Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)4. Funciones y curvas extraordinarias, o un paseo ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Así, Leibnitz también restringió las funciones al ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)La controversia, en esencia, giraba en torno del c...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)considerar funciones definidas en conjuntos arbitr...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)esto en un intervalo finito? Sin embargo, tales fu...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)donde los puntos indican cualquier combinación de ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)El conjunto de puntos que llamamos húmedos fue con...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)escalón mide 1/3, los siguientes miden 1/9 cada un...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)que la curva de la Figura 20 tiene todo un continu...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) F...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Los matemáticos construyeron muchas funciones cont...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Su resultado fue un embrollo de líneas quebradas p...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Después de cinco pasos obtenemos la figura que apa...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Pero la alfombra de Sierpinski no es la figura más...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)7. Una figura es aquello que está contenido...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)de ninguna manera fueran del tipo “ésta es una cos...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)¿Qué es una curva cerrada? ¿Por qué es la frontera...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)g(t). Más precisamente, si t1,..., tn,… tienden a ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Fi...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)El teorema es obvio, pero la demostración noUsando...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Así, la transformación de Cantor del segmento al c...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) F...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)De hecho, el punto puede recorrer la circunferenci...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Para separar esta clase de figuras tenemos que dec...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)poco distintos de las figuras ordinarias pero con ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Curvas de CantorAhora podemos responder a la pregu...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) F...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Procedamos de una manera económica y dividamos el ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)¿podrá una curva “buena” sin auto-intersecciones t...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)tal como dibujamos una curva que pasa por todos lo...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)El gran proyecto de irrigaciónHablaremos ahora sob...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Urysohn comprendió rápidamente que el problema de ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) F...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)definición, tendríamos que la dimensión de un cuad...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Fue claro también cómo definir superficie, sólido ...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) F...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)agosto de 1924, al nadar durante una tormenta en e...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)3. Por medio de las reglas algebraicas y de la lóg...
Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)16. Hacer lo mismo para los puntos cuyos desarroll...
of 48

Narraciones2[1]

Published on: Mar 3, 2016
Source: www.slideshare.net


Transcripts - Narraciones2[1]

  • 1. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)4. Funciones y curvas extraordinarias, o un paseo por un museo de arte matemáticoCómo se desarrolló el concepto de funciónLos conceptos matemáticos han tenido un largo periodo de desarrollo. Surgieron comogeneralizaciones de ideas intuitivas derivadas de la experiencia cotidiana. Al quitarlesgradualmente aspectos especiales y accidentales, estas ideas intuitivas cristalizaronlentamente en definiciones matemáticas precisas. A menudo ocurría que estas definicionesse podían aplicar no sólo a aquellos objetos cuyo estudio llevó a la formulación de talesdefiniciones, sino también a otros objetos no considerados anteriormente. Al desarrollar elestudio de estos nuevos objetos, el proceso de abstracción pasó a otros niveles, extendiendolas definiciones originales con base en los nuevos estudios. Los conceptos matemáticosadquirieron así un significado más amplio, abarcando clases más y más grandes de objetos,presentes en campos muy variados de las matemáticas.El concepto de número, por ejemplo, tuvo ese largo periodo de desarrollo, empezando enlos tiempos prehistóricos cuando la gente sólo podía contar “uno, dos, muchos”,continuando hasta nuestros días con los números naturales, las fracciones, los númerosnegativos, los números complejos, los cuaternios, los números hipercomplejos,... Es justoreconocer que no todas las generalizaciones de ciertos conceptos tuvieron una acogidaentusiasta entre los matemáticos. Por ejemplo, durante mucho tiempo los númeroscomplejos e incluso los números negativos no fueron reconocidos como reales por muchosmatemáticos.El concepto de función también siguió un camino tortuoso. La idea de la interdependenciade dos cantidades parece haber surgido en la ciencia griega clásica, aunque las cantidadessólo tenían una naturaleza geométrica. El propio Newton, uno de los fundadores del análisismatemático, usó solamente el lenguaje geométrico en su discusión de las cantidadesinterdependientes. Aunque el concepto de función había sido usado realmente desde eltiempo de Fermat y Descartes, el término “función” sólo apareció hasta 1694, en lostrabajos del matemático alemán Leibnitz. Él y Newton comparten el crédito de haberestablecido los fundamentos del cálculo. Pero el concepto de función de Leibnitz era muyestrecho: Él decía que la abscisa, la ordenada, la subtangente y la subnormal, el radio decurvatura y otros segmentos de recta se relacionaban con un punto bien definido de la curvay decía que existía cierto tipo de dependencia entre cualesquiera dos de estos segmentos.
