CEDART Centro deEducación Artística NOMBRE DE ALUMNA: Mahatma Natalie Bencomo Sanchez
INDICE~ Introducción……………………………………………………………..2~ Operaciones algebraicas*Suma…………………………………………………………..3*Resta………………………………………...
INTRODUCCIONALGEBRA.- Es la parte o rama de las matemáticas que se encarga del estudiode las relaciones entre los números ...
OPERACIONES ALGEBRAICASSUMAEn la suma los coeficientes de los términos semejantes se suman: signos iguales sesuman y signo...
RESTASe restan los coeficientes de los términos semejantes, es algo demasiado parecidoen el caso de la suma, pues no en sí...
MULTIPLICACION A) Ley de los signos: Cuando se multiplican signos iguales el resultado va ser signo positivo. Cuando se mu...
(2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 4x + 2x + 42x * x = 2x^23x * 2 = 6x2*2=44.- Simplificar términos semejantes.(2x + 2) ( x + 2) =...
2x – 4 m A =10x^2 – 14x – 12 (2x – 4) (5x + 3) = ...
DIVISIÓN1.- La división algebraica. Es la operación que tiene por objeto, repartir un número, en tantas partesiguale...
2x^2y + 6xy^2 – 8xy + 10x^2y^2 ----------------------------------------- = 5xy + 3y + x - 4 2xy 3x^...
PRODUCTOS NOTABLES1.- Los productos notables. Son multiplicaciones de expresiones algebraicas que se realizan utilizando r...
(5m + 4) ^3 = 125m^3 + 300m^2 + 240m + 64(3x + 2) ^4 = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 93x + 16(2x^2 – 4) ^5 = 32x^10 +320x^8 + ...
FACTORIZACIÓN1.- Define qué es factorización.Es el proceso que se usa para expresar un polinomio como un producto de facto...
g) n² - 14n + 49 = (n – 7)²h) x² - 20x – 300 = (x – 30) (x + 30)i) 9x6 – 1 = (3x³ - 1)(3x³ + 1)j) 64x³ + 125 = (4x + 5) (1...
FRACCIONES ALGEBRAICAS1.- Realiza las operaciones con fracciones algebraicas. x² - 16 x-4a) x² +...
x 2 3x + 4 ñ) + x² - 5x - 14 x-7 = (x - 7) (x...
ECUACIONES LINEALES1.- Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen ycuáles son los principales métodos de re...
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y= 4 - 2x / 3 y2= 7 - x / 4 y ...
n= 3-m n2= 9-3m/-4 n(y) 7 ...
y= 8 - x/ -2 y2= 12- 3x / -5 y ...
i= -5-2h i2= -2-3h / 4 i (y) 4 ...
utilizan otras técnicas. A base de sus soluciones llamadas raíces,pueden salir resultados reales, imaginarios y complejos....
x y-3 8-2 3-1 0 0 -1 1 0 2 3 3 8y= x² + 5x + 6 x y-7 20-6 12-5 6-...
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Natalie todo

Published on: Mar 3, 2016
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Transcripts - Natalie todo

  • 1. CEDART Centro deEducación Artística NOMBRE DE ALUMNA: Mahatma Natalie Bencomo Sanchez
  • 2. INDICE~ Introducción……………………………………………………………..2~ Operaciones algebraicas*Suma…………………………………………………………..3*Resta…………………………………………………………..4*Multiplicación………………………………………………..5*División……………………………………………………….8~ Productos notables…………………………………………………….10~ Factorización ……………………………………………………………12~ Fracciones algebraicas…………………………………………………14~ Ecuaciones lineales……………………………………………………..16~ Ecuaciones cuadráticas……………………………………………......23 2
