ความรู้เดิมที่ผู้เรียนต้องทราบ
1. ข้อความคาดการณ์ เป็นกระบวนการที่ใช้การสังเกตหรือการทดลองหลายๆครั้ง แล้ว
รวบรวมข้อมูลเพื่...
พนันกับนักการพนันอื่นๆว่า “เมื่อทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง จะมีอย่างน้อยหนึ่งครั้งที่ขึ้น
แต้ม 6 ทั้งสองลูก” เดอเมเ...
ข้อสังเกต
1. โยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง กับ โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง ผลในแซมเปิลสเปซได้
เหมือนกัน
2.
( H , T ) กับ ( T , H ) ...
4.
จานวนผลที่เกิดขึ้นในแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์
โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง เขียนแซมเปิลสเปซ ได้ คือ
) (
*(
( ) แทน
อันดับ ถ...
ตัวอย่าง 1 โยนเหรียญบาทเที่ยงตรง 2 อัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่
1. เหรียญออกหัวทั้งคู่
2. เหรียญออกก้อยอย่างน้อย 1 เหร...
วิธีทา เขียนแซมเปิลสเปซได้คือ
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
...
4.
ให้
แทน เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 13
ไม่มีผลที่เกิดขึ้นใน
( เพราะว่าผลรวมของแต้มต้องไม่เกิน 12 )
( )
( )
ตอบ
...
(
3.
ให้
)
ตอบ
แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีดาหรือสีแดง
*
(
(
4.
ให้
+
)
)
ตอบ
แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลส...
ตัวอย่างที่ 5 ดึงไพ่ 1 ใบ ออกจากไพ่ 1 สารับ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้
1.
ไพ่โพแดง
2.
Jack
วิธีทา ไพ่สารับ...
วิธีทา อันดับของบุตรเขียนแทนด้วยแผนภาพต้นไม้ได้ ดังนี้
คนหัวปี
คนกลาง
คนสุดท้อง
ช
ผล
(ช, ช, ช)
ญ
(ช, ช, ญ)
ช
(ช, ญ,...
2.
ให้
แทน เหตุการณ์ที่บุตรคนสุดท้องเป็นหญิง
ช ญ) (ช ญ ญ) (ญ ช ญ) (ญ ญ ญ)}
{(ช
( )
( )
3.
ให้
ตอบ
แทน เหตุการณ์ที่บุ...
2.
ให้
แทน เหตุการณ์ที่ได้พยัญชนะ
*
(
(
3.
ให้
+
)
)
ตอบ
แทน เหตุการณ์ที่ได้
* +
(
)
(
)
ตอบ
ตัวอย่าง 8 จากกา...
4.
5.
เป็นนักเรียนชั้น ม.3 ที่ไม่แสดงความคิดเห็น
เป็นนักเรียนชั้น ม.1 หรือ ม.2 ที่ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์
วิธีทา จากโจทย์จ...
ตัวอย่าง 9 กาหนดให้ แทน กลุ่มของจานวนตั้งแต่ 1 ถึง 9 และ
ถ้าสุ่มจานวนขึ้นมา 1 จานวนจงหาความน่าจะเป็นที่จะได้
1.
2.
3.
จาน...
ตัวอย่าง 10 โยนลูกเต่า 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวมบนหน้าลูกเต๋าน้อยกว่า 10
วิธีทา จากตัวอย่างที่แล้วมาจะได้
ให้...
ตัวอย่าง 11 ในการเล่นการพนันโยนเหรียญสองเหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง มีกติกาว่าถ้าเหรียญ
ที่โยนออกหัวทั้งคู่ อัสนีจะจ่ายเงินให้...
8.
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
หรือเหตุการณ์
ข้อตกลงเบื้องต้น
ในเรื่องที่จะกล่าวต่อไปนี้ ผู้เรียนจะต้องศึกษาเรื่อง เซต ให...
ตอบ
*
⋂
แต่
(
)
(
ดังนั้นสรุปได้ว่า
⋂
)
(
)
)
(
(
⋂
⋂
+
)
(
⋃
)
(
)
จากการหาความน่าจะเป็นของ
⋃
กรณี...
กรณีที่ 2
และ
ไม่มีส่วนที่เกิดร่วมกัน ดังแผนภาพ
𝐸
(
𝐸
)
⋃
(
)
(
)
ตัวอย่าง 13 นักเรียนห้องหนึ่งมี 50 คน จากการส...
