MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI
FACULTATEA DE UTILAJ TEHNOLOGIC
DINAMICA STR...
SUBIECTE
Subiectul 1
 METODE NUMERICE ȘI APROXIMATIVE ÎN STUDIUL
VIBRAȚIILOR SISTEMELOR DISCRETE
 Metoda iterației matri...
- Subiectul 1-
METODA ITERAȚIEI MATRICEALE (METODA STODOLA)
Din dezvoltarea determinantului pulsațiilor proprii se obțin,
...
a) Pulsația proprie minimă
Ecuațiile diferențiale ale mișcării unui sistem discret cu n grade
de libertate se pot scrie su...
sau va avea una dintre cele două forme:
(4 a)
(4 b)
Matricea coloană {C} = [C1, C2, ..., Cn]T definește forma
proprie core...
Introducerea acestei prime aproximări în membrul
drept al ecuației (4a) reprezintă prima operație de iterație
matriceală ș...
din relația (8) se obține, prin identificare, valoarea pulsației
proprii minime:
(9)
Vectorul coloană {𝐶 𝑛} reprezintă for...
Din relația (11) se obține pulsația proprie maximă:
(12)
Având forma proprie {𝐶 𝑛} corespunzătoare ultimului mod de
vibraț...
- Subiectul 2 -
Transformata Fourier Discretă (DFT)
Transformata Fourier Rapidă (FFT)
Analiza numerică se bazează pe schem...
DFT se obține din exprimarea complexă a unui semnal:
(1)
În care coeficienții complecși 𝑋 𝑛 se determină cu relațiile:
(2)...
După simplificarea relației (4), se obține expresia formală a
transformatei Fourier directă a seriei {𝑥 𝑘}:
(5)
și a trans...
Distanța între componentele transformatei Fourier 𝑋 𝑛 este:
(7)
În care 𝑓𝑆 = 1/∆𝑡este frecvența de eșantionare. Intervalul...
(8)
Notând cu 𝑌𝑛 și 𝑍 𝑛 transformatele Fourier discrete (DFT)
pentru cele două subșiruri, potrivit definiției se scrie:
(9...
Ecuația (13) se aplică doar pentru valori ale lui 𝑛
cuprinse între 0 și N/2-1, doar pentru jumătate din
coeficienții 𝑋 𝑛.
...
- Subiectul 3 -
Sisteme dinamice neliniare. Stabilitatea punctelor de
echilibru. Portret de stare.
Sunt în continuare prez...
2. Se poate determina direct ecuația traiectoriilor de stare:
𝑑 𝑥1
𝑑 𝑥2
=
𝑓1(𝑥1, 𝑥2)
𝑓2(𝑥1, 𝑥2)
= 𝑓(𝑥1, 𝑥2)
În ipoteza că ...
4. Liniarizarea în jurul punctului de echilibru.
5. Se folosesc metode numerice de integrare pentru
determinarea traiector...
2. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛
al sistemului (1) este stabil
dacă ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿 > 0 astfel încât
𝑥0 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑥 𝑡 − 𝑎 < 𝜀.
...
6. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛
al sistemului (1) este instabil
dacă nu este stabil.
7. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al si...
Un punct de echilibru instabil este repulsor, în sensul că
pentru orice o vecinătate a sa se vor putea considera
traiector...
Vă multumesc pentru
atenția acordată .
04.06.2013
of 21

Prezentare electiva 1 ing.vlad marius DINAMICA STRUCTURILOR MECANICE COMPLEXE

Prezentare Materie Electiva 1 . in cadrul Scolii doctorale din Universitatea Tehnica de Constructii Bucuresti, Facultatea de Utilaj Tehnologic. METODE NUMERICE ȘI APROXIMATIVE ÎN STUDIUL VIBRAȚIILOR SISTEMELOR DISCRETE Metoda iterației matriceale (METODA STODOLA) ANALIZA NUMERICĂ A VIBRAȚIILOR Transformata Fourier Discretă (DFT) Transformata Fourier Rapidă (FFT) STABILITATEA MIȘCĂRII Sisteme dinamice neliniare. Stabilitatea punctelor de echilibru. Portret de stare.