  • 3. INTRODUCCIONALGEBRA.- Es la parte o rama de las matemáticas que se encarga del estudiode las relaciones entre los números y las variables para establecer modelosmatemáticos.APLICACIONES DEL ALGEBRA.- El algebra se puede utilizar para todo.Por ejemplo en un viaje. Tienes un origen y un destino, conoces la distancia, conesto puedes sacar Tiempo en que tomara llegar al destino. Puedes sacar a quevelocidad debes de viajar para llegar en un tiempo fijo.Así como este ejemplo puedes utilizarlo para la vida diaria. Jugar Billar (conociendoel ángulo apropiado), mover un objeto (conocer la fuerza y punto de equilibrio),eventos (conocer costos de operación y precio), etc.TERMINOS ALGEBRAICOS.-Un término algebraico consta de las siguientespartes: • Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-). • Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores • Variable (o parte literal). Cantidad generalizada.EXPONENTES.- Es el número de veces que se multiplicará la cantidadgeneralizada o variable, por sí misma. Pueden ser negativos o positivos, inclusopueden ser fraccionarios.GRADO.- Este se mide dependiendo del número del exponente: • 1er Grado también llamada lineal. Su exponente es 1. • 2do Grado llamada también cuadrática. Su exponente es 2. • 3er Grado también llamada cúbica. Su exponente es 3. • 4to, 5to, 6to Grado... Sus exponentes son mayores del 3. 3
  • 4. OPERACIONES ALGEBRAICASSUMAEn la suma los coeficientes de los términos semejantes se suman: signos iguales sesuman y signos diferentes se restan. (Se queda el signo de mayor).APLICACIÓN.Para saber el perímetro de una figura con forma de triangulo escaleno. a= (3x^2y^2 – 4xy – 5) b b= (4x^2y^2 + 6xy + 6) a c= (6x^2y^2 – xy + 7) c (3x^2y^2 – 4xy – 5) + (4x^2y^2 + 6xy + 6) + (6x^2y^2 – xy + 7) 13x^2y^2 + xy + 8EJERCICIOS:1~ (5a^2 – 2a^3 + a) + (4a +3a^2) + (5a^3 – 2a + 7)3a^3 + 8a^2 + 3a +72~ (3/4x^2 – 4/3x + 2) + (1/6x – 5/2x^2 + 7/8)3/10x^2 – 7/6x + 23/83~ (4y – 5z + 3) + (4z –y +2) + (3y – 2z – 1)6y - 3z + 44~ (1/2m^2 + 3/5m – 4/7) + (3/8m – 5/4) + (5/3m – 3/10m^2)1/5x^2 + 317/120m – 51/285~ (2pq – 3p^2q + 4pq^2) + (pq – 5pq^2 – 7p^2q) + (-4pq^2 + 3pq – p^2q)-11p^2q – 5pq^2 + 6pq 4
  • 5. RESTASe restan los coeficientes de los términos semejantes, es algo demasiado parecidoen el caso de la suma, pues no en sí es una resta pues todo depende del signo.APLICACIÓN.Para saber la cantidad de agua que se tenia inicialmente (a) menos la ocupada parallenar una alberca (b), restándole también el agua ocupada en un chapoteadero (c). a c a= (50x^2y^2 + 12xy + 15) b b= (15x^2y^2 + 6xy + 7) c= (16x^2y^2 + xy + 3) (50x^2y^2 + 12xy + 15) - (15x^2y^2 + 6xy + 7) - (16x^2y^2 + xy + 3) 19x^2y^2 + 5xy + 5EJERCICIOS.1~ (5m + 4n – 7) – (8n – 7) + (4m – 3n + 5) – (-6m + 4n – 3)15m – 11n + 82~ (4m^4 – 3m^3 + 6m^2 + 5m – 4) – (6m^3 – 8m^2 – 2x + 4)4m^4 – 9m^3 + 14 m^2 + 8m - 53~ (6x^5 + 3x^2 – 7x + 2) – (10x^5 + 6x^3 – 5x^2 – 2x + 4)-4x^5 – 6x^3 + 8x^2 – 5x - 24~ (-xy^4 – 7y^3 +xy^2) + (-2xy^4 + 5y – 2) – (-6y^3 + xy^2 + 5)-3xy^4 – y^3 + 5y + 35~ (1/6x + 3/8y – 5) – (8/3y – 5/4) + (3/2x + 2/3)5/3x – 55/24y -127/36 5
  • 6. MULTIPLICACION A) Ley de los signos: Cuando se multiplican signos iguales el resultado va ser signo positivo. Cuando se multiplican signos diferentes el resultado va ser signo negativo. (-) (-) = (+) (-) (+) = (-) (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) B) Ley Distributiva Esta Ley expresa que no importa si al multiplicar sumas varios numeros y el resultado lo multiplicas por x número ó si se hace cada multiplicación por separado y luego suman los resultados. Ejemplo: 5 * 7x + 6 * 7x = 11 * 7x = 77x 5 * 7x + 6 * 7x = 35x + 42 x = 77x C) Ley de los exponentes en la