*
ตัวอย่าง 14 กาหนดให้
เป็นกลุ่มของจานวนเฉพาะใน
วิธีทา เขียนเซต
+
จงหา
เป็นกลุ่มของจานวนคี่ที่อยู่ใน
( ⋃ ) และ ( ⋂ )
...
ตอบ
แฟกทอเรียล (Factorial)
กาหนดจานวนเต็มบวก หรือ เรียกสัญลักษณ์
ซึ่ง
(
)(
)(
ว่า
)
เช่น
(
สิ่งที่ต้องจา
)
ตัวอย่าง 15 จงหาค่าของ
2.
วิธีทา 1.
(
(
)
)
(
1.
)(
)
ตอบ
2.
(
(
)
)
(
) (
(
(
)(
)
)
) (
)
(
)(
)
(
...
ถ้าให้
n
แทนจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ
สิ่ง ที่แตกต่างกันคราวละ สิ่ง แล้ว
n
(
ตัวอย่าง 16
จงหาค่าของ
2.
วิธีทา...
(
2.
)
(
(
)
)
ตอบ
ตัวอย่าง 17 จัดตัวเลข
คราวละ 3 ตัว ได้กี่จานวน
วิธีทา เปรียบเสมือนจัดของ 6 สิ่งที่ต่างกันคราวละ ...
ตัวอย่าง 18 ในการเลือกประธานและรองประธานนักเรียนจากผู้สมัคร 12 คน จะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี
วิธีทา
เลือกได้
12
(
)
วิธี...
ตัวอย่าง 19 จงหาค่าของ
8
และ
8
8
วิธีทา
(
)
ตอบ
8
(
)
ตอบ
จะเห็นว่า
หรือ
นั่นคือ
เช่น
8
8
8
8
n
n
100
10...
ตัวอย่าง 20 เลือกผู้แทน 3 คน จากผู้สมัคร 7 คน ได้กี่วิธี
วิธีทา
เลือกได้
7
(
วิธี
)
วิธี
ตอบ
ตัวอย่าง 21 หยิบลูกบอล...
ไพ่ (Poker ) 1 สารับ มี 52 ใบ แบ่งออกเป็น
ก.
2 สี คือ สีดา และสีแดง สีละ 26 ใบ
ข.
4 ชุด คือ โพดา (spade)
13 ใบ
โพแดง ...
ถ้านาสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์มาเขียน จะได้
รูปสามเหลี่ยมข้างบนเรียกว่า รูปสามเหลี่ยม ปาสกาล (Pascal’s triangle)
(
สูตรการก...
6
ข้อสังเกต ในขณะที่เลขชี้กาลังของ ลดลงทีละ 1 เลขชี้กาลังของ 2 เพิ่มขึ้นทีละ 1 และจานวน
พจน์ที่กระจายได้จะมากกว่าเลขชี้กา...
ตัวอย่าง 24
จงหาพจน์ที่ 9 ของการกระจาย
(
)
วิธีทา
12
ตอบ
ตัวอย่าง 25
จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจาย
(
)
วิธีทา
11
(...
of 31

Najapen

Published on: Mar 3, 2016
Published in: Automotive      
Source: www.slideshare.net


Transcripts - Najapen

  • 1. ความรู้เดิมที่ผู้เรียนต้องทราบ 1. ข้อความคาดการณ์ เป็นกระบวนการที่ใช้การสังเกตหรือการทดลองหลายๆครั้ง แล้ว รวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะนาไปสู่ข้อสรุป ซึ่งเชื่อว่ามีความเป็นไปได้มากที่สุด แต่ยังไม่ได้พิสูจน์ ว่าเป็นจริง 2. อัตราส่วนและร้อยละ ( Ratio and Percent ) อัตราส่วน คือ การเปรียบเทียบจานวนสิ่งของชนิดเดียวกันตั้งแต่สองจานวนขึ้นไป เช่น การแข่งขันฟุตบอลระหว่างทีมไทยกับทีมเวียดนาม คาดว่าไทยจะชนะ 5 ต่อ 2 ร้อยละ คือ เศษส่วน หรืออัตราส่วนที่มีส่วนเป็น 100 อาจแทนด้วยคาว่า “ เปอร์เซ็นต์ (%) ” เช่น พรุ่งนี้จะมีฝนตก ของพื้นที่ คาดว่านักท่องเที่ยวแถบอันดามันลดลง ความน่าจะเป็น ( Probability ) ในชีวิตประจาวันเรามักจะได้ยินคาพูดที่เกี่ยวกับการคาดคะเน การทานาย โอกาส หรือความ เป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์ที่กล่าวถึง แต่ไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าเหตุการณ์เหล่านั้นจะเกิดขึ้น หรือไม่ จนกว่าจะถึงเวลาที่กาหนด จานวนจานวนหนึ่งที่บ่งบอกถึงโอกาสมากน้อยที่จะเกิดแต่ละเหตุกาณ์นั้น ในทางคณิตศาสตร์ เรียกจานวนนั้นว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ได้มีการศึกษาอย่างจริงจังเมื่อ ค.ศ.1654 หลังจาก เชอวาลิเอ เดอ เมเร ( Chevalier de Mere ) นักการพนันชาวฝรั่งเศสแพ้การพนัน เมื่อเขาได้ทา ้
