t1+(i-j+1)*h)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ; alineaalineaalineaalineaend alineaalineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/(t1+(i-j+1)*h)) ; alineaalineaalineaend alineaalineaend alineaend alinea% on remplit la matrice de covariance car nous avons calculé seulement la alineapartie supérieure de la matrice alineafor j=1 :i+1 alineaalineafor k=1 :j alineaalineaalineacor(j,k)=cor(k,j) ; alineaalineaend alineaend alinea% le i+1 utilise K et non pas Set alineaif i <n alineaalinea%on recalcule Set pour i+1 alineaalineatemps =t1+i*h ; alineaalineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-temps),r,sigma)-S-S*((1-exp(- alineaalinea(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ; alineaalineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ; 37
  • 38. alineaalinead11(i+1,1) = (log(S*exp(-(r-mu)*((i+1)*h))/Set) alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+i*h))/(sigma*sqrt(t1+i*h)) ; alineaalinead21(i+1,1) = d11(i+1,1)-sigma*sqrt(t1+i*h) ; alineaelseif i==n alineaalinead11(i+1,1) = (log(S*exp(-(r-mu)*((i)*h))/K) alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ; alineaalinead21(i+1,1) = d11(i+1,1)-sigma*sqrt(T) ; alineaend alinea%création du vecteur pour la loi mvn alineaX1(1,1)= d11(i+1,1) ; alineaX2(1,1)= d21(i+1,1) ; alineafor j=1 :i alineaalineaX1(1,j+1)= -d11(j,1) ; alineaalineaX2(1,j+1)= -d21(j,1) ; alineaend alinea%calcul de la loi multivarié alineatotal1 = total1 +exp(-(r-mu)*i*h)*mvncdf(X1,0,cor,options) ; alineaif i<n alineaalineatotal2 = total2+exp(r*(T-(t1+i*h)))*mvncdf(X2,0,cor,options) ; alineaend end % somme totale Pi1 = total1+normcdf(d11(1,1)) ; Pi2= total2+exp(r*(T-t1))*normcdf(d21(1,1))+mvncdf(X2,0,cor,options) ; end 2.2.6 Pricer d’un call américain avec un dividende connu suivi de plu- sieurs dividendes stochastiques La fonction Am_call_1known_and_N-1_stocha function [ price ] = Am_call_1known_and_N-1_stocha( S0,D,Pi1,Pi2,K,r,T,t1,d21 ) alineaprice = (S0 -D*exp(-r*t1))*Pi1-K*exp(-r*T)*Pi2 alinea+D*exp(-r*t1)*normcdf(d21) ; end La fonction Parametre_amer_1known_and_many_div_stocha function [ d11,d21,Pi1,Pi2] = Parametre_amer_1known_and_many_div_stocha( S,D,r,mu,sigma,t1,T,K,h,n) 38
  • 39. if t1+(n-1)*h> T alineaerror(’Données incompatibles’) elseif n*h>T alineaerror(’Données incompatibles’) end %il faudra a chaque fois recalculer le Setoile options = optimset(’TolFun’, 0.01) ; %optimisation options d11 = zeros(n+1,1) ; %on dimensionne les différentes matrices utilisées d21 = zeros(n+1,1) ; cor = 1 ; total1 = 0 ; %résultat des sommes total2 = 0 ; %boucle afin de réaliser la somme des différentes MVN for i=1 :n alineaif i == 1 alineaalineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-t1),r,sigma)-S-D+K ; alineaalineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ; alineaelseif i>1 alineaalineatemps =t1+(i-1)*h ; alineaalinea%il faudra a chaque fois recalculer le Setoile alineaalineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-temps),r,sigma)-S alineaalinea-S*((1-exp(-(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ; alineaalineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ; alineaend alineaX1 = zeros(1,i+1) ; % Il y a le d(i+1) et i fois -d donc i+1 colonnes pour alineachaque X alineaX2 = zeros(1,i+1) ; alinea%concaténation afin d’agrandir la matrice corrélation en gardant les alineaanciennes données alineaconca = ones(i,1) ; alineacor = [ cor conca] ; alineaconca = ones(1,i+1) ; alineacor = [ cor ;conca] ; alineafor j=1 :i alinea% calcul des d allant de 1 a i qui seront transformés en -d après alineaalinead11(i,1) = (log((S-D*exp(-r*t1))*exp(-(r-mu)*((i-1)*h))/Set) alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+(i-1)*h))/(sigma*sqrt(t1+(i-1)*h)) ; 39