multiplicación, división, radical, potencia. Multiplicación de exponentes de igual base, se suman los exponentes División de exponentes de igual base, se restan los exponentes. Potencia de una potencia se multiplican los exponentes Potencia de una raíz se restan los exponentes Multiplicación de raíces de igual índice, se junta todo bajo la misma raíz División de raíces de igual índice, se junta todo bajo la misma raíz Multiplicación de raíces se une todo y se suman los índices. División de raíces, se une todo y se restan los índices. Raíz de una potencia se dividen los exponentes Raíz de una raíz se multiplican los exponentes D) Pasos de la multiplicación algebraica. Los a seguir de la multiplicación algebraica son: 1.- Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de los signos. (2x + 2) ( x + 2) = 2x + 4x + 2x + 4 2.- Los exponentes de las misma literales se suman. (2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 4x + 2x + 4 3.- Se aplica la Ley Distributiva. 6
  • 7. (2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 4x + 2x + 42x * x = 2x^23x * 2 = 6x2*2=44.- Simplificar términos semejantes.(2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 6x + 45.- Ordenar y nombrar.(2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 6x + 4 Trinomio cuadráticoE) Ejercicios:* (2x^2 – x – 3) (2x^2 – 5x – 2) = 4x^4 – 12x^3 – 5x^2 + 17x + 6 POLINOMIO DE CUARTO GRADO*(3x – 1) (4x^2 – 2x – 1) = 12x^3 – 10x^2 – x + 1 POLINOMIO CUBICO*(4/3a^2 – 5/4a – 1/2) (2/5a + 3/2) = 8/15a^3 – 3/2a^2 – 83/40a – 3/4 POLINOMIO CUBICO*(9xy – 4x^2y) (2xy^2 + 6x^2y^2) = - 24x^4y^3 + 46x^3y^3 + 18 x^2y^3 TRINOMIO DE SEPTIMO GRADO*(5m^1/2 – 3m^2/3) (4m^-3/4 – 2m^5) = 6m^17/3 – 10m^11/2 + 20m^-1/4 –12m^1/12 POLINOMIO*(3y – 5) ( 2y + 4) = 6y^2 + 2y – 20 TRINOMIO CUADRATICO*(3x^2 – x + 7) ( 5x + 2) = 15x^3 + x^2 + 33x + 14 POLINOMIO CUBICO*(4ab + 3b) (6a^2b – 2ab^2) = 24a^3b^2 – 8a^2b^3 +18a^2b^2 – 6ab^3 POLINOMIO DE QUINTO GRADOF) Un terreno rectangular mide 2x – 4 metros de largo y 5x + 3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área? (Agrega la figura) 7
  • 8. 2x – 4 m A =10x^2 – 14x – 12 (2x – 4) (5x + 3) = 10x^2 – 14x – 12 5x + 3 mG) En una tienda se compran tres diferentes artículos A, B y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta 3/4 x por unidad y se compraron 7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra? A = (3x) (5) = 15x B = (4x + 2) (3) = 12x + 6 C = (3/4x) (7) = 21/28 x COSTO TOTAL DE LA COMPRA = A + B + C (15x) + (12x + 6) + (21/28x) 8
  • 9. DIVISIÓN1.- La división algebraica. Es la operación que tiene por objeto, repartir un número, en tantas partesiguales, como unidades tiene el otro o hallar las veces que un número contiene otro.2.- Propiedades de la división1. División exacta2. División entera3. No es una operación interna en los números naturales y enteros: El resultado dedividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero.4. No es Conmutativa5. Cero dividido entre cualquier número da cero6. No se puede dividir por 0. Porque no existe ningún cociente que multiplicado por0 sea igual al dividendo.3.- Elementos (partes) de la división.División: Dividendo, divisor, cociente y resto.4.- Resolver: 8m^9n^2 – 10m^7n^4 – 20m^5n^6 + 12m^3n^8 4m^7 ----------------------------------------------------------- = ------- - 10m^3n^3 + 6mn^5 2m^2n^3 n 20x^4 – 5x^3 – 10x^2 + 15x ------------------------------------ = -4x^3 + x^2 + 2x - 3 5x 4a^8 – 10a^6 – 5a^4 -------------------------- = 2a^5 – 5a^3 – 5/2a 2a^3 9