  • 2. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Así, Leibnitz también restringió las funciones al ámbito de la geometría. Fue únicamentehasta 1718 que J. Bernoulli, alumno de Leibnitz, dio una definición del concepto de funciónlibre del lenguaje geométrico:Una función de una cantidad variable es una magnitud formada de alguna manera a partirde esta cantidad variable y constantes.El siguiente paso en el desarrollo del concepto de función está ligado con el nombre deLeonhard Euler, de la Academia de Petersburgo, un alumno brillante de J. Bernoulli. En suobra Cálculo Diferencial definió así el concepto de función:Las cantidades que dependen de otras de tal forma que si las segundas cambian, entoncestambién cambian las primeras, son funciones.Sin embargo, Euler y los otros matemáticos de su tiempo requerían que una función sepudiera expresar por medio de una fórmula. Desde el punto de vista de los matemáticos delsiglo XVIII la expresión (4.1)define no una, sino dos funciones.Fue evidente que el asunto era mucho más complejo. Al resolver el problema de la cuerdavibrante, D. Bernoulli obtuvo una respuesta en la forma de lo que se llama una serietrigonométrica. No hablaremos aquí de estas series; sólo diremos que la forma de la cuerdaestá dada por una sola fórmula, aunque contenga un número infinito de términos.Este mismo problema de la cuerda vibrante fue resuelto por el matemático francésdAlembert. Su solución tenía una forma un poco distinta a la de Bernoulli y, lo que es másimportante, podía ser dada por fórmulas distintas para valores distintos del argumento.Surgió entonces una contradicción aparentemente irresoluble ante los matemáticos del sigloXVIII. Se habían obtenido dos respuestas para el mismo problema, una expresada medianteuna única fórmula y la otra expresada mediante varias fórmulas. La solución de D.Bernoulli fue cuestionada desde este punto de vista. Se pensó que no había encontradotodas las soluciones al problema, sino sólo las soluciones expresables mediante una fórmulaúnica. Surgió una amarga controversia en la cual tomaron parte algunos matemáticos delsiglo XVIII: Euler, dAlembert y otros.
  • 3. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)La controversia, en esencia, giraba en torno del concepto de función, la conexión entre ladependencia funcional y la posibilidad de expresar esta dependencia por medio de unafórmula. Se obtuvo una solución definitiva a esta pregunta al principio del siglo XIX,cuando el matemático francés J. Fourier mostró que la suma de una serie infinita defunciones trigonométricas se puede expresar mediante diferentes fórmulas en intervalosdistintos. Él dio entonces una nueva definición de función, enfatizando la asignación devalores; el hecho de que esta asignación se hiciera por medio de una fórmula o no carecíade importancia.El resultado de Fourier fue mejorado por el matemático alemán Dirichlet, quien mostró quecualquier curva puede ser la gráfica de la suma de una serie trigonométrica. Sólo serequería que el número de máximos y mínimos en la curva fuera finito y que la curvatuviera amplitud acotada. Dirichlet también mejoró la definición de función dada porFourier, dándole la forma actual. Lacroix, Lobachevsky y otros matemáticos habían dadoalgunas definiciones parecidas poco antes de Dirichlet. La definición de Dirichlet es:Una cantidad variable y es función de una cantidad variable x si a cada valor de lacantidad x le corresponde un valor de la cantidad determinado de manera única.Posteriormente se añadieron las palabras “perteneciente a algún conjunto” a las palabras“cada valor de la cantidad x”, ya que la función no tiene que estar definida para todos losvalores de x.Esta definición era extremadamente general: no decía nada acerca de la necesidad de dar lafunción por medio de una única fórmula válida en todo el dominio de definición de lafunción. Además, no era necesario dar ninguna fórmula, basta definirla mediante palabras.Por ejemplo, el propio Dirichlet estudió la función (4.2)Esta definición no especificaba una función, desde el punto de vista de los matemáticos delsiglo XVIII, ya que no se daba ninguna fórmula que permita a uno calcular los valores de lafunción de Dirichlet. Sin embargo, esta definición determina completamente la función. Porejemplo, es claro que f(3/4) = l, mientras que f(√2) = 0.La definición de Dirichlet, en esencia, era la definitiva (con el refinamiento indicado) parafunciones numéricas con argumento numérico. Los desarrollos posteriores consistieron en
