Por todos los caminos posibles
M.C. Juliho Castillo
Instituto de Matemáticas UNAM
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Índice
Índice
Por el camino clásico
Por el camino cuántico
Por el camino estocástico
Todos los caminos llevan a Feynman
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Por el camino clásico
La ecuación de Newton
Sea F : R3
× R3
× R → R3
¨x = F(x, ˙x, t)
Bajo las condiciones del T.E.U. de E...
Por el camino clásico
Funcionales
Un funcional es una función cuyo dominio es un espacio de dimensión infinta: el
espacio X...
Por el camino clásico
Funcionales diferenciables
Un funcional Φ es diferenciable en x ∈ X, si para h ∈ X,
Φ(x + h) − Φ(x) ...
Por el camino clásico
Otra mirada a la mécanica clásica
Definición 2.2
El Lagrangiano L : R3
× R3
→ R de un sistema dinámic...
Por el camino clásico
Ejemplo 2.2
Definimos el Lagrangiano (de mecánica clásica) L ∈ C∞
(R3
× R3
),
L(x, v) =
1
2
v2
-V (x)...
Por el camino clásico
Observación
La energía de un sistema coincide (en este caso) con el Hamiltoniano.
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Por el camino clásico
Definición 2.3
La ecuación
d
dt
∂L
∂ ˙x
−
∂L
∂x
= 0
se llama de Euler-Lagrange para el funcional S.
T...
Por el camino clásico
Ejemplo
Para L(x, ˙x) = 1
2 ˙x2
− V (x)
∂L
∂ ˙x
= ˙x
d
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∂L
∂ ˙x
= ¨x
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∂x
= − V (x)
y la ecuación...
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La ecuación de Hamilton-Jacobi
Si X es el espacio de curvas une x0 con x1, en un intervalo de tiempo...
Por el camino clásico
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Por el camino cuántico
Crisis de la mecánica clásica
Espéctro de radiación del cuepo negro, resuelto por Max Plank cuantiz...
Por el camino cuántico
Un espacio vectorial... ¡De ondas!
H ˙=L2
[0, 1] = {“f : [0, 1] → C |
1
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|f |
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dt ≤ ∞}
Este es un...
Por el camino cuántico
¿Otro espacio de Hilbert (separable)?
H = l2
(Z) = x = (xk )∞
k=1|xi ∈ C, Σ|xi |
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Producto int...
Por el camino cuántico
Funciones de onda
Una función Ψ : R × R+
→ C tal que
P(a ≤ x ≤ b) =
b
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sea la proba...
Por el camino cuántico
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Por el camino cuántico
La ecuación de Schrödinger
La evolución temporal de un sistema cuántico se rige por la ecuación de
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El propagador cuántico
La función de onda se puede separar en su parte real y su parte temporar
Ψ(t...
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Observación
Por teoría espectral, el progagador cuántico su puede escribir como e−iHt/
, es
decir u...
Por el camino estocástico
La ecuación del calor
La ecuación del calor
∂u
∂t
=
1
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∆u
es una E.D.P. que describe la distrib...
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El núcleo de la ec. del calor
Para el caso g(x) = δ(x), la solución esta dada por
ρ(x, y, t) =
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Observación
Por teoría espectral, la solución u(x, t) de la ec. del calor se puede escribir en s...
Por el camino estocástico
Movimiento Browniano
El movimiento Browniano (llamado así por el botánico Robert Brown) es un
mo...
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Un recordatorio de probabilidad
Una variable aleatoria X se llama normal (o Gaussiana) con media...
Por el camino estocástico
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Por el camino estocástico
Interpretación probabilista de la ec. del calor
1. Discretizamos el espacio del movimiento Brown...
Por el camino estocástico
El proceso de Wiener
Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias
{X(t)|0 ≤ t...
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Todos los caminos llevan a Feynman
El propagador cuántico
El núcleo del operador integral en L2
(R), e−H0t
es el propagado...
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Relación entre mecánica cuántica y mecánica lagrangiana
Paul Dirac propuso la siguiente...