  • 10. 2x^2y + 6xy^2 – 8xy + 10x^2y^2 ----------------------------------------- = 5xy + 3y + x - 4 2xy 3x^2 + 2x – 8 ----------------- = 3x - 4 x+2 2x^3 – 4x – 2 ----------------- = x^2 – x - 1 2x + 2 2a^4 – a^3 + 7a – 3 ------------------------ = a^3 – 2a^2 + 6 2a + 3 14y^2 – 71y – 33 ---------------------- = 2y - 11 7y +35.- Si un espacio rectangular tiene un área de 6x^2 – 19x + 15 y laanchura es 3x – 5 ¿Cuánto mide la base? 6x^2 – 19x +15 3x – 5 A =6x^2 – 19x + 15 --------------------- = 2x – 3 3x - 5 ?6.- Expresar conclusiones personales sobre la 1era unidad“operaciones algebraicas” Es importante saber sobre este tipo de operaciones, como para sacar datossobre cosas que no se saben, representándolas en expresiones algebraicas, conlas cuales se hacen este tipo de operaciones. Pero también puede haber para muchos que les sea inservible y quizá si losea para ellos, pero para muchos otros que están en el ámbito científico les sirvedemasiado. Esta es mi conclusión sobre las operaciones algebraicas. 10
  • 11. PRODUCTOS NOTABLES1.- Los productos notables. Son multiplicaciones de expresiones algebraicas que se realizan utilizando reglas,para poder obtener2.- Las reglas para la resolución de cada uno de los productosnotables - BINOMIOS AL CUADRADO * Cuadrado del primer término. * Doble producto del primer término por el segundo. * Cuadrado del segundo término. - BINOMIOS AL CUBO * Cubo del primer término. * Triple producto del cuadrado del primer término por el segundo. * Triple producto del cuadrado del segundo término por el primero. * Cubo del segundo término. - BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR A base de un esquema llamado triángulo de Pascal. Se realizan los productos. Multiplicando los números correspondientes del triángulo con los del término, alternando también con los exponentes que en el primer término, se inicia con el número del exponente y se va disminuyendo hasta llegar a cero, y en el segundo término este exponente empieza de cero hasta llegar al número del exponente indicado (de menor a mayor). - BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN * Cuadrado del común. * Suma o resta de los no comunes por el común. * Producto de los no comunes. - BINOMIOS CONJUGADOS * Cuadrado del primer término * Menos cuadrado del segundo término.3.- Desarrollar los siguientes productos notables:( 3a + 4)^2 = 9a^2 + 24a + 16(2x^2 - 5) ^2 = 4x^4 – 20x^2 + 25(4a + 5) ^3 = 27a^3 + 240a^2 + 300a +125(2a^3 - 7) ^3 = 8a^9 – 84a^6 + 294a^3 - 343 11
  • 12. (5m + 4) ^3 = 125m^3 + 300m^2 + 240m + 64(3x + 2) ^4 = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 93x + 16(2x^2 – 4) ^5 = 32x^10 +320x^8 + 1280x^6 – 2560x^4 + 2560x^2 - 1024(4y^3 + 3) ^6 = 4096y^18 + 18432y^15 + 34560y^12 + 34560y^9 + 19440y^6 +5832y^3 + 729(2x + 3) (2x + 5) = 4x^2 + 16x + 15(x^2 – 1) (x^2 + 1) = x^4 – 1(m + 4) (m – 2) = m^2 + 2m - 8(3a – 7) (3a + 7) = 9a^2 – 49(5a +3b) (5a – 2b) = 25a^2 + 5ab – 6b^2(4x^3 + 3) (4x^3 – 3) = 16x^6 - 9(a^2 – 1) (a^2 – 4) = a^4 – 5a^2 +44.- Aplicación de los binomios conjugados en otras áreas. Los binomios conjugados se pueden aplicar también en ramas como lainformática, pero son muy utilizados en la ingeniera, en la física, en biología. Así como una aplicación práctica, no los son, sin embargo son la base paraestudios superiores de matemáticas, esto es para aplicaciones desde el punto devista de Ingeniería.5.- Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad“Productos Notables” Los productos notables la verdad no les encuentro ningún uso o aplicaciónverdadera, pero sé que es importante aprenderlos a hacer. 12