  • 4. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)considerar funciones definidas en conjuntos arbitrarios y con valores en conjuntosarbitrarios. Supongamos que se tienen dos conjuntos A y B y que cada elemento a de Atiene asociado un elemento b de B. Entonces decimos que se ha definido en A una funcióncon valores en el conjunto B. En esta formulación tan general, el concepto de función sefunde con el de correspondencia, aplicación y transformación.Por ejemplo, desde este punto de vista, el área de un triángulo es una función definida en elconjunto de todos los triángulos y con valores en el conjunto de números positivos. Elcírculo inscrito en un triángulo es una función definida en el conjunto de todos lostriángulos con valores en el conjunto de círculos. Pero aquí no utilizaremos ese punto devista tan general; restringiremos nuestra atención a funciones definidas en conjuntos denúmeros y que toman valores numéricos.El genio escapa de la lámparaLa definición de Dirichlet permite que las funciones tengan propiedades muy singulares.Anteriormente, si se quería construir una función con alguna propiedad poco usual, habíaque perder mucho tiempo combinando distintas fórmulas antes de tener éxito; ahora eltrabajo era más simple, se podían construir y estudiar varias funciones sin preocuparse porel hecho de que fuesen expresadas mediante fórmulas. A partir de la última mitad del siglose comenzó a construir funciones con propiedades completamente distintas de las de lasfunciones “bien comportadas”. En realidad, ni siquiera el propio Dirichlet creía queexistieran tales monstruos.La propia función de Dirichlet, de la que hablamos anteriormente, ya es poco usual.Después de todo, hay una infinidad de números racionales e irracionales en cualquierintervalo del eje x, sin importar su tamaño. Pero la función de Dirichlet vale uno para losnúmeros racionales y cero para los irracionales. Así, si nos movemos a lo largo del eje x, elvalor de la función constantemente salta entre 0 y 1. Es imposible graficar esta función,puesto que es discontinua en cada punto.Incluso algunas funciones continuas tienen ciertas propiedades inesperadas. Por ejemplo,¿puede una función continua tener una infinidad de máximos y mínimos en un intervalofinito? A primera vista, esto parece imposible. La curva necesitaría espacio para bajar desdeun máximo hasta un mínimo y luego para subir a un máximo, etcétera. ¿Cómo puede hacer
  • 5. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)esto en un intervalo finito? Sin embargo, tales funciones tan singulares existen y es simpleconstruir una.Construiremos tal función en el segmento [0,1]. Primero cortamos el segmento en dos yconstruimos un triángulo equilátero en la mitad de la izquierda. Ahora dividimos la mitadde la derecha en dos partes iguales y construimos un segundo triángulo equilátero en elsegmento [1/2, 3/4]. Hacemos la operación descrita una infinidad de veces. Como resultadoencontraremos una serie de montañas con una infinidad de cúspides que gradualmentebajan hasta el punto 1, como se ve en la Figura 18. Tomamos la curva obtenida como lagráfica de la función f(x). Así la función está definida en cada punto del segmento [0,1] conexcepción del extremo de la derecha, l. Hacemos f(1) = 0. Figura 18.Como la altura de las cúspides tiende a 0 cuando x tiende a 1, obtenemos una funcióncontinua en todos los puntos del segmento [0,1]. ¡Pero el número de máximos y mínimosen este segmento es infinito!Para construir una función tan extraña, un matemático del siglo XVIII hubiera invertidomucho tiempo buscando combinaciones de funciones antes de conjeturar que la función (4.3)tiene una infinidad de máximos y mínimos en el segmento [0,1] (Figura 19).