  • 2. พนันกับนักการพนันอื่นๆว่า “เมื่อทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง จะมีอย่างน้อยหนึ่งครั้งที่ขึ้น แต้ม 6 ทั้งสองลูก” เดอเมเร สงสัยว่าทาไมจึงเป็นเช่นนั้น เขาจึงนาปัญหานีไปถาม เบลล์ ปาสกาล ้ ( Blaise Pascal ) นักคณิตศาสตร์ผู้เป็นเพื่อนของเขา และปาสกาลก็ได้นาปัญหาเดียวกันนี้ไป ปรึกษา ปีแยร์ เดอ แฟร์มา (Pierre de Fermat) เพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขา ทั้งสองจึงได้ ทาการศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างจริงจัง จนได้คาตอบว่า ถ้าโยนลูกเต๋า ที่เที่ยงตรงสองลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าจะหงายขึ้นแต้ม 6 ทั้ง สองลูกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง เท่ากับ 0.4914 หรือประมาณ ค่าความน่าจะเป็นข้างต้นเป็น หลักฐานยืนยันว่าเพราะเหตุใด เดอเมเร จึงแพ้พนันมากกว่าจะชนะพนัน การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในทางคณิตศาสตร์ 1. การทดลองสุ่ม ( Random Experiment ) คือ การทดลองที่เราไม่สามารถบอก ล่วงหน้าได้ว่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากแต่ละการกระทาจะเป็นอะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้าง ที่จะเกิดขึ้นได้ เช่น โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง หน้าที่หงายขึ้นอาจออกหัวหรืออกก้อย ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง หน้าที่หงายขึ้นอาจเป็นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 การกระทาบางอย่างที่เราทราบผลลัพธ์ได้แน่นอนไม่ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เช่น นา 2 บวก กับ 3 ผลลัพธ์เป็น 5 2. แซมเปิลสเปซ ( Sample Space ) คือ กลุ่มของผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดจากการ ทดลองสุ่ม นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทน แซมเปิลสเปซ เช่น โยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ถ้า H แทนการออกหัว และ T แทนการออกก้อย ผล ในแซมเปิลสเปซ คือ H , T โยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ผลในแซมเปิลสเปซ คือ ( H , H ) , ( H , T ) , ( T , H ) , ( T , T ) , ( H , H ) หมายถึง เหรียญอันแรกออกหัว และเหรียญอันที่สองออกหัว ( H , T ) หมายถึง เหรียญอันแรกออกหัว และเหรียญอันที่สองออกก้อย
  • 3. ข้อสังเกต 1. โยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง กับ โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง ผลในแซมเปิลสเปซได้ เหมือนกัน 2. ( H , T ) กับ ( T , H ) ไม่เหมือนกัน เพราะถืออันดับของการเกิด 3. ( H , T ) หมายถึง เหรียญอันแรกหรือโยนครั้งแรกออกหัว และเหรียญอันที่สอง หรือโยนครั้งที่สองออกก้อย 4. ( T , H ) หมายถึง เหรียญอันแรกหรือโยนครั้งแรกออกก้อย และเหรียญอันที่สอง หรือโยนครั้งที่สองออกหัว โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลของแซมเปิลสเปซ คือ 1, 2, 3, 4, 5 , 6 จากการ ทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซที่กล่าวมา เพื่อความสะดวก ถ้าให้กลุ่มของผลการทดลองสุ่ม ถูกล้อม รอบด้วยวงเล็บ * + เราสามารถเขียนแซมเปิลสเปซ (S) ได้ ดังนี้ แซมเปิลสเปซของการโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง คือ แซมเปิลสเปซของการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง คือ ( * *( ) ( + ) ( ) )+ แซมเปิลสเปซของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง คือ * + 3. เหตุการณ์ ( Events ) คือ สิ่งที่สนใจจะพิจารณาจากการทดลองสุ่ม เป็นกลุ่มย่อย ของแซมเปิลสเปซ นิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่แทนเหตุการณ์ เช่น เหตุการณ์ของการโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง แล้วเหรียญออกหัว ผลคือ * + แทน เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัว แล้ว ถ้าให้ คือ ( ) *( เหตุการณ์ของการโยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง แล้วได้ผลบวกของแต้มเป็น 11 ผล ( ) ถ้าให้ แทน เหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มเป็น 11 แล้ว ) ( )+
  • 4. 4. จานวนผลที่เกิดขึ้นในแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง เขียนแซมเปิลสเปซ ได้ คือ ) ( *( ( ) แทน อันดับ ถ้าให้ ) ( ) ( )+ จานวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซแล้ว แล้ว ผลที่เกิดขึ้นเท่ากับ 4 คู่ ( ) แทน เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวอย่างน้อย 1 อัน ) ( *( ( ) ถ้าให้ 5. ) ( ผลที่ได้มี 3 คู่อันดับ แทน จานวนสมาชิกในเหตุการณ์ แล้ว ( ) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ให้ แทน เหตุการณ์ใดๆที่เป็นส่วนหนึ่งของแซมเปิลสเปซ ( ) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ( ) ( ) 6. )+ ( ) สมบัติความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ ถ้า เป็นแซมเปิลสเปซ และ เป็นเหตุการณ์ใดๆในแซมเปิลสเปซ 1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 2. ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปซเท่ากับ 1 หรือ 3. ถ้า ( ) ( ) แทน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ แล้ว ( ) แทน แล้ว ( ) หรือ ( ) ความน่าจะเป็นที่ไม่เกิดเหตุการณ์ ( ) ( ) ( )
  • 5. ตัวอย่าง 1 โยนเหรียญบาทเที่ยงตรง 2 อัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ 1. เหรียญออกหัวทั้งคู่ 2. เหรียญออกก้อยอย่างน้อย 1 เหรียญ 3. เหรียญออกหน้าตรงกัน วิธีทา เขียนแซมเปิลสเปซได้ คือ ) ( *( 1. ให้ ) ( 2. ( ( ) แทน เหตุการณ์ที่เหรียญออกก้อยอย่างน้อย 1 เหรียญ ( ) ( ) ( )+ ) ให้ ( ) ตอบ แทน เหตุการณ์ที่เหรียญออกหน้าตรงกัน *( ดังนั้น )+ ตอบ *( 3. ( ) ) ให้ ดังนั้น )+ แทน เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวทั้งคู่ *( ดังนั้น ) ( ( ) ( )+ ) ตัวอย่าง 2 โยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ 1. ผลรวมของแต้มเป็น 10 2. ผลต่างของแต้มเป็น 2 3. ลูกเต๋าออกแต้มตรงกัน 4. ผลรวมของแต้มเป็น 13 ( ) ตอบ
  • 6. วิธีทา เขียนแซมเปิลสเปซได้คือ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A C B ( ) 1. ให้ แทน เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 10 *( ) ( )+ ( ) ให้ ตอบ แทน เหตุการณ์ที่ผลต่างของแต้มเป็น 2 *( ( ) ( ( ) ดังนั้น 2. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )+ ( ) ( ) 3. ให้ ตอบ แทน เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าออกแต้มตรงกัน *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ตอบ