  • 13. FACTORIZACIÓN1.- Define qué es factorización.Es el proceso que se usa para expresar un polinomio como un producto de factores.Para distintos usos.2.- Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos defactorización. Métodos Factor Agrupación Diferencia Diferencia Común de o suma de cuadrados cubos Se agrupan Se factoriza Se buscan Se factoriza en pareja en binomios los en binomios y se aplica conjugados términos conjugados el método con expresión comunes Trinomios pero con a de factor igual, pero cuadráticos base de tipo común. signos cubo. contrario T.C.P. (trinomio ax² + bx +c cuadrado perfecto) x² + mx + n3.- Factoriza las siguientes expresiones:a) 25a² - 64b² = (5a – 8b) (5a + 8b)b) 8m² - 14m – 15 = (4m – 3) (2m + 5)c) x² - 15x + 54 = (x – 6) (x – 9)d) 5x² - 13x + 6 = (5x -3) (x – 2)e) 27a9 - b³ = (3a³ - b) (9a6 + 3a³b + b²)f) 5a² + 10a = 5a (a + 2) 13
  • 14. g) n² - 14n + 49 = (n – 7)²h) x² - 20x – 300 = (x – 30) (x + 30)i) 9x6 – 1 = (3x³ - 1)(3x³ + 1)j) 64x³ + 125 = (4x + 5) (16x² - 20x + 25)k) x² - 144 = (x - 12) (x + 12)l) 2x² + 11x + 12 = (2x + 3) (x + 4)m) 4x²y -12xy² = 4xy (x – 3y)n) xw – yw + xz – yz = (w + z) (x - y)o) x² + 14x + 45 = (x + 9) (x +5)p) 6y² - y – 2 = (2y + 1) (3y -2)q) 4m² - 49 = (2m - 7) (2m +7)r) x² - x – 42 = (x - 7) (x + 6)s) 2m² + 3m – 35 = (2m - 7) (m + 5)t) a² - 24a + 119 = (a - 7) (a -17)4.- Investiga la aplicación de la factorización en la solución deecuaciones cuadráticas.Se utiliza para resolver las ecuaciones. Así como para simplicarlas. Dependiendo dela ecuación cuadrática.5.- Conclusiones personales sobre la unidad de factorización.La factorización es muy útil para diversos tipos de problemas, especialmente parasacar el valor de una o más incógnitas, para hacer operaciones con fraccionesalgebraicas. En fin la factorización además de ser no tan difícil ayuda para múltiplesproblemas. 14
  • 15. FRACCIONES ALGEBRAICAS1.- Realiza las operaciones con fracciones algebraicas. x² - 16 x-4a) x² + 8x + 16 = x+4 4x² - 20x 4xb) = x² - 4x - 5 x +1 3a - 9b 3 c) 6a - 18b = 6 x² - 6x + 9 x² + 6x + 5 (x - 3) (x + 5)d) * = x² - 7x +12 3x² + 2x - 1 (x - 4) (3x - 1) 7x + 21 x² - 5xy + 4y² 7(x -y)e) x² - 16y² * 4x² + 11x - 3 = (x + 4y) (4x - 1) x² - 3x - 10 2x + 10 2 (x + 2) f) * = x² - 25 6x + 12 6 (x - 2) x-4 4x + 8 4(x + 2)g) = 2x + 8 * x² - 16 2(x + 4)² 3x - 15 12x + 18 12(x - 5)h) / = x+3 4x + 12 6(2x + 3) 4x² - 9 2x - 3 2(2x + 3) i) / = x + 3y 2x + 6y 1 x² - 14x -15 x² - 12x - 45 x +1 j) / = x² - 4x - 45 x² - 6x - 27 x+5 a-3 9 2a + 9 k) / = a² - 3a + 2 a² - 4a + 3 (a - 2) (a - 3) m 3m 3m² - 2m l) m² - 1 + 3m + 1 = (m - 1) (m + 2) 2a 4 2a² - 4a - 16m) - a² - a - 6 a² - 7a + 12 = (a + 2) (a - 4) 2 1 1 2m + 12n) + = m² - 11m +30 - m² - 36 m² - 25 (m + 6) (m + 5) 15
  • 16. x 2 3x + 4 ñ) + x² - 5x - 14 x-7 = (x - 7) (x + 2)2.- Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo.Una fracción compleja es aquella que en su denominador o numerador tiene unafracción. Ejemplo: x + 1/2x 6 2 y + 1/4y3.- Conclusiones personales sobre la unidad de fraccionesalgebraicas.Este tipo de operaciones casi no se ven, o yo no sé de algún tipo de problemas enlas cuales se utilicen, pero para un ingeniero deben ser muy útiles. En fin no se mehizo un tema muy útil, incluso se me hizo un poco difícil. 16