Published on: Mar 4, 2016
Published in: Science      
Source: www.slideshare.net


Transcripts - Prezentare electiva 1 ing.vlad marius DINAMICA STRUCTURILOR MECANICE COMPLEXE

  • 1. MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI FACULTATEA DE UTILAJ TEHNOLOGIC DINAMICA STRUCTURILOR MECANICE COMPLEXE Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr.ing. Cristian PAVEL Doctorand: Dip.Ing. Marius VLAD Bucureşti -2014- Disciplina electivă 1
  • 2. SUBIECTE Subiectul 1  METODE NUMERICE ȘI APROXIMATIVE ÎN STUDIUL VIBRAȚIILOR SISTEMELOR DISCRETE  Metoda iterației matriceale (METODA STODOLA) Subiectul 2  ANALIZA NUMERICĂ A VIBRAȚIILOR  Transformata Fourier Discretă (DFT) Transformata Fourier Rapidă (FFT) Subiectul 3  STABILITATEA MIȘCĂRII  Sisteme dinamice neliniare. Stabilitatea punctelor de echilibru. Portret de stare.
  • 3. - Subiectul 1- METODA ITERAȚIEI MATRICEALE (METODA STODOLA) Din dezvoltarea determinantului pulsațiilor proprii se obțin, în principiu, toate pulsațiile proprii ale unui sistem (de multe ori nefiind necesare). Calculele devin foarte anevoioase când numărul pulsațiilor proprii este mare, iar de multe ori nu este necesară cunoașterea tuturor acestor valori. Metoda Stodola oferă posibilitatea determinării celei mai mici și celei mai mari pulsații proprii, precum și a formelor proprii corespunzătoare acestora.
  • 4. a) Pulsația proprie minimă Ecuațiile diferențiale ale mișcării unui sistem discret cu n grade de libertate se pot scrie sub forma matriceală: (1)       xmxk  sau ținând seama că matricea coeficienților de influență,[α] este [𝑘]−1 : (2) Pentru vibrații armonice, {x} = C∙cosωt, ecuația (2) devine: (3)        xmx          CmCk  2 
  • 5. sau va avea una dintre cele două forme: (4 a) (4 b) Matricea coloană {C} = [C1, C2, ..., Cn]T definește forma proprie corespunzătoare pulsației proprii ω.        CmkC  12         CmC  2 Metoda iterației matriceale aplicată ecuației (4 a) permite deteminarea pulsației minime (fundamentale) și a formei proprii corespunzătoare. Pentru început se presupune o formă proprie {C0}, care poate fi aleasă sub forma: (5)   T C 1,...,1,10 
  • 6. Introducerea acestei prime aproximări în membrul drept al ecuației (4a) reprezintă prima operație de iterație matriceală și conduce la o valoare 𝜆1{𝐶1}: (6) Matricea {𝐶1} este rezultatul normalizării matricei {𝐶1}′, astfel încât primul termen al său să fie 1. Dacă diferența dintre ceilalți termeni ai matricelor {𝐶1} și {𝐶0} este semnificativă, atunci se trece la o nouă iterație, ajungându-se la matricea coloană {𝐶2} : (7) Operația de iterație matriceală se continuă până când matricea obținută {𝐶 𝑛} este egală sau diferită foarte puțin de precedenta, {𝐶 𝑛−1} . În acest caz se scrie egalitatea: (8)          1110 12 , CCCmk           221 12 CCmk           nnn CCmk     1 12
  • 7. din relația (8) se obține, prin identificare, valoarea pulsației proprii minime: (9) Vectorul coloană {𝐶 𝑛} reprezintă forma proprie de vibrație corespunzătoare primului mod de vibrație (cea de pulsație minimă).     12 min   mkn b) Pulsația proprie maximă Valoarea acesteia se obține din ecuația (4 b), adusă la forma: (10) Folosind metoda iterației matriceale, prezentate, obținem: (11)        CmC   11 2 1          nnn CCm      1 11 2 1
  • 8. Din relația (11) se obține pulsația proprie maximă: (12) Având forma proprie {𝐶 𝑛} corespunzătoare ultimului mod de vibrație (cea de pulsație maximă).     112 max 1      m n În majoritatea situațiilor practice și tehnice este suficientă determinarea unui număr limitat de frecvențe proprii. Astfel, metodele aproximative de determinare a acestor frecvențe – printre care și metoda Stodola – stau la baza diferitelor programe de calcul al vibrațiilor pe calculator.