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Ejemplo para particula libre
Una trayectoria clásica esta dada por x(s) = x0 + vs, s ∈ ...
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Nota histórica
La extensión (no trivial) al caso de un potencial no cero fue desarrolla...
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Fórmula de caminos de Feynman
Para un potencial V continuo y acotado inferiormente, H =...
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Interpretación de la integral
St,n puede verse como una aproximación a St(γ), donde γ e...
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Dificultades técnicas
El símbolo Dγ, el cuál debería ser el límite de Nn
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Fórmula de Feynman-Kac
Para ψ ∈ L2
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),
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ψ (x) = E e− τ
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Otra versión de la misma fórmula
Consideremos la ecuación
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∆u + cu = f en U
u = 0 ...
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Conclusiones
La resolución de problemas en física involucra el desarrollo de nuevas téc...
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Por todos los caminos posibles

Published on: Mar 4, 2016
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Transcripts - Por todos los caminos posibles

  • 1. Por todos los caminos posibles M.C. Juliho Castillo Instituto de Matemáticas UNAM M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 1 / 41
  • 2. Índice Índice Por el camino clásico Por el camino cuántico Por el camino estocástico Todos los caminos llevan a Feynman M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 2 / 41
  • 3. Por el camino clásico La ecuación de Newton Sea F : R3 × R3 × R → R3 ¨x = F(x, ˙x, t) Bajo las condiciones del T.E.U. de E.D.O, la función F y las condiciones iniciales determinan de manera única un movimiento. Observación Si F es un campo conservativo, existe un campo escalar V tal que F = − V . Llamamos a V el potencial. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 3 / 41
  • 4. Por el camino clásico Funcionales Un funcional es una función cuyo dominio es un espacio de dimensión infinta: el espacio X de todas las curvas (¿Que curvas?). Ejemplo 2.1 La longitud de curva l : X → R l(x) = t1 to 1 + ˙x2dt M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 4 / 41
  • 5. Por el camino clásico Funcionales diferenciables Un funcional Φ es diferenciable en x ∈ X, si para h ∈ X, Φ(x + h) − Φ(x) = F(x, h) + R(x, h), donde: F depende linealmente en h R = O h2 Observación Si F existe, es única. En este caso, denotamos F(x, h) como δΦ|x (h). Definición 2.1 Un extremal x de un funcional diferenciable Φ es una curva tal que ∀h ∈ X : δΦ|x (h) = 0. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 5 / 41
  • 6. Por el camino clásico Otra mirada a la mécanica clásica Definición 2.2 El Lagrangiano L : R3 × R3 → R de un sistema dinámico es una función escalar que resume la dinámica de dicho sistema. Sea x ∈ X y definimos la acción de nuestro Lagrangiano como S(x) = t1 t0 L(x(t), ˙x(t))dt. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 6 / 41
  • 7. Por el camino clásico Ejemplo 2.2 Definimos el Lagrangiano (de mecánica clásica) L ∈ C∞ (R3 × R3 ), L(x, v) = 1 2 v2 -V (x), y el Hamiltaniano (de mécanica clásica) H ∈ C∞ (R3 × R3 ), L(x, v) = 1 2 v2 +V (x), M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 7 / 41
  • 8. Por el camino clásico Observación La energía de un sistema coincide (en este caso) con el Hamiltoniano. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 8 / 41