  • 17. ECUACIONES LINEALES1.- Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen ycuáles son los principales métodos de resolución.Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primerapotencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es unaecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primerapotencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común deecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de cdetermina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Lasecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no sonconsideradas lineales.Al conjunto de este tipo de ecuaciones se le llaman sistemas.Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus solución es:1. Incompatible. No tiene solución.2. Compatible. Tiene solución.a. Compatible determinado. Única solución.b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones. -compatible determinado. Única solución. -compatible indeterminado. Infinitas soluciones.Tienen diferentes metódos de resolución:*Igualación.*Suma- resta.*Determinantes.*Gráficamente, por función.2.- Resolver las siguientes ecuaciones:a) 4(2x – 3) + 5 (x – 1) = 7(x + 2) – (3x + 4) x= 3 5x - 3 2x x+1b) + = 4 3 2 x= 11 21 c) 3(4x + 3) + 2x – 3(2 – x) = 2 + 3(x – 4) + 5x – 2 -15 x= 24 2x + 5 3x x+2 d) - = + 3x 7 5 2 x= 23 18 2x - 3 x e) 5 (2x – 3) + 4(x + 1) – 5 = + 2 3 17
  • 18. 7 x= 63.- Graficar.a) y = 5x - 1 x y -3 -16 -2 -11 -1 -6 0 -1 1 4 2 9 3 14 y = 5x - 1 y 20 15 3, 14 10 2, 9 5 1, 4 0 x 0, -1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1, -5 -6 -10 -2, -11 -15 -3, -16 -20b) y = 2x + 3 x y -3 -3 -2 -1 -1 1 0 3 1 5 2 7 3 9 18
  • 19. y = 2x + 3 y 10 3, 9 8 2, 7 6 1, 5 4 0, 3 2 -1, 1 0 x -4 -3 -2 -2, -1 -1 0 1 2 3 4 -2 -3, -3 -4c) y = -1/2x + 2 x y -3 3.5 -2 3 -1 2.5 0 2 1.5 2 1 3 0.5 19
  • 20. y = -1/2x + 2 y 4 -3, 3.5 3.5 -2, 3 3 -1, 2.5 2.5 2 0, 2 1.5 1, 1.5 1 2, 1 0.5 3, 0.5 0 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 44.- Dos automóviles viajan por la misma carretera, uno seencuentra delante del otro. El que va adelante viaja a 60 km/h,mientras que el otro lo hace a 70 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará elsegundo automóvil en rebasar al primero? c d2 d1d2= carrito a 70 km/hd1= carrito de 60 km/hc= diferencia de distancia entre el carrito y el otro carritoSi d2 = d1 + cv2t = v1 + c v2t – v1t = ct= c/ v2 – v1 = 1/10 c (km/h)Resultado: El tiempo es 1/10 de la distancia diferencial entre los dos carritos.5.- Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Sivende un anillo de diamantes en $1500, ¿Qué precio pagó elproveedor?Si x + 50%x1500 + 1500(0.50) = 1500 + 750 = 2250Resultado: El proveedor pagó 2250 pesos por el anillo.6.- Resolver los sistemas de ecuaciones: 2x - 3y = 4 x=5 a) x - 4y = 7 y=2 20
  • 21. 4a + b = 6 a = 20/17b) 3a + 5b = 10 b = 22/17 m-n=3 m=3c) 3m + 4n = 9 n=0 5p + 2q = - 3 p = 1/3d) 2p - q = 3 q = -21/9 x + 2y = 8 x = -16e) 3x + 5y = 12 y = 12 m= f) 3m + 2n = 7 31/17 m - 5n = - 2 n = 13/17 2h - i = - 5 h = -18/5g) 3h - 4i = - 2 i= -11/57.- Graficar los incisos a,c,e y g de los sistemas anteriores. 4 - 2x 7 -x a) y= y2 = 3 4 x y y2 -3 3.33 2.5 -2 2.67 2.25 -1 2 2 0 1.33 1.75 1 0.67 1.5 2 0 1.25 3 -0.67 1 21