  • 6. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 19.Pero las funciones con una infinidad de máximos y mínimos sólo eran la primera de lasdesagradables sorpresas que se reservaban para los matemáticos. El genio sólo había salidode la lámpara.Puntos húmedosLa función construida en la sección anterior sólo tiene un punto cerca del cual hay unainfinidad de máximos y mínimos, el punto l. Ahora construiremos otra función con muchosmás de estos puntos.Imaginemos que cae la lluvia en el segmento [0,1] del eje x. Construimos un refugio contrala lluvia como sigue. Dividimos el segmento [0,1] en tres partes iguales y levantamos unatienda de campaña en la forma de un triángulo equilátero en la parte central. Ésta protege atodos los puntos de la parte central contra la lluvia, excepto los extremos, es decir, lospuntos 1/3 y 2/3. Figura 20. La lluvia cae.Ahora dividimos cada uno de los dos pedazos restantes en tres partes y protegemos la partecentral con una tienda de la misma forma, pero de la mitad del ancho. Así obtenemos lacurva que se muestra en la Figura 21. En el tercer paso de este procedimiento levantamoscuatro tiendas más, luego ocho más, etcétera.
  • 7. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 21¿Todos los puntos del segmento han sido protegidos por la curva dentada? ¿Quedan puntosque se mojen con la lluvia? Es fácil señalar algunos de los puntos “húmedos”; por ejemplo,los extremos de los segmentos protegidos; es decir, puntos como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9,etcétera. Todos estos puntos quedan desprotegidos cuando las tiendas correspondientes selevantan y permanecen desprotegidos por las tiendas levantadas posteriormente. Es fácil verque hay una infinidad de tales extremos pero que sólo forman un conjunto numerable.Ocurre, sin embargo, que hay un conjunto no numerable de puntos “húmedos” además delos anteriores. Es conveniente usar la representación ternaria para describirlos. Comosabemos, la representación ternaria se forma de la misma manera que la representacióndecimal, excepto que los números se agrupan de tres en tres en vez de diez en diez. Así, enla representación ternaria sólo usamos los dígitos 0, 1, 2 para escribir los números, en vezde los diez que ordinariamente usamos.Es fácil aprender a cambiar la representación de un número cuya representación ternaria es0.02020202...El número está representado en el sistema decimal por la serie geométrica (4.4)La suma de esta serie es l/4. Así, (4.5)Ahora podemos decir con exactitud cuáles puntos permanecen húmedos después de ponertodas las tiendas protectoras. La primera tienda protege a los puntos que están entre 1 y 2.Pero éstos son justamente los puntos cuyas representaciones ternarias tienen la forma0.1... (4.6)
  • 8. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)donde los puntos indican cualquier combinación de los dígitos 0, 1 y 2 (en la misma formaque todos los puntos cuya representación decimal empieza con el dígito 1, es decir, tienenla forma 0.1..., están entre los puntos 1/10 y 2/10).Aquellos puntos que siguen húmedos después del primer paso son aquellos cuyarepresentación ternaria tiene la forma0.0... (4.7)o bien0.2... (4.8)Podemos demostrar de la misma manera que después de poner las dos tiendas del segundopaso los puntos que permanecen húmedos son sólo aquellos que empiezan con una de lassiguientes cuatro combinaciones:0.00...0.02... (4.9)0.20...0.22...Así, cualquier punto en cuya representación ternaria aparezca 1 quedará protegido de lalluvia en algún momento. Al final sólo permanecen húmedos aquellos cuya representaciónternaria pueda escribirse sin usar l. Por ejemplo, los puntos (4.10)y (4.11)permanecen húmedos.Ahora es claro por qué el conjunto de puntos “húmedos” tiene la cardinalidad del continuo.Este conjunto puede ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de telegramasinfinitos [ver (3.20)]. Podemos hacer esto poniendo cada punto de la forma0.20220200... (4.12)en correspondencia con un telegrama infinito remplazando 0 por el punto y 2 por el guión,Al seguir este procedimiento, números distintos corresponden a telegramas distintos. Yasabemos que el conjunto de telegramas infinitos tiene la cardinalidad del continuo, de modoque el conjunto de puntos húmedos también tendrá esta cardinalidad.