  • 9. - Subiectul 2 - Transformata Fourier Discretă (DFT) Transformata Fourier Rapidă (FFT) Analiza numerică se bazează pe scheme de calcule matematice pe calculator. În prezent există programe specializate în prelucrarea numerică a semnalelor aleatoare, precum și aparate bazate pe analize numerice în domeniul vibrațiilor (analizoare în timp real, corelatoare, etc.) Interesul principal în măsurările de vibrații îl constituie evaluarea spectrului de frecvență al procesului aleator {𝑥 𝑡 }prin prelucrarea numerică a seriilor de timp discrete {𝑥 𝑘} . Această evaluare se obține direct, calculând transformata Fourier a seriei de timp {𝑥 𝑘} sau indirect, din transformata Fourier a funcției de autocorelație. Procedeul prin care se calculează transformata Fourier pe baza unui calcul numeric, poartă numele de Transformata Fourier Discretă (DFT).
  • 10. DFT se obține din exprimarea complexă a unui semnal: (1) În care coeficienții complecși 𝑋 𝑛 se determină cu relațiile: (2) Cantitatea de sub integrală capătă o valoare discretă la timpul 𝑡 𝑘 = 𝑘∆𝑡: (3) unde, cu 𝑁 = 𝑇/∆𝑡 s-a notat numărul de eșantioane pe durata 𝑇 . Substituind (3) în (2), integrala mediată se poate înlocui printr-o sumă de forma: (4)     n n ti n n eXtx  )( ; 2 0 0 a X     T T t ki n dtetx T X 0 2 )( 1  N nk i k T tk nki T t ni k exetkxetx k  222 )()(            1 0 21 N k N nk i kn tex tN X 
  • 11. După simplificarea relației (4), se obține expresia formală a transformatei Fourier directă a seriei {𝑥 𝑘}: (5) și a transformatei Fourier discretă inversă: (6) Domeniul componentelor 𝑋 𝑛 a fost redus de la 𝑛 = 0 la 𝑛 = 𝑁 − 1, pentru a menține simetria perechilor de transformate Fourier și ele corespund armonicelor de frecvență , în care frecvența fundamentală este . Prin reducerea valorilor lui 𝑛, nu se pierd informații despre armonicele superioare 𝑁 − 1, numărul acestora fiind limitat de durata ∆𝑡. 1,...,2,1,0; 1 1 0 2      Nnex N X N k N nk i kn  1,...,2,1,0; 1 0 2     NneXx N k N nk i kn  t n T n nffn   0 tNT f   11 0
  • 12. Distanța între componentele transformatei Fourier 𝑋 𝑛 este: (7) În care 𝑓𝑆 = 1/∆𝑡este frecvența de eșantionare. Intervalul de frecvență ∆𝑓 definește rezoluția care poate fi obținută, având la dispoziție 𝑁 valori eșantionate cu frecvența 𝑓𝑆 . N f TnT ff S    11 0 Transformata Fourier Rapidă (FFT) este un algoritm rapid, adaptat pentru prelucrarea pe calculator a DFT. Ideea care stă la baza algoritmului FFT constă în calculul DFT al unui șir de valori {𝑥 𝑟} în funcție de de DFT pentru două subșiruri ce-l compun pe acesta, unul cu eșantioane pare, altul cu cele impare. În acest scop se poate scrie succesiv, pornind de la relația (5):
  • 13. (8) Notând cu 𝑌𝑛 și 𝑍 𝑛 transformatele Fourier discrete (DFT) pentru cele două subșiruri, potrivit definiției se scrie: (9) (10) Introducând (10), (9) în (8) se obține: (11) Cu notația: (12) ecuația (11) devine: (13)                 1 0 1 0 2/ 22 2/ 21 0 2 2 211 N N k k N nk i k N n i N nk i k N k N nk i kn ezeey N ex N X       1 0 2/ 22 2/ 1 N k N nk i kn ez N Z  )12/(,...,2,1,0; 2 1 2         NnZeYX n N n i nn  N i eW 1 2    )12/(,...,2,1,0; 2 1  NnZWYX n n nn
  • 14. Ecuația (13) se aplică doar pentru valori ale lui 𝑛 cuprinse între 0 și N/2-1, doar pentru jumătate din coeficienții 𝑋 𝑛. Cealaltă jumătate a coeficienților se determină direct, ținând sema de faptul că 𝑌𝑛 și 𝑍 𝑛 sunt funcții periodice, de perioadă N/2. Ca urmare, ecuația (13) se extinde pe întreg domeniul de valori după cum urmează: (14) Aceste ultime două relații constituie esența algoritmului FFT, de implementare pe calculator, iar procedeul este întâlnit și sub numele de fluture (butterfly).  n n nn ZWYX  2 1  n n nN n ZWYX   2 1 2  12/,...,2,1,0  Nn
  • 15. - Subiectul 3 - Sisteme dinamice neliniare. Stabilitatea punctelor de echilibru. Portret de stare. Sunt în continuare prezentate câteva variante de trasare a traiectoriilor de stare: 1. Prin metode analitice se pot integra în raport cu variabila t relațiile (2) și se poate obține o relație care să exprime dependența dintre 𝑥1(𝑡) și 𝑥2(𝑡), în care variabila t să fie implicită, nu explicită. Graficul accestei funcții pentru diferite condiții inițiale reprezintă portretul de stare al sistemului (2). Metoda este adesea anevoioasă.