  • 22. y= 4 - 2x / 3 y2= 7 - x / 4 y 4.00 3.50 -3, 3.33 3.00 -2, 2.67 -3, 2.5 2.50 -2, 2.25 -1, 2 2.00 0, 1.75 1.50 1, 1.5 0, 1.33 2, 1.25 1.00 3, 1 1, 0.67 0.50 0.00 2, 0 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.50 3, -0.67 -1.00 y y2 3-m 9 - 3mc) n= n2= 1 -4 m n n2 -3 6 4.5 -2 5 3.75 -1 4 3 0 3 2.25 1 2 1.5 2 1 0.75 3 0 0 22
  • 23. n= 3-m n2= 9-3m/-4 n(y) 7 -3, 6 6 -2, 5 5 -3, 4.5 -2, 3.75 -1, 4 4 -1, 3 3 0, 3 2 0, 2.25 1, 2 1, 1.5 1 2, 1 2, 0.75 0 3, 0 m(x)-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n n2 8-x 12 - 3x e) y= y2= -2 -5 x y y2 -3 -6 10.2 -2 -5 10.8 -1 -5 11.4 0 -4 12 1 -4 12.6 2 -3 13.2 3 -3 13.8 23
  • 24. y= 8 - x/ -2 y2= 12- 3x / -5 y 15 2, 13.2 3, 13.8 0, 12 1, 12.6 -1, 11.4 -3, 10.2 -2, 10.8 10 5 x 0 -4 -2 0 2 3, -3 4 1, -4 2, -3 -1,-5 -5 0, -4 -3, -6 -2, -5 -10 y y2 ,- 5 - 2h ,- 2 - 3hg) i= i2= 1 4 h i i2 -3 1 1.75 -2 -1 1 -1 -3 0.25 0 -5 -0.5 1 -7 -1.25 2 -9 -2 3 -11 -2.75 24
  • 25. i= -5-2h i2= -2-3h / 4 i (y) 4 -3, 1.75 2 -3, 1 -2, 1 -1, 0 0.25 0, -0.5 h (x) -4 -3 -2 -2, -1-1 0 1 1, -1.25 2 3 4 -2 2, -2 -1, -3 3, -2.75 i -4 0, -5 i2 -6 1, -7 -8 2, -9 -10 3, -11 -128.- Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 paraadultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando$3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? x = boleto de adulto 4x + 1.5y = 3500 x = 800 y = boleto de niño x + y = 1000 y = 200 Resultado: Se vendieron 200 boletos de niño y 800 boletos de adulto.9.- Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra quecontiene 55% del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al40% ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse? x = la solución del 30% con Ag 0.3x + 0.55y = 0.4 (800) x = 480 y= la solución del 55% con Ag x + y = 800 y = 320Resultado: 480 kg de la solución con 30% de Ag y 320 kg de la solución con el 55% de Ag ECUACIONES DE 2DO GRADO O CUADRATICAS.1.- Definición de ecuación cuadrática.Es un tipo de ecuación que a diferencia de la ecuación de primer gradotiene una de sus incógnitas elevadas al cuadrado por lo que no sepuede usar un método común para las ecuaciones de primer grado y se 25
  • 26. utilizan otras técnicas. A base de sus soluciones llamadas raíces,pueden salir resultados reales, imaginarios y complejos.2.- Definición de un número real y un número imaginario.Un número real es aquel resultado de la raíz cuadrada de algún númerocon un signo positivo. Mientras que un número imaginario es aquelresultado de la raíz cuadrada de cualquier número que desde el iniciodel proceso de la raíz y en el resultado tiene signo negativo, el cual serepresenta con una “i” minúscula. Ejemplo: Número real = √25 = 5 i Número imaginario = √-25 = - 53.- Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1) 7x² + 21x = 0 x=-3 2) 4x² - 16 = 0 x=2 3) a² - 3a + 2 = 0 x1 = 2 x2 = 1 9m² + 2m - 5 = 4) 0 x1 = 0.642 x2 = 0.864 5) x² - 3x = 0 x=3 6) 5x² + 10 = 0 x = √-2 = - 1.41i 7y² - 3y + 10 = 7) 0 x1 = 1.39i x2 = -0.96i 8) 2t² + t + 1 = 0 x1 = 0.41i x2 = - 0.91i 9) 8x² - 7x = 0 x = 0.87510 ) a² - 25 = 0 x = 254.-Graficar las siguientes funciones cuadráticas: y= x² - 1 26
  • 27. x y-3 8-2 3-1 0 0 -1 1 0 2 3 3 8y= x² + 5x + 6 x y-7 20-6 12-5 6-4 2-3 0-2 0-1 2 0 6 1 12 2 20y= -x² - 4 x y-3 -13-2 -8-1 -5 0 -4 1 -5 2 -8 3 -13 27