  • 40. alineaalinead21(i,1) = d11(i,1)-sigma*sqrt(t1+(i-1)*h) ; alineaalinea% calcul de la matrice de corrélation alineaalineaif i==1 alineaalinea% la matrice est une 2*2 donc un seul calcul à faire alineaalineaalineacor(1,i+1)= -sqrt(t1/((t1+1)*h)) ; alineaalineaelseif i>1 && i =n alineaalineaalineafor k =j+1 :i alineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt((i-j+1)*h)*sqrt((i-k+1)*h)+t1) alineaalineaalineaalinea/(sqrt(t1+(i-j+1)*h)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ; alineaalineaalineaend alineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/(t1+(i-j+1)*h)) ; alineaalineaelseif i ==n alineaalineaalineaif j==1 alineaalineaalineaalineafor k =j+1 :i alineaalineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt(T-t1)*sqrt((i-k+1)*h)+t1) alineaalineaalineaalineaalinea/(sqrt(T)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ; alineaalineaalineaalineaend alineaalineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/T) ; alineaalineaalineaelseif j >1 alineaalineaalineaalineafor k =j+1 :i alineaalineaalineaalineaalineacor(j,k)= (cor(j,k)*sqrt((i-j+1)*h)*sqrt((i-k+1)*h)+t1) alineaalineaalineaalineaalinea/(sqrt(t1+(i-j+1)*h)*sqrt(t1+(i-k+1)*h)) ; alineaalineaalineaalineaend alineaalineaalineaalineacor(j,i+1)= -sqrt(t1/(t1+(i-j+1)*h)) ; alineaalineaalineaend alineaalineaend alineaend alinea% on remplit la matrice de covariance car nous avons calculé seulement la alineapartie supérieure de la matrice alineafor j=1 :i+1 alineaalineafor k=1 :j alineaalineaalineacor(j,k)=cor(k,j) ; alineaalineaend alineaend alinea% le i+1 qui utilise K et non pas Set alineaif i <n alineaalineatemps =t1+(i-1)*h ; alineaalinea%il faudra a chaque fois recalculer le Setoile alineaalineaSetoile=@(S) BlackScholes(S,K,(T-temps),r,sigma)-S alineaalinea-S*((1-exp(-(r-mu)*h))/exp(-(r-mu)*h))+K ; alineaalineaSet = fsolve(@(S)Setoile(S),T*K) ; 40
  • 41. alineaalinead11(i+1,1) = (log((S-D*exp(-r*t1))*exp(-(r-mu)*i*h)/Set) alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*(t1+i*h))/(sigma*sqrt(t1+i*h)) ; alineaalinead21(i+1,1) = d11(i+1,1)-sigma*sqrt(t1+i*h) ; alineaelseif i==n alineaalinead11(i+1,1) = (log((S-D*exp(-r*t1))*exp(-(r-mu)*((i-1)*h))/K) alineaalinea+(r+(sigmaˆ2)/2)*T)/(sigma*sqrt(T)) ; alineaalinead21(i+1,1) = d11(i+1,1)-sigma*sqrt(T) ; alineaend alinea %création du vecteur pour la loi mvn alineaX1(1,1)= d11(i+1,1) ; alineaX2(1,1)= d21(i+1,1) ; alineafor j=1 :i alineaalineaX1(1,j+1)= -d11(j,1) ; alineaalineaX2(1,j+1)= -d21(j,1) ; alineaend alinea%calcul de la loi multivariée alineatotal1 = total1 +exp(-(r-mu)*(i-1)*h)*mvncdf(X1,0,cor,options) ; alineaif i<n alineaalineatotal2 = total2+exp(r*(T-(t1+i*h)))*mvncdf(X2,0,cor,options) ; alineaend end % somme totale Pi1 = total1+normcdf(d11(1,1)) ; Pi2= total2+exp(r*(T-t1))*normcdf(d21(1,1))+mvncdf(X2,0,cor,options) ; end 41
  • 42. 3 Frontière d’exercice Cette partie se focalise sur la particularité de l’option américaine. En effet, l’option européenne ne permet à son détenteur de toucher son payoff, en cas d’activation, qu’à la maturité, soit la date T, tandis que l’option américaine permet à son déten- teur de l’activer à tout moment entre l’acquisition et la maturité. Comme démontré par Roll et expliqué précédemment, les seules dates auxquelles une activation de l’option d’achat pourrait être bénéfique au détenteur sont les dates de distribution de dividendes. Ainsi, si l’on considère un sous jacent entre 0 et T et que l’on note ∆t l’écart entre chaque pas, on a que les dates d’évaluation des payoffs de l’option sont t ∈ {∆t, 2∆t, ..., n∆t = T}. Il n’y a donc pas un unique payoff à considérer comme pour une option européenne mais n∆t payoffs possibles. Il faut alors déci- der à chaques pas (ie à chaques ∆t) d’exercer ou non son option en tenant compte des possibles payoff futurs. 