Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPEC...
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Contenido
INTRODUCCIÓN ......................................................
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INTRODUCCIÓN
El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de es...
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OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar toda la información de cada tema ya v...
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SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN
Formar
MISIÓN – ES...
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Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 ...
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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos nú...
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EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes
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x = radicando
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Leyes radicales
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados...
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llaman P...
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¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá ...
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Un término es o bien un número o
variable solo, o números y variables
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Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
tér...
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Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple d...
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= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se n...
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Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que:
Factorizaci...
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ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
El objetivo de esta unidad es repas...
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SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN
Formar
profesional...
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Agricultura.
Agricultura, Silvicultura y Pesca.
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓ...
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1. Nivelación Aprobada
CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que...
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Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima s...
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El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades ...
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LOGROS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO
DIMENSIÓN
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uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
problemas planteados
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IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:
LOGROS DE APRENDIZAJE
CONTENIDO...
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Radicación
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fundamentales
Aplicaciones
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8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijaci...
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Aplicaciones
Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemátic...
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completación de un
trinomio cuadrado.
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Fórmula general par...
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V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS D...
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Pruebas
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VI.
GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
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VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – R...
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ENTREGADO: Marzo 2013
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“Algebra”
PRIMER NIVEL
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algebras de ales
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  • 1. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL NOMBRE: ANDRÉS CANGÁS PARALELO: “A” Ing. Oscar René Lomas Reyes septiembre 2013 – febrero 2014 Módulo Algebra Página 1
  • 2. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3 OBJETIVOS ................................................................................................................................. 4 CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ..................................................................................... 5 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................. 7 EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................... 11 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?....................................................................................................... 13 Partes de una ecuación ........................................................................................................... 13 ¡Exponente! ............................................................................................................................. 14 PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 14 FACTORIZACIÓN ...................................................................................................................... 17 FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................. 18 ECUACIONES LINEALES ................................................................Error! Bookmark not defined. SILABO ......................................................................................................................................... 20 Módulo Algebra Página 2
  • 3. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 INTRODUCCIÓN El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica. El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros símbolos son usados para representar números desconocidos. Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a ambos lados del signo igual (=), así: x-5=2 x-5+5=2+5 x+0=7 x = 7 (la respuesta) Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos, negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera. Módulo Algebra Página 3
  • 4. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Elaborar el portafolio estudiantil Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para la evaluación. Trabajar en forma grupal en la recolección de la información Módulo Algebra Página 4
  • 5. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 SILABO I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO UPEC – MISIÓN Formar MISIÓN – ESCUELA profesionales La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario humanistas, emprendedores contribuye al desarrollo Provincial, Regional y y competentes, poseedores Nacional, entregando profesionales que de conocimientos científicos participan en la producción, transformación, y tecnológicos; comprometida investigación y dinamización del sector con la investigación y la agropecuario y agroindustrial, vinculados con la solución de problemas del comunidad, todo esto con criterios de eficiencia entorno para contribuir con el y calidad desarrollo y la integración fronteriza UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES Módulo Algebra Página 5
  • 6. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o números naturales. Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…) Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3…… forman el conjunto de los enteros. Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…) El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es aquél que puede escribirse como donde p y q son enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es racional. Los números que se representan mediante decimales no periódicos que terminan se conocen como números irracionales. Los números y son ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas Módulo Algebra Página 6