  • 7. 4. ให้ แทน เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 13 ไม่มีผลที่เกิดขึ้นใน ( เพราะว่าผลรวมของแต้มต้องไม่เกิน 12 ) ( ) ( ) ตอบ ตัวอย่าง 3 ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเท่ากัน 12 ลูก เป็นลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีแดง 4 ลูก และ สีดา 5 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลในถุงขึ้นมา 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ 1. ลูกบอลสีขาว 2. ลูกบอลสีแดง 3. ลูกบอลสีดาหรือสีแดง 4. ลูกบอลสีขาวและสีดา วิธีทา ให้ แทนลูกบอลสีขาว แดง และดา ตามลาดับ * + ( ) 1. ให้ แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว * ( 2. ให้ ) ( + ) ตอบ แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีแดง * ( ) +
  • 8. ( 3. ให้ ) ตอบ แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีดาหรือสีแดง * ( ( 4. ให้ + ) ) ตอบ แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีขาวและสีดา ไม่เกิดเหตุการณ์ ( ( ( เพราะว่าหยิบลูกบอล 1 ลูก จะได้ทั้งสีขาวและสีดาไม่ได้ ) ) ) ตอบ ตัวอย่าง 4 มีอักษรอยู่ 3 ตัว คือ ความหมายเป็นเท่าใด เมื่อนามาเรียงกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้คาที่มี * วิธีทา เขียนแซมเปิลเปซ + ( ) ให้ แทน เหตุการณ์ที่เรียงได้คาที่มีความหมาย * + ( ) ( ) ตอบ
  • 9. ตัวอย่างที่ 5 ดึงไพ่ 1 ใบ ออกจากไพ่ 1 สารับ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ 1. ไพ่โพแดง 2. Jack วิธีทา ไพ่สารับหนึ่งมี 52 ใบ แบ่งออกเป็น 4 ชุด คือ โพแดง โพดดา ดอกจิก และ ข้าวหลามตัด มีชุดละ 13 ใบ แต่ละชุดมีไพ่ 13 ชนิด คือ แต้ม 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K และ A มีชนิดละ 4 ใบ 1. จานวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซเท่ากับ 52 จานวนสมาชิกในเหตุการณ์เท่ากับจานวนไพ่โพแดงซึ่งเท่ากับ 13 ดังนั้น ( ) จากสูตร ( ) ( ) ( ) ( ) ความน่าจะเป็นที่จะดึงได้ไพ่โพแดง 2. ตอบ จานวนสมาชิกในเหตุการณ์เท่ากับจานวนไพ่ Jack เท่ากับ 4 ความน่าจะเป็นที่จะดึงได้ไพ่ Jack ตัวอย่าง 6 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน อายุต่างกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวนี้ 1. มีบุตรหัวปีเป็นหญิง 2. มีบุตรคนสุดท้องเป็นหญิง 3. มีบุตรเป็นชายทั้งสามคน 4. มีบุตรคนหัวปีเป็นหญิงและคนสุดท้องเป็นชาย ตอบ
  • 10. วิธีทา อันดับของบุตรเขียนแทนด้วยแผนภาพต้นไม้ได้ ดังนี้ คนหัวปี คนกลาง คนสุดท้อง ช ผล (ช, ช, ช) ญ (ช, ช, ญ) ช (ช, ญ, ช) ญ (ช, ญ, ญ) ช (ญ, ช, ช) ญ (ญ, ช, ญ) ช (ญ, ญ, ช) ญ (ญ, ญ, ญ) ช ช ญ ช ญ ญ เขียนแซมเปิลสเปซได้ คือ {(ช ช ช) (ช ช ญ) (ช ญ ช) (ช ญ ญ) (ญ ช ช) (ญ ช ญ) (ญ ญ ช) (ญ ญ ญ)} ( ) 1. ให้ แทน เหตุการณ์ที่บุตรคนหัวปีเป็นหญิง {(ญ ช ช) (ญ ช ญ) (ญ ญ ช) (ญ ญ ญ)} ( ) ( ) ตอบ
  • 11. 2. ให้ แทน เหตุการณ์ที่บุตรคนสุดท้องเป็นหญิง ช ญ) (ช ญ ญ) (ญ ช ญ) (ญ ญ ญ)} {(ช ( ) ( ) 3. ให้ ตอบ แทน เหตุการณ์ที่บุตรทั้งสามคนเป็นชาย ช ช)+ *(ช ( ) ( ) 4. ให้ ตอบ แทน เหตุการณ์ที่บุตรคนหัวปีเป็นหญิง และบุตรคนสุดท้องเป็นชาย *(ญ ช ช) (ญ ญ ช)+ ( ) ( ) ตอบ ตัวอย่าง 7 สุ่มตัวอักษรจากคาว่า SONGWIT ขึ้นมา 1 ตัว จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ 1. สระ 2. พยัญชนะ 3. * วิธีทา แซมเปิลสเปซ คือ S + ( ) 1. ให้ แทน เหตุการณ์ที่ได้สระ * ( ( + ) ) ตอบ