3.1 La notion de frontière d’exercice pour un call américain La frontière d’exercice est le prix du sous jacent en t tel que si S(t) > S∗ t il est rationnel d’exercer l’option et si S(t) ≤ S∗ t , il est rationnel de la conserver. Dans le cas où le taux d’intérêt de l’économie est positif, une option américaine sans dividende ne présente pas plus d’intérêt qu’une option européenne de mêmes caractéristiques (même maturité, même strike...). Merton a d’ailleurs démontré qu’un call américain portant sur un sous jacent ne versant pas de dividende avait le même prix qu’un call européen[2]. C’est donc le dividende qui est à l’origine de la différence entre les deux types d’options et c’est à cet égard que l’option améri- caine devient plus intéressante. En effet, exercer son droit avant le paiement peut être préférable, afin d’éviter une inévitable baisse du prix du call, un versement de dividende entraînant ineluctablement une baisse du prix du sous-jacent. Notons que dans le cas d’un put, le problème ne se pose pas puisque la baisse du prix du sous jacent entraîne, de façon symétrique au cas d’un call, une augmentation de la valeur de l’option. L’activation d’un call américain, ne s’effectuant au plus tôt que la veille d’une tombée de dividende, le versement d’un dividende définissant une date critique, nécessite alors la vérification de certaines conditions. Le payoff, que l’on considère être la valeur intrinsèque de l’option, doit être supérieur à ce que l’on nomme la valeur de continuation. Cette valeur représente l’actualisation des flux monétaires possibles. Si la valeur de continuation de l’option est supérieure à sa valeur intrin- sèque en t, il n’y a aucune raison d’activer notre droit en t. Il est alors possible de tracer dans le plan [t; S(t)] la courbe définit dans l’ouvrage de Racicot comme suit : "Aussi longtemps que le cours de l’actif sous-jacent S(t) ne franchit pas cette courbe, un exercice anticipé n’est pas intéressant (il est donc 42
  • 43. préférable de garder l’option) mais dès que le cours franchit la courbe, il est alors intéressant d’exercer et il est même préférable de le faire sans attendre."[17] Bien qu’il n’existe pas de formule explicite de la frontière d’exercice, une caracté- risation est possible en utilisant la méthode des arbres binomiaux[17]. Ainsi, on peut obtenir le graphique suivant : Figure 2 – Frontière d’exercice On peut observer que la courbe ne commence pas réellement en 0 mais un peu plus tard. En réalité, la frontière n’est pas définie entre 0 et le point auquel la frontière devient positive. Cela est dû à l’approximation de l’arbre binomial qui nous em- pêche de calculer précisément le S minimum de la frontière pour les premiers pas. Par ailleurs, on peut voir une chute de la frontière au voisinage de la maturité, causée par la vitesse de convergence de l’algorithme. 3.2 Application Matlab 3.2.1 Simulation du mouvement du sous jacent function [ SJ,div_temps,div_prix,dt] = Sous_jacent_mvt( S,r,mu,sigma,T,t1,n,dt,h) SJ= ones(T/dt,1) ;% on y gardera l’évolution de S SJ(1,1) =S ; % point de départ S0 t1 = t1/dt ; % on recalibre 43