  • 7. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número son iguales entre sí. Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real. Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden. Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden. Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que para todo número real a. Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número real denotado poa –a Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos. Módulo Algebra Página 7
  • 8. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 8
  • 9. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 EXPONENTES Y RADICALES Exponentes Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base. Por ejemplo: b es el valor base y -5 es el exponente -2 es el valor base y 7 es el exponente Leyes de los exponentes RADICALES La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”. Módulo Algebra Página 9
  • 10. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 n = índice x = radicando y = raíz =signo radical Leyes radicales Módulo Algebra Página 10
  • 11. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones aritméticas. Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término: Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos: Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos. Ejemplo: Módulo Algebra Página 11
  • 12. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios. Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica. Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes. Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los productos parciales con sus propios signos. División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Módulo Algebra Página 12
  • 13. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo: x + 2 = 6 Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6) Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello" Partes de una ecuación Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes: Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un número solo se llama una constante. Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente) Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores). Módulo Algebra Página 13
  • 14. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos. Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -) Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?" ¡Exponente! Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación. Ejemplos: 82 = 8 × 8 = 64 y3 = y × y × y y2z = y × y × z Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz PRODUCTOS NOTABLES Binomio al cuadrado Binomio de suma al cuadrado Módulo Algebra Página 14
  • 15. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9 Suma por diferencia Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) · (a − b) = a2 − b2 (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25 Binomio al cubo Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = = x 3 + 9x2 + 27x + 27 Binomio de resta al cubo Módulo Algebra Página 15
  • 16. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = = (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 = = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x = = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = Módulo Algebra Página 16
  • 17. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x2 + 5x + 6 FACTORIZACIÓN Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples. Factorización por factor común. Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común. Factorización de una diferencia de cuadros. Se sabe que: ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados. Factorización de un cuadrado perfecto Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado: Módulo Algebra Página 17
  • 18. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Factorización de una suma o diferencia de cubos Se sabe que: Factorización de cubos perfectos de binomios. FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común. Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión. FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA Módulo Algebra Página 18
  • 19. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resuelveecuaciones lineales por medio de propiedades vistas en la Unidad Nº 1. También resolveremosproblemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos deecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. En próximas unidadesanalizaremos cómo resolver ecuaciones de mayor grado. Comenzamos con la siguiente situación: En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco _ Piensa un número... _ Súmale 15 al número pensado... _ Multiplica por 3 el resultado... _ Al resultado réstale 9 ... _ Divide por 3... _ Resta 8... _ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice: _ 32 Instantáneamente el mago afirma con solvencia: _ El número que pensaste fue el 28. ¿Cómo lo hizo? Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por Medio de ecuaciones lineales con una incógnita. Módulo Algebra Página 19
  • 20. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 SILABO I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO UPEC – MISIÓN Formar profesionales MISIÓN – ESCUELA humanistas, La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, emprendedores y competentes, poseedores Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la producción, de conocimientos científicos y tecnológicos; transformación, investigación y dinamización del sector agropecuario y comprometida con la investigación y la agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y solución de problemas del entorno para calidad contribuir con el desarrollo y la integración fronteriza UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA Ser una Universidad Politécnica acreditada Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando por su calidad y posicionamiento regional ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-UNESCO Módulo Algebra profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria. SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-UNESCO Página 20
  • 21. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca. II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: CÓDIGO DOCENTE: NIVEL PRIMERO Oscar René Lomas Reyes Ing. TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec oscarlomasreyes@yahoo.es CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) Módulo Algebra 3 48 CÓDIGOS Página 21
  • 22. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 1. Nivelación Aprobada CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS 1. Física Aplicada 1 EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color Agrícola y un nombre) LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio ) Módulo Algebra Página 22
  • 23. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio) Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España. Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia. Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador. SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas Módulo Algebra Página 23
  • 24. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos. III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA). Escaso razonamiento lógico matemático Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO) Desarrollar el pensamiento lógico Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA) Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL) Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas del entorno. Módulo Algebra Página 24