  • 12. 2. ให้ แทน เหตุการณ์ที่ได้พยัญชนะ * ( ( 3. ให้ + ) ) ตอบ แทน เหตุการณ์ที่ได้ * + ( ) ( ) ตอบ ตัวอย่าง 8 จากการสอบถามนักเรียนมัธยมศึกษาตอนต้นเป็นรายคนจานวน 50 คน ว่าชอบเรียน วิชาคณิตศาสตร์หรือไม่ แสดงดังตาราง ชั้น ม.1 ม.2 ม.3 รวม ชอบ ไม่ชอบ 8 2 10 8 12 3 30 13 ไม่แสดงความคิดเห็น 2 4 1 7 รวม 12 22 16 50 คาตอบ จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนขึ้นมา 1 คน แล้วจะได้ 1. 2. 3. นักเรียนชอบเรียนคณิตศาสตร์ นักเรียนไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ เป็นนักเรียนชั้น ม.3
  • 13. 4. 5. เป็นนักเรียนชั้น ม.3 ที่ไม่แสดงความคิดเห็น เป็นนักเรียนชั้น ม.1 หรือ ม.2 ที่ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ วิธีทา จากโจทย์จะได้ 1. ( ) มีนักเรียนที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ 30 คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ เท่ากับ 2. มีนักเรียนที่ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ 13 คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ เท่ากับ 3. ตอบ มีนักเรียนชั้น ม.3 ที่ไม่แสดงความคิดเห็น 1 คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนชั้น ม.3 ที่ไม่แสดงความคิดเห็น เท่ากับ 5. ตอบ มีนักเรียนชั้น ม.3 จานวน 16 คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนชั้น ม.3 เท่ากับ 4. ตอบ ตอบ มีนักเรียนชั้น ม.1 หรือ ม.2 ที่ไม่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ 2 + 8 10 คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนชั้น ม.1 หรือ ม.2 ที่ไม่ชอบเรียน คณิตศาสตร์ เท่ากับ ตอบ
  • 14. ตัวอย่าง 9 กาหนดให้ แทน กลุ่มของจานวนตั้งแต่ 1 ถึง 9 และ ถ้าสุ่มจานวนขึ้นมา 1 จานวนจงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ 1. 2. 3. จานวนคู่ จานวนคี่ จานวนคู่หรือจานวนคี่ วิธีทา ให้ * แทนกลุ่มของจานวนคู่ + ( ) * + ( ) 1. ความน่าจะเป็นที่จะได้จานวนคู่ ( ) ( ) ( ) ( ) ตอบ 2. ความน่าจะเป็นที่จะได้จานวนคี่ ( ) ( ) ( ) ( ) ตอบ 3. ความน่าจะเป็นที่จะได้จานวนคู่ หรือจานวนคี่ คือ ดังนั้น ( ) ( ) นั่นเอง ( ) ( ) ตอบ
  • 15. ตัวอย่าง 10 โยนลูกเต่า 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวมบนหน้าลูกเต๋าน้อยกว่า 10 วิธีทา จากตัวอย่างที่แล้วมาจะได้ ให้ ( ) เป็นเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าตั้งแต่ 10 ขึ้นไป *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ดังนั้น 7. ( ) ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวมบนหน้าลูกเต๋าน้อยกว่า 10 เท่ากับ ตอบ ความน่าจะเป็นเกี่ยวกับการตัดสินใจ ในชีวิตจริงมีเหตุการณ์บางเหตุการณ์แม้ว่าจะทราบว่ามีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด ก็อาจ ไม่เพียงพอที่จะช่วยในการตัดสินใจได้ จาเป็นต้องหาองค์ประกอบอื่นมาช่วยในการตัดสินใจ เช่น ผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์ซึ่งหมายถึง ผลตอบแทนที่ได้หรือผลตอบแทนที่เสีย ค่าคาดหมาย ผลรวมของผลคูณระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับผลตอบแทนของ เหตุการณ์