  • 44. div_temps = ones(n,1) ; % Nous permettras de savoir quand faire tomber les dividendes div_temps(1,1)=t1 ; % 1er dividende qui tombera div_prix = ones(n,1) ; % ici on aura le prix au moment du div ( utile pour notre graphique à la fin) paye=0 ; % nombre de dividende payé dans la période concernée compteur = 1 ; % afin de bouger dans notre matrice des prix for j=2 :n alineadiv_temps(j,1) = t1+(j-1)*h/dt ; end div_temps(1,1) = div_temps(2,1)- 1/dt ; %probleme de format de t1 j=2 ; for j=2 :T/dt alineapaye =0 ; alineafor c=1 :n alineaalineaif j == div_temps(c,1) alineaalineaalineadiv_prix(compteur,1)= SJ(j-1,1) ; alineaalineaalineacompteur = compteur +1 ; alineaalineaalineapaye =1 ; alineaalineaend alineaend alineaSJ(j,1) = SJ(j-1,1)*exp(-(r-mu)*(paye*h))*exp((r-0.5*sigmaˆ2)*dt alinea+sigma*sqrt(dt)*normrnd(0,1)) ; end end 3.2.2 Construction de la frontière d’exercice % script permettant la construction et la représentation graphique de la frontière efficiente S = 100 ; %Sous jacent X = 95 ; %Strike rf = 0.05 ; %Taux sans risque T = 5 ; % Maturité de l’option sigma = 0.328714 ; %volatilité t1 = 0.3 ; % temps du futur dividende h=1 ; %1/nombre de dividende payés dans l’année 44
  • 45. mu=0.027634 ; fe = 0 ; %frontiere N = 1000 ; dt = 1 / N ; %pas n=4 ; % nombre de dividendes attendus abscisse = 1 :1 :T/dt ; zero = zeros(T/dt,1) ; Smat = zeros(T/dt,1) ; cash = zeros(T/dt,1) ; frontiere = zeros(T/dt,1) ; %Calcul de la probabilité u = exp(sigma * sqrt(dt)) ; d = exp(-sigma * sqrt(dt)) ; p = (exp((rf - mu) * dt) - d) / (u - d) ; Disc = exp(-rf * dt) ; %calcul du prix à la dernière période Smat(1) = S * (d ˆ(T/dt)) ; for i = 2 :T/dt alineaSmat(i) = Smat(i - 1) * (u / d) ; end %Calcul des flux monétaires de l’option de vente à la dernière période for i = 1 :T/dt alineacash(i) = max(zero(i), Smat(i) - X) ; alineaif Smat(i) - X > 0 && fe == 0 alineaalineafe = Smat(i) ; alineaend end frontiere(T/dt,1) = fe ; %actualisation des prix de l’option for i = T/dt - 1 :-1 :1 alineafe = 0 ; alineafor j = 1 :i alineaalineacash(j) = Disc * (p * cash(j + 1) + (1 - p) * cash(j)) ; alineaalinea%permet d’appliquer notre règle d’exercice alineaalineaSmat(j) = Smat(j) / d ; alineaalineacash(j) = max(cash(j), Smat(j) - X) ; 45
  • 46. alineaalineaif cash(j) == Smat(j) - X && fe == 0 alineaalineaalineafe = Smat(j) ; alineaalineaend alineaend alineafrontiere(i ) = fe ; end .[ SJ,temps,prix,dt ] = Sous_jacent_mvt(S,rf,mu,sigma,T,t1,n,dt,h) ; plot(abscisse,frontiere’) ; xlabel(’Temps (dt)’) ; ylabel(’Prix du Sous-Jacent’) ; title(’Frontiere d exercice’) ; axis ([0 T/dt 0 S*3]) ; legend(’Frontiere Exercice’,’Sous-Jacent’,’Dividendes’) ; plot(abscisse,frontiere’,abscisse,SJ,temps,prix,’r*’) ; 3.2.3 Précisions sur le code Nous passons par l’utilisation d’un modèle d’arbre binomial qui est la méthode la plus utilisée pour la représentation de la frontière d’exercice, car elle permet parfaitement l’illustration du temps discret que nous étudions. Premièrement, nous calculons tous les prix possibles du sous-jacents à la date de maturité de l’option, c’est-à-dire le dernier step. Une fois que tous les prix sont calculés, nous pouvons passer aux possibles cash-flow que l’on conservera dans la matrice Cash. Cela nous permet de savoir à quel niveau de l’arbre (en fonction de u et de d) le payoff de l’option passera de 0 à une valeur strictement positive. Ce niveau sera le prix en T auquel il faudra activer ou non son option si celle-ci n’a pas encore été activée. On procède alors par une récurrence inverse (backward induction) de l’avant dernier step de l’arbre jusqu’au premier en prenant en compte les données des steps futurs déjà calculés. Nous appliquons simplement la formule exp(rf*dt)*(p*cash(j+1)+(1-p)*cash(j)) sur tous les niveaux de l’arbre à chaque pas afin d’obtenir tous les cash-flow pos- sibles. On applique alors la définition de la frontière d’exercice afin de la caractériser : on reprend le prix du sous-jacent de la période future que l’on multiplie par 1 d , afin d’obtenir les prix de S pour la période actuelle pour tous les niveaux. Nous recalculons encore cash en utilisant cash = Max(cash ; S(t)-K) 46