  • 25. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 LOGROS DE APRENDIZAJE NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVO DIMENSIÓN (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS) (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías El estudiante es capaz de: 1. 2. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP TEÓRICO AVANZADO ENTENDER Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. 4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los Módulo Algebra PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el Página 25
  • 26. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. problemas planteados Argumentar el planteamiento que solución a los problemas planteados. 5. dará TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO CREAR 1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento. Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA). Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas. Módulo Algebra Página 26
  • 27. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: LOGROS DE APRENDIZAJE CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. COGNITIVOS PROCEDIMENTALES AFECTIVO MOTIVACIONALES ¿Qué TIENEque saber? El estudiante será capaz de ¿Saber cómo TIENE queaplicar el conocimiento? T P 2 4 ¿Saber qué y cómo TIENEactuar axiológicamente? Sistema de Números Reales Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales Recta de números Reales Potenciación y Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos Relacionar en la uve heurística Identificar los diferentes propiedades en potenciación y DEMOSTRAR. 1. Disposición para trabajar en equipo Operaciones Binarias Módulo Algebra Estrategias, métodos y técnicas HOR AS CLA SE Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica Aceptar opiniones diferentes Caracterizar los números reales para la demostración 2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales. CONVERSACIÓN HEURISTICA Página 27
  • 28. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Radicación Propiedades fundamentales Aplicaciones Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Expresiones algebraicas: nomenclatura y clasificación. Polinomios clasificación. Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división. Productos notables. Descomposición Factorial radicación Potenciar el clima positivo 1. Hacer síntesis gráfica Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente 2. Aplicar operaciones mentales Aceptar opiniones divergentes INDUCTIVO-DEDUCTIVO Identificar los diferentes tipos polinomios Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo INDUCTIVO Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones. Potenciar la resolución de problemas Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico 3. Determinación del problema. Dialogo mediante preguntas. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución. 1.Observación Identificar los diferentes tipos de productos notables Resolver ejercicios 2. Experimentación. Valorar las participaciones de los demás 3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.) Demostrar grado por lo que hacemos 4. Dramatización. 5. Resolución de problemas. 6. comprobación. 7. Asociación (especial temporal y casual) Módulo Algebra Página 28 2 4
  • 29. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 8. Abstracción. 9. Generalización. 10. Resúmenes. 11. Ejercicios de fijación. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. Máximo común divisor de polinomios. Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema. Mínimo común múltiplos de polinomios. Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas. Cooperar en el desarrollo del conocimiento. Operaciones con fracciones. Módulo Algebra Determinación del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución. RAZONAR 1. Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos Demostrar confianza en el desarrollo del proceso. Cooperar con el grupo en la resolución de funciones. Determinar las premisas. 2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio. 3. Elaborar las conclusiones. RELACIONAR. Página 29 3 6
  • 30. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Aplicaciones Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Distinguir los componentes de las expresiones racionales Plantear ecuaciones lineales. Ecuaciones lineales, resolución Sistemas lineales y clasificación. Resolución de ecuaciones lineales. Identificar los sistemas líneas y su clasificación Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera Definición y clasificación. Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo Respetar las opiniones del grupo y fuera de él. Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante. Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo. Ecuaciones reducibles a cuadráticas Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo. Resolver ejercicios sobre expresiones cuadráticas Resolución por Módulo Algebra Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas. Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales. Aplicaciones Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. 1. Ejercitar las operaciones con Analizar de manera independiente los objetos a relacionar. 2. Determinar los criterios de relación entre los objetos EXPOSICION PROBLEMICA. Determinar el problema. 2. Realizar el encuadre del problema. 3. Comunicar el conocimiento. 4. Formulación de la hipótesis. 5. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones) EXPOSICIÓN PROBLEMICA 6 3 6 1. 1. Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados 3 2. 3. Determinar el problema Realizar el encuadre del problema Comunicar el conocimiento (conferencia ,video ) Página 30
  • 31. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 completación de un trinomio cuadrado. Módulo Algebra Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas Aplicaciones de la ecuación cuadrática. Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. polinomios incompletos. Distinguir los componentes de las expresiones racionales 4. Valorar la creatividad de los demás Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes) 1. Determinar los procedimientos para resolver problemas. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones) Respetar el criterio del grupo. 2. Página 31 3 6
  • 32. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE LOGROS DE APRENDIZAJE indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE DIMENSIÓN COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA descripción 10% Reactivos 50% Documento 10% Deberes Documento 10% Trabajos Documento 10% Consultas Documento 10% Participación virtual Chat-Foro 10% Pruebas Módulo Algebra Chat-Foro Reactivos SUPLETORI O 10% Portafolio Interpretar la información. Documento 3° PARCIA L 10% Pruebas CONCEPTUAL. Documento 2° PARCIA L 10% Participación virtual Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Documento Trabajos FACTUAL. Deberes Consultas Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Interpretar información. TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de EVALUACIÓN 1° PARCIA L 50% Página 32
  • 33. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Portafolio Reactivos 50% Documento 10% Deberes Documento 10% Documento 10% Documento 10% Chat-Foro 10% Reactivos 50% Portafolio Documento 10% Deberes Documento 5% Trabajos Documento 5% Consultas Documento 5% Participación virtual Módulo Algebra 10% Pruebas Desarrollar una estrategia para el diseño. Chat-Foro Consultas CONCEPTUAL 10% Participación virtual Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Documento Trabajos Analizar problemas y sistemas complejos. 10% Portafolio PROCESAL Documento Pruebas Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados 10% Participación virtual Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Documento Consultas Modelar, simular sistemas complejos. Deberes Trabajos CONCEPTUAL. Documento 10% Chat-Foro 5% 100% 100% Página 33