  • 16. ตัวอย่าง 11 ในการเล่นการพนันโยนเหรียญสองเหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง มีกติกาว่าถ้าเหรียญ ที่โยนออกหัวทั้งคู่ อัสนีจะจ่ายเงินให้วสันต์ 8 บาท แต่ถ้าเหรียญออกเป็นอย่างอื่น วสันต์ต้องจ่ายเงินให้อัสนี 2 บาท ในการเล่นการพนันครั้งนี้ ใครมีโอกาสได้เงิน มากกว่ากัน แนวคิด การโยนเหรียญ 2 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น มี 4 แบบ คือ และ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวทั้งคู่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ออกหัวทั้งคู่ ให้ ผลตอบแทนของเหตุการณ์ที่วสันต์ได้เงิน 8 บาท แทนด้วย ให้ ผลตอบแทนของเหตุการณ์ที่วสันต์เสียเงิน 2 บาท แทนด้วย ค่าคาดหมาย ( ผลตอบแทนที่ได้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวทั้งคู่ ) ( ผลตอบแทนที่เสีย ( ) . ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ออกหัวทั้งคู่ ) ( ) / บาท นั่นคือค่าคาดหมายที่วสันต์จะได้เงิน เท่ากับ บาท แสดงว่าวสันต์จะได้เงินมากกว่า อัสนี สังเกต ถ้าค่าคาดหมายที่คานวณได้เป็นจานวนลบ แสดงว่า อัสนีจะได้เงินมากกว่าวสันต์
  • 17. 8. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หรือเหตุการณ์ ข้อตกลงเบื้องต้น ในเรื่องที่จะกล่าวต่อไปนี้ ผู้เรียนจะต้องศึกษาเรื่อง เซต ให้เข้าใจเสียก่อนเกี่ยวกับการใช้ สัญลักษณ์ ในที่นี้จะใช้สัญลักษณ์ ⋃ แทน เหตุการณ์ หรือเหตุการณ์ แทน เหตุการณ์ และเหตุการณ์ แทน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ แทน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ ⋂ ( ⋃ ) ( ⋂ ) * ตัวอย่าง 12 กาหนดให้ + * + * จงหา ( หรือเหตุการณ์ และเหตุการณ์ ⋃ + ) ( ) วิธีทา จากกาหนดให้จะได้ว่า ( ) ( ) ( ) ( ) * ⋃ ( ( ⋃ ⋃ + ) ) ( ⋃ ( ) )
  • 18. ตอบ * ⋂ แต่ ( ) ( ดังนั้นสรุปได้ว่า ⋂ ) ( ) ) ( ( ⋂ ⋂ + ) ( ⋃ ) ( ) จากการหาความน่าจะเป็นของ ⋃ กรณีที่ 1 ( ) ( ( ⋂ ) มีส่วนที่เกิดร่วมกัน ดังแผนภาพ และ ( ⋃ ) แยกออกเป็น 2 กรณี ดังนี้ ( ) ( ) ⋂ )
  • 19. กรณีที่ 2 และ ไม่มีส่วนที่เกิดร่วมกัน ดังแผนภาพ 𝐸 ( 𝐸 ) ⋃ ( ) ( ) ตัวอย่าง 13 นักเรียนห้องหนึ่งมี 50 คน จากการสอบถามปรากฏว่ามีนักเรียนเป็นโรคตา 20 คน เป็นโรคฟัน 25 คน และเป็นโรคตาและโรคฟัน 10 คน ถ้าสุ่มนักเรียนในห้องนี้ขึ้นมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่เป็นโรคตาหรือโรคฟัน ( ) วิธีทา จากโจทย์จะได้ ( ) จานวนนักเรียนที่เป็นโรคตา ( ) ให้ จานวนนักเรียนที่เป็นโรคฟัน ( จากสูตร ) ( ⋃ ) จานวนนักเรียนที่เป็นโรคตาและโรคฟัน ( ) ( ) ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มได้นักเรียนคนหนึ่งที่เป็นโรคตาหรือฟัน ( ⋂ ) ตอบ
  • 20. * ตัวอย่าง 14 กาหนดให้ เป็นกลุ่มของจานวนเฉพาะใน วิธีทา เขียนเซต + จงหา เป็นกลุ่มของจานวนคี่ที่อยู่ใน ( ⋃ ) และ ( ⋂ ) * ใหม่จะได้ + ( ) * + ( ) * ⋃ + ( ⋃ ) ( ⋃ ) * ⋂ + ( ⋂ ) ( ⋂ ) ตอบ หมายเหตุ นอกจากวิธีนี้แล้วยังใช้สูตรได้ คือ ( ⋃ ) และ ( ) ( ) ( ⋂ ) ( ⋂ ) ( ) ( ) ( ⋃ )
  • 21. ตอบ แฟกทอเรียล (Factorial) กาหนดจานวนเต็มบวก หรือ เรียกสัญลักษณ์ ซึ่ง ( )( )( ว่า ) เช่น ( สิ่งที่ต้องจา )