  • 47. Cela permet de savoir à quel niveau de S(t), la valeur intrinsèque S-K sera supé- rieure à la valeur de continuation en t. Alors, en dessous de ce S, il faut conserver l’option tandis qu’au dessus de ce S, il est rationnel d’activer son droit. Le S le plus faible qui justifie S-K>cash représente notre frontière d’exercice en t. Nous relançons alors la boucle de T − 1 jusqu’à 1 pour obtenir une frontière complète. 47
  • 48. Conclusion Nous avons donc, en reprenant les résultats dérivés du modèle de Korn et Rogers par Kruse et Muller, développé un système d’équations en formules fermées afin de déterminer le prix d’options européennes ou américaines dont le sous jacent verse des dividendes de façon discrète. Ce modèle reflète plus justement la réalité des marchés, les dividendes étant versés de façon ponctuelle et non de façon continue. Toutefois notre modèle reste dans le cadre du modèle de Black and Scholes et ne s’affranchit donc pas des limites qui y sont associées. Ainsi, le problème de la volatilité implicite constante n’est pas résolu. Une combinaison de ce modèle avec d’autres extensions, comme le modèle de Heston, pourrait alors s’avérer être la parfaite alternative au modèle étudié dans notre travail. Par ailleurs, comme le souligne Korn et Rogers, nous pourrions aussi impacter le niveau des dividendes versés dans le temps en ne fixant plus λ comme une constante mais en la définissant comme un processus stochastique positif, par exemple un processus de Poisson. Il faudrait toutefois que ce processus soit indépendant du processus de Levy que suit X. 48
  • 49. Annexes 1 Propriétés fondamentales Nous reportons ici les propriétés définies par Kruse et Muller dans l’article sur lequel se base les preuves de nos formules analytiques de pricing.[14] Notre but n’étant pas de démontré ces propriétés mais de pouvoir les utiliser dans les démonstrations de notre première partie, nous ne les démontrerons pas mais vous invitons à les consulter, si vous le souhaitez.[14] On note Nn(z1, ...zn; ˆC) la fonction de répartition de la loi normale multivariée ayant poour matrice de corrélation ˆC pour les valeurs z1, ...zn. Propriété 1 Soit X ∼ N(µ, σ2 ) une variable aléatoire gaussienne et Y = (Y1, ..., Yn) ∼ Nn(0n, ˆC) un vecteur aléaoire de matrice de corrélation ˆC d’éléments ˆcjk. On suppose que X et Y sont indépendants et on définit un vecteur aléatoire U tel que U = (Y1 − α1X, ..., Yn − αnX, X) Alors la matrice de corrélation de U est donnée par la matrice carrée C de taille (n + 1) telle que les éléments de la diagonales sont égaux à 1 et les éléments hors diagonales sont données par cjk =    ˆcjk + αjαkσ2 1 + α2 j σ2 1 + α2 kσ2 pour j = k et j, k = 1...n −αjσ 1 + α2 j σ2 pour k = n + 1 et j = 1...n −αkσ 1 + α2 kσ2 pour j = n + 1 et k = 1...n Propriété 2 On note fX la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite. On a γ −∞ Nn(α1x + β1, ..., αnx + βn; ˆC)fX(x)d(x) = Nn+1 β1 1 + α2 1 , ..., βn 1 + α2 n , γ; C avec C obtenue à partir de la propriété 1. 49