  • 9. Por el camino clásico Definición 2.3 La ecuación d dt ∂L ∂ ˙x − ∂L ∂x = 0 se llama de Euler-Lagrange para el funcional S. Teorema 2.1 La curva x es un extremal del funcional S en el espacio X(xo, x1) ⊂ X de todas las curvas que unen x0 con x1 si y solo si la ecuación de Lagrange se satisface M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 9 / 41
  • 10. Por el camino clásico Ejemplo Para L(x, ˙x) = 1 2 ˙x2 − V (x) ∂L ∂ ˙x = ˙x d dt ∂L ∂ ˙x = ¨x ∂L ∂x = − V (x) y la ecuación de Euler-Lagrange es ¨x + V (x) = 0 M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 10 / 41
  • 11. Por el camino clásico La ecuación de Hamilton-Jacobi Si X es el espacio de curvas une x0 con x1, en un intervalo de tiempo [t0, t1] definimos el potencial de acción de L(x, ˙x, t) como Ψ(x0, t0, x1, t1) = «ınf x∈X x Ldt Teorema 2.2 El potencial de acción satisface la ecuación ∂Ψ ∂t + H(x, ∂Ψ ∂x , t) = 0 Esta es una E. D. P. no lineal de primer orden y es conocida como la ecuación de Hamilton-Jacobi. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 11 / 41
  • 12. Por el camino clásico M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 12 / 41
  • 13. Por el camino cuántico Crisis de la mecánica clásica Espéctro de radiación del cuepo negro, resuelto por Max Plank cuantizando la energía. El módelo clásico predecía una producción de energía infinita con longitudes de onda muy pequeñas. La explicación del efecto fotoeléctrico, dada por Albert Einstein Dualidad onda-partícula M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 13 / 41
  • 14. Por el camino cuántico Un espacio vectorial... ¡De ondas! H ˙=L2 [0, 1] = {“f : [0, 1] → C | 1 0 |f | 2 dt ≤ ∞} Este es un espacio de Hilbert (un espacio vectorial con producto interno completo) separable, es decir, con base númerable y por tanto, de dimensión infinita. Producto interno: ·, · : H × H → C, f , g = 1 0 f (t)¯g(t)dt Base (ortonormal): en : [0, 1] → C|s → e2πins Estos son resultados de análisis de Fourier. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 14 / 41
  • 15. Por el camino cuántico ¿Otro espacio de Hilbert (separable)? H = l2 (Z) = x = (xk )∞ k=1|xi ∈ C, Σ|xi | 2 ≤ ∞ Producto interno: ·, · : H × H → C, x, y = xi ¯yi Base (ortonormal): {en = (δk,n)∞ k=1} Proposición 3.1 La Transformada de Fourier : H → H , f → ( f , ek )n k=1 es un isomorfismo (en el sentido de espacios de Hilbert). Teorema 3.2 (Mejor aún...) Todos los espacios de Hilbert separables ¡Son isomorfos! M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 15 / 41
  • 16. Por el camino cuántico Funciones de onda Una función Ψ : R × R+ → C tal que P(a ≤ x ≤ b) = b a |Ψ(x, t)| 2 dx sea la probabilidad de que una partícula este en el intervalo [a, b] en el instante t se llama función de onda. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 16 / 41
  • 17. Por el camino cuántico M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 17 / 41
  • 18. Por el camino cuántico La ecuación de Schrödinger La evolución temporal de un sistema cuántico se rige por la ecuación de Schrödinger i ∂ ∂t Ψ(t) = HΨ(t), donde H = −2 ∆ + V (x) es el Hamiltoniano de la mecánica cuántica. Ψ(t) es llamada la función de onda. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 18 / 41
  • 19. Por el camino cuántico El propagador cuántico La función de onda se puede separar en su parte real y su parte temporar Ψ(t) = ψ(x)T(t). Usando el método de separación de variables, se pueden obtener las siguiente ecuaciones Hψ(x) = Eψ(x) (3.1) T(t) = e−iEt/ , (3.2) (3.1) se conoce como la ecuación de Schrödinger estacionaria, que es una ecuación de valores propios y (3.2) es el propagador cuántico. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 19 / 41
  • 20. Por el camino cuántico Observación Por teoría espectral, el progagador cuántico su puede escribir como e−iHt/ , es decir una solución de la ec. de Schrödinger se puede escribir como e−iHt/ ψ(x). M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 20 / 41