  • 9. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)El conjunto de puntos que llamamos húmedos fue construido por primera vez por Cantor yahora se llama el conjunto de Cantor. La construcción de las tiendas muestra que la curvadentada tiene una infinidad de máximos y mínimos cerca de cada punto del conjunto deCantor.La escalera del diabloExiste otra interesante función relacionada con el conjunto de Cantor, definida como sigue:Primero dividimos el segmento [0,1] en tres partes iguales y decimos que nuestra funciónvale 1/2 en cada punto del tercio medio. Luego dividimos los tercios de la izquierda y de laderecha en tres partes iguales y decimos que la función vale 1/4 de 1/9 hasta 2/9 y vale 3/4de 7/9 a 8/9. Ahora tenemos cuatro segmentos en los que no hemos definido todavía lafunción: (4.13)Dividimos cada uno en tres partes iguales y hacemos la función igual a 1/8, 3/8, 5/8, 7/8,respectivamente en las cuatro partes intermedias.Siguiendo este proceso, obtenemos una función definida en todos los puntos “secos”, esdecir, en todos los puntos que no pertenecen al conjunto de Cantor. Es fácil definirlatambién en los puntos de este conjunto, de tal forma que sea continua y no decreciente en elsegmento [0,1]. Una aproximación a la gráfica de la función obtenida aparece en la Figura22. Tiene la forma de una escalera con un número infinito de escalones. Figura 22.Por supuesto, después de aprender algo acerca de las curvas con una infinidad de máximosy mínimos, no nos sorprenderemos con una escalera con una infinidad de escalones. Peroaquí hay algo sorprendente. Calculemos la longitud total de nuestra escalera. El primer
  • 10. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)escalón mide 1/3, los siguientes miden 1/9 cada uno, los siguientes cuatro tienen unalongitud de 1/27 cada uno, etcétera. Así, la suma de las longitudes de todos los escalones seexpresa mediante la serie geométrica (4.14)La suma de esta serie es (4.15)Por lo tanto, la longitud total de la escalera es l. Pero la función no crece en los escalones;sólo gana altura en los puntos del conjunto de Cantor. Pero muy “pocos” puntos caen eneste conjunto; aun cuando su cardinalidad es la del continuo, ¡su longitud es cero! (Lalongitud del segmento [0,1] es 1 y la longitud total de los escalones es 1.) ¡Nuestra funciónse las arregla de alguna manera para subir de 0 a 1, aun cuando sólo crece en un conjuntode longitud cero sin dar saltos! ¿No es esto realmente sorprendente?Una curva con púasDurante muchos siglos, los matemáticos trabajaron sólo con curvas tales que en cada unode sus puntos se podía construir una tangente. Si había excepciones a esta regla, éstasocurrían sólo en unos cuantos puntos. La curva parecía quebrarse en estos puntos, llamadospuntos de fractura. La curva trazada en la Figura 23(a) tiene dos puntos de fractura,mientras que la curva de la Figura 23(b) tiene diez puntos de fractura. Figura 23.Las curvas que construimos en la sección anterior tienen una infinidad de puntos defractura: la curva de la Figura 19 tiene un conjunto numerable de dichos puntos, mientras
  • 11. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)que la curva de la Figura 20 tiene todo un continuo de tales puntos. Se quiebra en cadapunto del conjunto de Cantor y además en las cúspides de todos los triángulos. La curva dela Figura 21 se quiebra en un conjunto relativamente pequeño de puntos, pues su longitudes igual a cero.Durante mucho tiempo, los matemáticos no creyeron en la existencia de una curva continuacompuesta en su totalidad por “dientes”, “fracturas” o “púas”. Por esto, se sorprendieroncuando alguien logró construir tal curva, e incluso una función cuya gráfica se parece a unalambre de púas. El primero en lograr esto fue el matemático checo Bolzano, pero sutrabajo sólo fue publicado después de mucho tiempo. El primer ejemplo publicado fue eldel matemático alemán K. Weierstrass. Sin embargo, es difícil para nosotros presentar elejemplo de Weierstrass, ya que se basa en la teoría de series trigonométricas.Ahora analizaremos el ejemplo de Bolzano, haciendo unos ligeros cambios. Primerodividimos el segmento [0,1] en cuatro partes iguales y construimos un triángulo rectánguloisósceles sobre las dos partes centrales (Figura 24a). La curva resultante es la gráfica dealguna función que denotaremos por y = f1(x). A continuación dividimos cada una de lascuatro partes nuevamente en cuatro partes iguales y construimos otros cuatro triángulosrectángulos isósceles (Figura 24b). Esto nos da la gráfica de una segunda función y = f2(x).Si sumamos estas dos funciones, la gráfica de la suma y = f1(x) + f2(x) tiene la formaseñalada en la Figura 24c. Es claro que esta curva tiene más fracturas, distribuidas en formamás densa. En el siguiente paso, dividimos nuevamente cada pedazo en cuatro partes,construyendo ahora 16 triángulos rectángulos isósceles y sumando la funcióncorrespondiente y = f3(x) a la función y = f1(x) + f2(x).