  • 50. Propriété 3 On note fX la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite. On a γ −∞ Nn(α1x + β1, ..., αnx + βn; ˆC)eδ+ηx fX(x)d(x) = eδ+1 2 η2 Nn+1 β1 1 + α2 1 , ..., βn 1 + α2 n , γ; C avec C obtenue à partir de la propriété 1. Propriété 4 : Comment construire la matrice C(i+1) avec i < n On considère la suite de points {t1, t2 = t1 + h, ..., ti+1 = t1 + hi} avec i < n, alors σj = t1 + (i − j)h pour j = 1, ..., i σjk = 1 (j − k + 1)h pour tout j = 1, ..., i; k = 1, ..., j; j ≥ k et les éléments hors diagonales de la matrice C(i+1) sont donnés par : si i = 1 c (2) 12 = −α11σ1 1 + α2 11σ2 1 = − t1 t1 + h si i > 1    c (i+1) j,i+1 = −αijσi 1 + α2 ijσ2 i = − t1 t1 + (i − j + 1)h pour j = 1, ..., i c (i+1) jk = ˆc (i) jk + αijαikσ2 i 1 + α2 ijσ2 i 1 + α2 ikσ2 i pour j = 1, ..., i; k = j + 1, ..., i = ˆc (i) jk (i − j + 1)h (i − k + 1)h + t1 t1 + (i − j + 1)h t1 + (i − k + 1)h Propriété 5 : Comment construire la matrice C(n+1) avec i = n On considère la suite de points {t1, t2 = t1 + h, ..., tn = t1 + (n − 1)h, tn+1 = T}, alors σj = t1 + (n − j)h pour j = 1, ..., i σj1 = 1 T − t1 − (n − j)h σjk = 1 (j − k + 1)h pour tout j = 2, ..., n; k = 2, ..., j; j ≥ k 50
  • 51. et les éléments hors diagonale de la matrice C(n+1) sont donnés par : si n = 1 c (2) 12 = −α11σ1 1 + α2 11σ2 1 = − t1 T si n > 1    c (n+1) 1,n+1 = −αn1σn 1 + α2 n1σ2 n = − t1 T c (n+1) 1k = ˆc (n) 1k + αn1αnkσ2 n 1 + α2 n1σ2 n 1 + α2 nkσ2 n pour k = 2, ..., n; = ˆc (n) 1k √ T − t1 (n − k + 1)h + t1 √ T t1 + (n − k + 1)h c (n+1) j,n+1 = −αnjσn 1 + α2 njσ2 n pour j = 2, ..., n; = − t1 t1 + (n − j + 1)h c (n+1) jk = ˆc (n) jk + αnjαnkσ2 n 1 + α2 njσ2 n 1 + α2 nkσ2 n pour j = 2, ..., n; k = j + 1, ..., n = ˆc (n) jk (n − j + 1)h (n − k + 1)h + t1 t1 + (n − j + 1)h t1 + (n − k + 1)h 51
  • 52. Annexes 2 Données historiques pour le calcul de la volatilité Volatilités annuelles 2006 2007 2008 2009 2010 Airbus Group 43.03% 26.36% 61.92% 43.01% 31.32% Axa 22.92% 26.36% 75.06% 63.14% 41.41% BNP Paribas 21.63% 26.43% 61.54% 62.97% 42.11% EDF 26.71% 22.19% 49.03% 33.78% 21.69% GDF Suez 20.9% 22.19% 56.65% 33.85% 26% L’Oreal 19.03% 19.6% 41.75% 27.21% 23.11% LVMH 22.31% 18.73% 46.99% 37.74% 28.91% Sanofi 20.52% 18.65% 42.41% 28.64% 21.77% Schneider Electric 25.23% 26.41% 57.99% 42.11% 31.8% Total 18.11% 20.44% 48.04% 29.68% 22.44% 2011 2012 2013 2014 2015 Airbus Group 36.45% 32.26% 25.91% 26.9% 28.36% Axa 54.18% 35.56% 25.6% 22.8% 23.94% BNP Paribas 59.68% 42.13% 27.47% 23.82% 31.09% EDF 33.35% 27.77% 24.96% 23.06% 29.8% GDF Suez 33.93% 26.14% 22.66% 22.31% 25.21% L’Oreal 21.2% 20.06% 20.81% 16.54% 20.06% LVMH 31.71% 26.41% 21.14% 19.38% 27.56% Sanofi 25.7% 20.82% 22.94% 22.53% 23.39% Schneider Electric 43.68% 35.61% 25.35% 24.26% 23.88% Total 24.58% 20.37% 16.72% 24.43% 29.22% Volatilités sur l’ensemble de la période observée : du 1er janvier 2006 au 10 mars 2015 Airbus Group 37.89% Axa 44.38% BNP Paribas 43.80% EDF 30.40% GDF Suez 31.21% L’Oreal 24.29% LVMH 29.57% Sanofi 25.78% Schneider Electric 36.20% Total 26.61% 52
  • 53. Données historiques pour le calcul de µ Airbus Group ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 29/05/2014 28/05/2014 53.12 52.52 3.8641% 31/05/2013 30/05/2013 44.24 43.99 4.422% 04/06/2012 01/06/2012 26.15 25.74 3.4197% 01/06/2011 31/05/2011 22.88 22.7 4.2322% 03/06/2009 02/06/2009 12 11.96 4.7496% 11/05/2007 10/05/2007 23.22 23.11 4.5251% 10/05/2006 09/05/2006 31.86 31.3 3.2267% Axa ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 02/05/2014 30/04/2014 18.77 18.22 1.9719% 09/05/2013 07/05/2013 14.86 14.29 1.0887% 04/05/2012 03/05/2012 10.54 9.93 -0.9042% 29/04/2011 28/04/2011 15.69 15.12 1.3325% 03/05/2010 30/04/2010 15.1 14.6 1.6327% 07/05/2009 06/05/2009 13.13 13.04 4.3281% 24/04/2008 23/04/2008 23.5 22.61 1.1644% 21/05/2007 18/05/2007 32.45 31.82 3.0541% 12/05/2006 11/05/2006 28.41 27.7 2.4717% BNP Paribas ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 20/05/2014 19/05/2014 52.2 50.88 2.4387% 21/05/2013 17/05/2013 46.49 45.9 3.7228% 30/05/2012 29/05/2012 26.28 24.88 -0.4353% 20/05/2011 19/05/2011 54.34 52.7 1.9355% 19/05/2010 18/05/2010 49.3 47.59 1.4597% 20/05/2009 19/05/2009 46.09 45.58 3.8974% 26/05/2008 23/05/2008 66.06 63.08 0.3858% 24/05/2007 23/05/2007 91.6 88.48 1.5348% 31/05/2006 30/05/2006 72.16 69 0.5242% 53