  • 21. Por el camino estocástico La ecuación del calor La ecuación del calor ∂u ∂t = 1 2 ∆u es una E.D.P. que describe la distribución del calor (o variación de temperatura) en una región dada a través del tiempo. En el caso unidimensional, la ecuación del calor, con condición inicial, tiene la forma ut(x, t) = 1 2 uxx (x, t) −∞ < x < ∞, 0 < t < ∞ u(x, 0) = g(x) −∞ < x < ∞ M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 21 / 41
  • 22. Por el camino estocástico M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 22 / 41
  • 23. Por el camino estocástico El núcleo de la ec. del calor Para el caso g(x) = δ(x), la solución esta dada por ρ(x, y, t) = 1 √ 2πt exp − (x − y)2 t 2 . Se puede obtener una solución general, para la condición inicial g(x), de la siguiente forma u(x, t) = R ρ(x, y, t)g(y)dy ≡ (Kg)(x, t). Por esta razón se conoce a Φ como solución fundamental o núcleo de la ecuación del calor. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 23 / 41
  • 24. Por el camino estocástico M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 24 / 41
  • 25. Por el camino estocástico Observación Por teoría espectral, la solución u(x, t) de la ec. del calor se puede escribir en sus partes temporal y espacial como u(x, t) = (Kg)(x, t) = e−tH0 g(x), donde H0 = 1 2 ∆. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 25 / 41
  • 26. Por el camino estocástico Movimiento Browniano El movimiento Browniano (llamado así por el botánico Robert Brown) es un movimiento aleatorio de particulas suspendidas en un fluido (sea gas o líquido) o el modelo matemático usado para describir tal clase de movimientos aleatorios. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 26 / 41
  • 27. Por el camino estocástico Un recordatorio de probabilidad Una variable aleatoria X se llama normal (o Gaussiana) con media µ y varianza σ2 , N(µ, σ2 ),si para todas −∞ ≤ a < b ≤ ∞ P(a ≤ X ≤ b) = 1 √ 2πσ2 b a exp − (x − µ)2 2σ2 dx. Dos variables aleatorias X y Y son llamadas independientes si P(X ≤ T, Y ≤ s) = P(X ≤ t)P(Y ≤ s) para toda t, s ∈ R. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 27 / 41
  • 28. Por el camino estocástico M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 28 / 41
  • 29. Por el camino estocástico Interpretación probabilista de la ec. del calor 1. Discretizamos el espacio del movimiento Browniano con un salto de longitud ∆x en un tiempo discreto ∆τ 2. La probabilidad de la partícula se mueva hacía adelante es p = 1 2 y hacía atrás q = 1 − p = 1 2 3. Para un tiempo fijo τ, tenemos que ∆τ = τ/n y cuando n → ∞, D(n), el desplazamiento en el tiempo n∆τ, converje (débilmente) a ρ(x, 0, t)dx = 1 √ 2πt exp − x2 t 2 dx. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 29 / 41
  • 30. Por el camino estocástico El proceso de Wiener Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias {X(t)|0 ≤ t < ∞} . la aplicación t → X(t, ω) es la ω-esíma trayectoria de muestreo del proceso. Definición 4.1 Un proceso estocástico (real-valuado) W (t) se llama proceso de Wiener o movimiento Browniano si 1. W (0) = 0 2. Cada trayectoria de muestreo es continua 3. W (t) es Gaussiano con µ = 0 y σ2 = t 4. Para cualquier elección 0 < t1 < t2 < . . . < tn, las variables aleatorias W (t1), W (t2 − t1), . . . , W (tn − tn−1) son independientes. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 30 / 41
  • 31. Por el camino estocástico M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 31 / 41
  • 32. Todos los caminos llevan a Feynman El propagador cuántico El núcleo del operador integral en L2 (R), e−H0t es el propagador cuántico G0(x, x0, t) = 1√ 2πit e− (x−x0)2 2it t > 0 δ(x) t = 0 Observación El núcleo del calor es ρ(x, x0, τ) = 1√ 2πτ e− (x−x0)2 2τ τ > 0 δ(x) τ = 0 El propagador cuántico se transforma en el núcleo de la ecuación del calor si t = −iτ, τ ∈ R+ . Esta tranformación se conoce como la rotación de Wick. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 32 / 41