  • 16. 2. Se poate determina direct ecuația traiectoriilor de stare: 𝑑 𝑥1 𝑑 𝑥2 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2) 𝑓2(𝑥1, 𝑥2) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2) În ipoteza că 𝑓: ℛ2 → ℛ2 este Lipschitziană, se poate scrie: 𝑥2 𝑡 = 𝑥20 + 𝑥10 𝑥1(𝑡) 𝑓( 𝑥. 𝑥2) 𝑑𝑥. 3. Metoda grafo-analitică (metoda izoclinelor) se bazează pe observația că 𝑚 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 reprezintă panta la traiectoria de stare în punctul (𝑥1, 𝑥2). O familie de izocline 𝑚 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑐𝑡 se reprezintă grafic prin segmente corespunzătoare pantei 𝑚. Pe baza acestor segmente se pot trasa aproximativ traiectoriile de stare necesare.
  • 17. 4. Liniarizarea în jurul punctului de echilibru. 5. Se folosesc metode numerice de integrare pentru determinarea traiectoriilor de stare. Considerente generale Fie sistemul dinamic neliniar autonom, invariant în timp: 𝑥 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ ℜ+ , 𝑓: ℜ 𝑛 → ℜ 𝑛 (Lipschitziană) (1) Se notează 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 ∈ ℜ 𝑛 condiția inițială. Definiții: 1.Punctele 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 pentru care 𝑓 𝑎 = 0 𝑛, unde 0 𝑛 = [0 … 0] 𝑇 se numesc puncte de echilibru ale sistemului (1). Observație: Un sistem dinamic neliniar poate admite un unic punct de echilibru, un număr finit (diferit de 1) de puncte de echilibru, o infinitate de puncte de echilibru sau nici un punct de echilibru.
  • 18. 2. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1) este stabil dacă ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿 > 0 astfel încât 𝑥0 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑥 𝑡 − 𝑎 < 𝜀. 3. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1) este global stabil dacă este stabil ∀𝑥0. 4. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1) este asimtotic stabil dacă este stabil și lim 𝑡→∞ 𝑥 𝑡 − 𝑎 = 0. 5. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1) este global asimtotic stabil dacă este asimtotic stabil ∀𝑥0. Observație: Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1) poate fi global asimtotic stabil numai dacă este unic.
  • 19. 6. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1) este instabil dacă nu este stabil. 7. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1) este global instabil dacă este instabil ∀𝑥0 ≠ 𝑎. Stabilitatea punctelor de echilibru se poate analiza ușor pe baza traietoriilor de stare corespunzătoare unor puncte reprezentative în raport cu punctele de echilibru. Un punct de echilibru asimtotic stabil este atractor, în sensul că atrage traiectoriile de stare ce pleacă dintr-o vecinătate a punctului de echilibru. Propietatea nu este valabilă pentru orice vecinătate. Mulțimiea de atracție a punctului de echilibru include toate punctele din planul stărilor din care pleacă traiectorii de stare atrase de punctul de echilibru.
  • 20. Un punct de echilibru instabil este repulsor, în sensul că pentru orice o vecinătate a sa se vor putea considera traiectorii de stare care să plece dintr-un punct al respectivei vecinătăți și care să fie respinse de punctul de echilibru. O reprezentare simplă a traiectoriilor de stare se poate obține în cazul sistemelor de ordinul II. Pentru sistemele autonome de ordinul II, relația (1) se poate scrie sub forma: 𝑥1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2) 𝑥2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2) (2) 𝑓1,2: ℜ → ℜ, 𝑥1,2 ∈ ℜ. Punctele de echilibru se pot determina rezolvând sistemul algebric de ecuații: 𝑓1 𝑥1, 𝑥2 = 0 𝑓2 𝑥1, 𝑥2 = 0
  • 21. Vă multumesc pentru atenția acordată . 04.06.2013

Related Documents