  • 54. EDF ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 15/12/2014 12/12/2014 22.98 22.4 2.4877% 03/06/2014 02/06/2014 25.76 24.96 1.8258% 12/12/2013 11/12/2013 25.85 25.14 2.2348% 06/06/2013 05/06/2013 18.38 18.01 2.9664% 06/06/2013 05/06/2013 18.38 18.01 2.9664% 12/12/2012 11/12/2012 14.28 13.8 1.6521% 01/06/2012 31/05/2012 15.56 15.25 2.9555% 13/12/2011 12/12/2011 19.23 18.68 2.125% 01/06/2011 31/05/2011 28.18 27.72 3.3184% 14/12/2010 13/12/2010 31.82 31.42 3.7352% 31/05/2010 28/05/2010 36.05 35.51 3.4907% 29/05/2009 28/05/2009 37.62 37.6 4.9335% 12/12/2008 11/12/2008 40.85 39 0.3655% 28/05/2008 27/05/2008 68.13 67.72 4.3964% 27/11/2007 26/11/2007 84.96 84 3.8636% 04/06/2007 01/06/2007 71.38 70 3.0478% 20/06/2006 19/06/2006 39.13 38.36 3.0126% GDF Suez ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 13/10/2014 10/10/2014 18.5 17.94 1.8992% 30/04/2014 29/04/2014 18.96 18.25 1.1834% 15/11/2013 14/11/2013 18.54 17.76 0.7569% 25/04/2013 24/04/2013 16.6 15.9 0.7218% 25/09/2012 24/09/2012 19.46 18.58 0.3737% 25/04/2012 24/04/2012 18.26 17.62 1.4879% 10/11/2011 09/11/2011 20.08 19.1 0.0213% 04/05/2011 03/05/2011 27.82 27.32 3.2227% 10/11/2010 09/11/2010 28.87 27.69 0.8268% 05/05/2010 04/05/2010 27 26.81 4.2938% 15/12/2009 14/12/2009 29.9 29.2 2.631% 06/05/2009 05/05/2009 27.9 26.6 0.2285% 22/05/2008 21/05/2008 43.95 42.15 0.8182% 30/05/2007 29/05/2007 37.3 36.6 3.1055% 30/05/2006 29/05/2006 27.11 26.43 2.4597% 54
  • 55. L’Oreal ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 29/04/2014 28/04/2014 123.25 121 3.1576% 07/05/2013 06/05/2013 136 134.7 4.0395% 27/04/2012 26/04/2012 93.33 91.05 2.5267% 29/04/2011 28/04/2011 86.77 85.15 3.1153% 30/04/2010 29/04/2010 79.99 79 3.7546% 21/04/2009 20/04/2009 51.76 50.82 3.1771% 25/04/2008 24/04/2008 73.83 72.99 3.8557% 03/05/2007 02/05/2007 87.95 86.89 3.7874% 10/05/2006 09/05/2006 74.4 73.5 3.7829% LVMH ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 02/12/2014 01/12/2014 129.55 128.88 4.4769% 14/04/2014 11/04/2014 127.25 125.54 3.6453% 28/11/2013 27/11/2013 127.66 126.8 4.3271% 22/04/2013 19/04/2013 111.12 109.95 3.9401% 20/04/2012 19/04/2012 110.94 110.49 4.593% 29/11/2011 28/11/2011 101.21 100.94 4.7325% 20/05/2011 19/05/2011 108.51 107.79 4.3333% 29/11/2010 26/11/2010 108.01 107.97 4.9583% 20/05/2010 19/05/2010 77.65 77.36 4.6279% 27/11/2009 26/11/2009 63.52 62.18 2.8778% 20/05/2009 19/05/2009 55.09 54.49 3.9062% 20/05/2008 19/05/2008 69.36 68.22 3.3492% 15/05/2007 14/05/2007 77.23 76.24 3.7198% 18/05/2006 17/05/2006 68.18 67.46 3.9369% 55
  • 56. Sanofi ExDate ExDate-1 jour Prix avant dividende Prix après dividende µ 12/05/2014 09/05/2014 78.38 76.07 2.0085% 09/05/2013 07/05/2013 84.85 83.12 2.94% 10/05/2012 09/05/2012 58.1 56 1.3186% 16/05/2011 13/05/2011 56.26 53.9 0.7147% 20/05/2010 19/05/2010 50.38 48.68 1.5674% 23/04/2009 22/04/2009 42.6 40.8 0.6945% 16/05/2008 15/05/2008 48.5 48.4 4.7936% 07/06/2007 06/06/2007 69.58 68.52 3.4649% 07/06/2006 06/06/2006 72.55 71.95 4.1695% Schneider Electric ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 14/05/2014 13/05/2014 69.68 68.25 2.9264% 02/05/2013 30/04/2013 57.9 56.8 3.0819% 11/05/2012 10/05/2012 45.21 43.52 1.1902% 29/04/2011 28/04/2011 60.62 59.05 2.3677% 04/05/2010 03/05/2010 42.9 42.04 2.9631% 04/05/2009 30/04/2009 28.96 27.44 -0.3741% 25/04/2008 24/04/2008 40.92 40 2.7383% 02/05/2007 30/04/2007 52.04 51 2.9909% 09/05/2006 05/05/2006 45.76 45.02 3.3651% 56