  • 22. ตัวอย่าง 15 จงหาค่าของ 2. วิธีทา 1. ( ( ) ) ( 1. )( ) ตอบ 2. ( ( ) ) ( ) ( ( ( )( ) ) ) ( ) ( )( ) ( ) ตอบ วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) เป็นการจัดสิ่งของโดยถือลาดับเป็นสาคัญ หรือเรียกว่า การจัดลาดับก็ได้ เช่น จัดอักษร จัดอักษร 3 ตัว คราวละ 2 ตัว จัดได้คือ จัดอักษร 3 ตัว คราวละ 3 ตัว จัดได้คือ เขียน tree diagram ได้ดังนี้
  • 23. ถ้าให้ n แทนจานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ สิ่ง ที่แตกต่างกันคราวละ สิ่ง แล้ว n ( ตัวอย่าง 16 จงหาค่าของ 2. วิธีทา 1. 1. ) 5 จงหาค่าของ 5 ( ) ตอบ
  • 24. ( 2. ) ( ( ) ) ตอบ ตัวอย่าง 17 จัดตัวเลข คราวละ 3 ตัว ได้กี่จานวน วิธีทา เปรียบเสมือนจัดของ 6 สิ่งที่ต่างกันคราวละ 3 สิ่ง จัดได้ 6 ( จานวน ) จัดตัวเลข 6 ตัว ต่างกันคราวละ 3 ตัว จะได้เท่ากับ 120 จานวน ตอบ
  • 25. ตัวอย่าง 18 ในการเลือกประธานและรองประธานนักเรียนจากผู้สมัคร 12 คน จะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี วิธีทา เลือกได้ 12 ( ) วิธี การจัดของ สิ่งที่ต่างกันเป็นวงกลม จัดได้ ( รับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม ( จัดได้ ตอบ ) วิธี เช่น จัดคน 6 คน นั่ง ) วิธี การจัดหมู่ (Combination) เป็นการจัดสิ่งของโดยไม่ถือลาดับเป็นสาคัญ บางครั้งเรียกว่า “การเลือก” เช่น เรียงสับเปลี่ยน อักษร 3 ตัว คราวละ 2 ตัว เช่น จัด จัดได้ ซึ่งการจัดหมู่ถือว่า และ และ ดังนั้นจานวนวิธีการจัดหมู่จึงน้อยกว่าวิธีเรียงสับเปลี่ยน ถ้าให้ n และ เหมือนกันไปแต่ละคู่ แทนจานวนวิธการจัดหมู่สิ่งของ สิ่ง ที่แตกต่างกันคราวละ สิ่ง แล้ว ี n ( )
  • 26. ตัวอย่าง 19 จงหาค่าของ 8 และ 8 8 วิธีทา ( ) ตอบ 8 ( ) ตอบ จะเห็นว่า หรือ นั่นคือ เช่น 8 8 8 8 n n 100 100 10 10
  • 27. ตัวอย่าง 20 เลือกผู้แทน 3 คน จากผู้สมัคร 7 คน ได้กี่วิธี วิธีทา เลือกได้ 7 ( วิธี ) วิธี ตอบ ตัวอย่าง 21 หยิบลูกบอล 2 ลูก จากถุงซึ่งมีลูกบอลสีต่างกัน 10 ลูก จะเลือกหยิบได้กี่วิธี วิธีทา เลือกได้ 10 ( วิธี ) วิธี ข้อควรจา n n n ตอบ
  • 28. ไพ่ (Poker ) 1 สารับ มี 52 ใบ แบ่งออกเป็น ก. 2 สี คือ สีดา และสีแดง สีละ 26 ใบ ข. 4 ชุด คือ โพดา (spade) 13 ใบ โพแดง (heart) 13 ใบ ข้าวหลามตัด (diamond) 13 ใบ ดอกจิก (club) 13 ใบ โพดา (สีดา) โพแดง (แดง) ข้าวหลามตัด (สีแดง) ดอกจิก (สีดา) ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  • 29. ถ้านาสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์มาเขียน จะได้ รูปสามเหลี่ยมข้างบนเรียกว่า รูปสามเหลี่ยม ปาสกาล (Pascal’s triangle) ( สูตรการกระจาย ( ( n ) ตัวอย่าง 22 จงกระจาย วิธีทา ) ( n ) 6 ) n 6 6 6 6 ตอบ หมายเหตุ 6 6
  • 30. 6 ข้อสังเกต ในขณะที่เลขชี้กาลังของ ลดลงทีละ 1 เลขชี้กาลังของ 2 เพิ่มขึ้นทีละ 1 และจานวน พจน์ที่กระจายได้จะมากกว่าเลขชี้กาลังอยู่ 1 เสมอ ตัวอย่าง 23 จงกระจาย วิธีทา ( ) ( ) ( , )- 7 7 ( ( 7 ) ( ( ) ( ( ( ) ) ( ( ) ) ) 7 ) ( ( ) ) ( 7 ( 7 ) ( ( ) ) ) ( ) ( ( ) ) ) ตอบ พจน์ทั่วไปของการกระจาย ( ให้ เป็นพจน์ที่ ) ของการกระจาย n ( )
  • 31. ตัวอย่าง 24 จงหาพจน์ที่ 9 ของการกระจาย ( ) วิธีทา 12 ตอบ ตัวอย่าง 25 จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจาย ( ) วิธีทา 11 ( ) ( ( )( ) ) ( ) ตอบ