  • 33. Todos los caminos llevan a Feynman Relación entre mecánica cuántica y mecánica lagrangiana Paul Dirac propuso la siguiente relación entre el propagador cuántico y la acción mecánica G(x, x0, t) ≈ NeiSt (x,x0)/ , → 0, donde N es una constante de normalización y St(x, x0) es la acción clásica para trayectorias que inician en x0 y terminan en x, en un intervalo de tiempo [0, t]. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 33 / 41
  • 34. Todos los caminos llevan a Feynman Ejemplo para particula libre Una trayectoria clásica esta dada por x(s) = x0 + vs, s ∈ [0, t], de manera que St(x, x0) = 1 2 t 0 (˙x(s)) 2 ds = v2 t 2 = (x − x0)2 2t , por lo que en este caso G0(x, x0, t) = 1 √ 2πit e iSt (x,x0) M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 34 / 41
  • 35. Todos los caminos llevan a Feynman Nota histórica La extensión (no trivial) al caso de un potencial no cero fue desarrollada por Richard Feynman y le condujo al descubrimiento de la representación por integral de caminos de e−iHt . M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 35 / 41
  • 36. Todos los caminos llevan a Feynman Fórmula de caminos de Feynman Para un potencial V continuo y acotado inferiormente, H = H0 + V , e−iHt/ ψ(x) = l«ım n→∞ Nn n ∞ −∞ . . . ∞ −∞ eiSt,n(x,xn−1,...,x0)/ ψ(x0)dx0 . . . dxn−1, donde Nn = n 2πi t , St,n(x, xn−1, ..., x0) = (5.1) n−1 k=0 t n 1 2 xk+1 − xk t/n 2 − V (xi ) , xn = x. (5.2) M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 36 / 41
  • 37. Todos los caminos llevan a Feynman Interpretación de la integral St,n puede verse como una aproximación a St(γ), donde γ es una curva que pasa por x0, x1, ..., xn = x La integral sobre los puntos intermedios x0, ..., xn = x puede interpretarse como la integración sobre todas las posibles trayectorias tales que pasen por x0 en el tiempo 0 y por x en el tiempo t. Esto nos conduce a la integral de caminos de Feynman G0(x, x0, t) = γ(0)=x0,γt =x eiSt (γ) Dγ, donde Dγ tiene el significado “heurístico” de integración sobre todos los caminos que cumplen las condiciones de frontera. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 37 / 41
  • 38. Todos los caminos llevan a Feynman Dificultades técnicas El símbolo Dγ, el cuál debería ser el límite de Nn n n−1 j=1 dxj diveregen cuando n → ∞. La contribución principal de procesos estocásticos es que este problema no se tiene para tiempos imaginarios, es decir, para el núcleo de e−τH , τ ∈ R+ . M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 38 / 41
  • 39. Todos los caminos llevan a Feynman Fórmula de Feynman-Kac Para ψ ∈ L2 (Rn ), e−τH ψ (x) = E e− τ 0 V (Ws )ds ψ(Wτ )|W0 = x . es una solución de ∂u ∂t + Hu = 0, con condición inicial u(0, x) = ψ(x), donde H = −1 2 ∆ + V (·), V : Rn → R es una función acotada inferiormente y Wt es un movimiento browniano (unidimensional). M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 39 / 41
  • 40. Todos los caminos llevan a Feynman Otra versión de la misma fórmula Consideremos la ecuación − 1 2 ∆u + cu = f en U u = 0 en ∂U donde U es un abierto acotado, con frontera ∂U y f , c son funciones suaves con c ≥ 0, en U. Para cada x ∈ U, u(x) = E τx 0 f (Wt)e(− t 0 c(Ws )ds)dt , donde W0 = x y τx es el primer tiempo de contacto con ∂U. M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 40 / 41
  • 41. Todos los caminos llevan a Feynman Conclusiones La resolución de problemas en física involucra el desarrollo de nuevas técnica matemáticas Los principios físicos nos dan posibles alternativas para resolver problemas matemáticos Al intentar resolver nuevos problemas en física, necesitamos diferentes herramientas matemáticas y esto ayuda a elaborar nuevas teorías para atacar estos problemas, donde se requieren como bases, dos o más campos de las matemáticas M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 41 / 41

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