  • 57. Total ExDate ExDate-1j Prix avant dividende Prix après dividende µ 15/12/2014 12/12/2014 41.14 40.76 4.0965% 23/09/2014 22/09/2014 50.13 49.62 3.9774% 24/03/2014 21/03/2014 47.56 46.7 3.1647% 16/12/2013 13/12/2013 41.56 41.07 3.814% 24/09/2013 23/09/2013 42.71 42.52 4.5659% 24/06/2013 21/06/2013 36.51 36.3 4.4369% 18/03/2013 15/03/2013 39.16 38.14 2.348% 17/12/2012 14/12/2012 39.46 38.89 3.545% 24/09/2012 21/09/2012 40.8 39.99 2.9947% 18/06/2012 15/06/2012 35.43 35.16 4.235% 19/03/2012 16/03/2012 42.53 42.09 3.96% 19/12/2011 16/12/2011 36.85 36.1 2.9163% 19/09/2011 16/09/2011 33.3 32.07 1.2213% 23/05/2011 20/05/2011 41.07 40.03 2.4351% 12/11/2010 10/11/2010 40.75 39.3 1.3769% 27/05/2010 26/05/2010 37.6 37.21 3.9706% 13/11/2009 12/11/2009 43 41.8 2.1813% 19/05/2009 18/05/2009 41.95 41.2 3.196% 20/05/2008 19/05/2008 58.2 56.84 2.6181% 16/11/2007 15/11/2007 54.6 53.78 3.4868% 17/11/2006 16/11/2006 56.5 54.8 1.945% 18/05/2006 17/05/2006 51.83 51.45 4.2737% 57
  • 58. Références [1] F. Black & M. Scholes :The Pricing of Options and Corporate Liabilities ,Jour- nal of Political Economy (1973) 81, pp. 637–54. [2] R. Merton :Theory of Rational Option Pricing, The Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 4, No 1 (Spring, 1973) pp.141-183 [3] R. Roll :An analytic formula for unprotected Call options on stocks with known dividends, Journal of Financial Economics 5 (1977) pp.251-258 [4] R. Geske :A note on an analytical valuation formula for unprotected American Call options on stocks with known dividends, Journal of Financial Economics 7 (1979) pp.375-380 [5] R. Whaley :On the valuation of American Call Options on stocks with known dividends, Journal of Financial Economics 9 (1981) 207-211 [6] R. Korn & L.C.G. Rogers :Stocks paying discrete dividends : modelling and option pricing, The Journal of Derivatives, Vol. 13 (2005) pp.44-48 [7] P. Samuelson & R. Merton :A Complete Model of Warrant Pricing that Maxi- mizes Utility, Industrial Management Review 10 (Winter 1969), pp17-46 [8] O. Vasicek :An equilibrium characterization of the term structure, Journal of Financial Economics 5 (1977) pp.177-188 [9] L. Bachelier :Théorie de la spéculation, Annales scientifiques de l’E.N.S. 3e série, tome 17 (1900), pp 21-86 [10] H. Markowitz :Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Mar- kets (1987) Oxforf, U.K. :Basil Blackwell [11] B. Mandelbrot :Fractales, hasard et finance, Flammarion (1959, 1997) [12] S. Heston :A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options, Oxford Journals, The Reviews of Financial Studies (1993) 6 (2) : pp.327-343 [13] B. Dupire :Pricing with a smile, Risk Magazine (1994) pp.18-20 [14] S. Kruse & M. Müller :Pricing American call options under the assumption of stochastic dividends – An application of the Korn-Rogers model, Social Science Research Network (SSRN) Electronic Journal (04/2009) [15] J. Hull :Options, futures et autres actifs dérivés, Pearson Education Inc., 9e édition (2014), ISBN 978-2-3260-0049-0 [16] C. Smith : Option pricing : A review, Journal of Financial Economics 3 (1976) pp.3-51 [17] F.-E. Racicot & R. Théoret :Finance computationnelle et gestion des risques, Presse de l’Université du Québec (2006), D1447, ISBN 978-2-7605-1447-8 58

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