  • 34. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Pruebas Reactivos 25% Portafolio Documento 5% FACTUAL. Interpretar información. Deberes Documento 5% CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos. Trabajos Documento 5% Consultas Documento 5% Participación virtual Chat-Foro 5% Pruebas Reactivos 25% Portafolio Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. Documento 5% PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos. METACOGNITIVO ESCALA DE VALORACIÓN Nivel ponderado de aspiración y alcance Módulo Algebra 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable 8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 100% 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable Página 34
  • 35. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS) Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. HORAS AUTÓNO MAS APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE T INSTRUCCIONES Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos. RECURSOS Libros. Copias P PRODUCTO Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales. 2 4 Identifica los tipos de polinomios 2 4 Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Prueba Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio. Grado de un polinomio y su ordenamiento Módulo Algebra Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Página 35
  • 36. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Distinguir plenamente Libros. entre expresiones Copias las racionales e irracionales Demostrar la utilidad de matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Distinguir plenamente entre expresiones racionales 3 e irracionales 6 Documentos en pdf. Dar solución a ecuaciones de primer grado Libros. Descarga de documentos de Copias la web. Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6 Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas. Libros. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas 3 6 Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 3 6 PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel ) 16 32 1 2 Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. TOTAL CRÉDITOS Módulo Algebra Página 36
  • 37. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 3 Módulo Algebra Página 37
  • 38. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 VII. Bibliografía. BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA) Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA) Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España. Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia. Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador. SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf DOCENTES: Firma: Módulo Algebra Página 38
  • 39. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing. ENTREGADO: Marzo 2013 Módulo Algebra Página 39
  • 40. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 40
  • 41. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 41
  • 42. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 42
  • 43. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 43
  • 44. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 44
  • 45. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 45
  • 46. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 46
  • 47. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 47
  • 48. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 48
  • 49. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Modalidad PRESENCIAL Módulo Módulo Algebra Página 49
  • 50. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 “Algebra” PRIMER NIVEL NOMBRE: ANDRÉS CANGÁS. PERÍODO ACADÉMICO Septiembre 2013 – Febrero 2014 Tulcán, Febrero 1014 Módulo Algebra Página 50
  • 51. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 51
  • 52. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 52
  • 53. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 53
  • 54. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 54
  • 55. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 55
  • 56. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 56
  • 57. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 57
  • 58. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 58
  • 59. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 59
  • 60. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 60
  • 61. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 DEBER Módulo Algebra Página 61
  • 62. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 62
  • 63. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 63
  • 64. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 64
  • 65. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 65
  • 66. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 66
  • 67. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 67
  • 68. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 68
  • 69. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 69
  • 70. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 70
  • 71. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 71
  • 72. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 72
  • 73. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 73
  • 74. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 74
  • 75. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 75
  • 76. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 76
  • 77. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 77
  • 78. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 78
  • 79. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 79
  • 80. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 80
  • 81. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 81
  • 82. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 82
  • 83. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Modalidad PRESENCIAL Módulo “Álgebra” PRIMER NIVEL NOMBRE: ANDRÉS CANGÁS. PERÍODO ACADÉMICO Septiembre 2013 – Febrero 2014 Tulcán, enero Módulo Algebra Página 83
  • 84. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 84
  • 85. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 85
  • 86. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 A B C CR 3 5 1 CF 2 2 2 COSTO 8 6 VARIABLES 40 20 160 240 80 Z MIN= ≥ ≥ ≥ UR 160 200 80 440 FUNCION OBJETIVA la unidad maxima en horas optimas a ocuparse son 160 en A 240 en B y 80 en C MA MB Acabado CAMION 2 3 5 PERINOLA 1 1 1 UTILIDAD 7 2 VARIABLES 10 20 ≤ ≤ ≤ HORAS 80 50 70 ZMAX= 40 50 70 110 Se tiene que producir 10 camiones y 20 perinolas semanales para maximizar las utilidades en $110; utilizando 40 h MA MB VISTA 1 2 XTREME 3 2 UTILIDADES 50 80 VARIABLES 6 HORAS ≤ ≤ 6 24 24 ZMAX= 24 24 780 tenemos que producir 6 DVD s de cada uno, para obtener una utilidad maxima diaria de $780 con un tiempo com Módulo Algebra Página 86
  • 87. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 ALIMENTOA ALIMENTOB CARBOHIDR 2 2 ≥ PROTEINAS 4 1 ≥ UNIDADES 16 20 COSTO VARIABLES Z MIN= 1,2 4 0,8 4 16 20 8 se debe comprar 4 de de alimento a y 4 del alimento b y el costo minimo cera de 8 dolares MEZCLA 1 A B C MEZCLA 2 2 ≥ 2 ≥ 12 ≥ COSTO VARIABLES 8 30 80 200 240 10 10 2 6 4 UNIDADES 80 120 240 Z MIN= 340 se debe comprar 30 bolsas de la mescla 1 y 10 bolsas de la mascla 2 con un costo minimo de 340 dolares MINA 1 MINA 2 MINERAL A MINERAL B 100 200 VARIABLES 50 10 200 ≥ 50 ≥ 60 10 3000 2500 Z MIN= 3000 2500 1100 se debe estraeer e la mina 1 10 toneladas de proseso y de la mina 2 se debe prosesar 10 y su costo minimo es de P. BAJO REFINERIA REFINERIA 1 2 2000 1000 ≥ Módulo Algebra 8000 8000 Página 87
  • 88. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 P. MEDIO P. ALTO 3000 1000 COSTO VARIABLES 25000 3 2000 ≥ 1000 ≥ 20000 2 14 5000 Z MIN= 13000 5000 115000 el costo minimo es de 115000 produciendo de la refineria 1 3 y de la refineria 2 produciendo 2 P1 P2 CAMARA A CAMARA B 10 4 ≥ 20 30 ≥ COSTOS VARIABLES 600000 6 300000 10 100 420 Z MIN0 100 420 6600000 se deben fabricar 6 camaras de tipo A y 10 camaras de tipo B con un costo de 6600000 Módulo Algebra Página 88
  • 89. Universidad Politécnica Estatal del Carchi 2014 Módulo Algebra Página 89