  • 12. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 24.Al continuar este proceso, obtenemos una curva con un número cada vez mayor defracturas. En el límite obtenemos una curva con una fractura en cada punto y tal que enningún punto existe una recta tangente.Un ejemplo similar de una curva tal que en ningún punto existe una recta tangente fueconstruido por el matemático holandés Van der Waerden. Él consideró un triánguloequilátero, dividió cada uno de sus lados en tres partes iguales y entonces construyó nuevostriángulos equiláteros con cúspides apuntando hacia fuera de las tres secciones centrales.Esto dio como resultado una figura parecida a una estrella de seis puntas (Figura 25). Luegosiguió dividiendo cada uno de los 16 lados de esta estrella en tres partes iguales yconstruyendo triángulos equi1áteros. Esto dio una curva con más puntas, que aparece en laFigura 25b. Después de una infinidad de divisiones y construcciones de triángulos obtuvouna curva que en cada punto tenía una fractura o punta. Figura 25.
  • 13. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Los matemáticos construyeron muchas funciones continuas cuyas gráficas poseen lapropiedad de que en ningún punto existe una recta tangente y empezaron a estudiar suspropiedades. Estas propiedades no se parecían a las de las funciones suaves “biencomportadas” con las que habían trabajado hasta entonces. No es raro, entonces, que losmatemáticos entrenados en la tradición clásica vieran a estas nuevas funciones conasombro. El eminente exponente del análisis clásico Charles Hermite escribió lo siguiente asu amigo el matemático holandés Stieltjes:“Me horrorizo de esta plaga deplorable de funciones continuas que no tienen derivada nisiquiera en un punto” (es decir, como nosotros las hemos llamado, curvas con púas en todaspartes).El famoso matemático francés H. Poincaré escribió:“En los viejos tiempos había algún propósito práctico tras la búsqueda de nuevas funciones;ahora las funciones se inventan específicamente para señalar saltos en el razonamiento denuestros predecesores; no se pueden sacar de ellas más conclusiones que ésta.” Figura 26.Pero el desarrollo posterior de la ciencia mostró que Poincaré estaba equivocado. En físicaencontramos curvas que son una clara reminiscencia de las curvas con púas en todas partes.Estas curvas son las trayectorias de las partículas con movimiento browniano. El científicofrancés F. Peppin hizo un bosquejo del movimiento de estas partículas. Él observó susposiciones cada 30 segundos y unió los puntos así obtenidos con segmentos de línea recta.
  • 14. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Su resultado fue un embrollo de líneas quebradas parecido al dibujo de la Figura 26. Perono se debe pensar que las partículas observadas en la realidad se movían en líneas rectasentre cada observación. Si Peppin las hubiera observado cada medio segundo en vez demedio minuto, hubiera tenido que reemplazar cada segmento de recta por una líneaquebrada mucho más complicada, como en la Figura 26. Mientras menor fuera el intervaloentre las observaciones, la línea quebrada se volvería más complicada, con cada vez más“púas”. El matemático norteamericano N. Wiener mostró que si las partículas conmovimiento browniano son suficientemente pequeñas como para despreciar su inercia,éstas se mueven a lo largo de curvas tales que en ningún punto poseen una recta tangente.Una curva cerrada de longitud infinitaCon frecuencia encontramos curvas de longitud infinita: la línea recta o la parábola, porejemplo. Pero todas estas curvas se van a infinito, así que no es sorprendente que tenganlongitud infinita. Sin embargo, no es difícil construir una curva totalmente contenida en unaregión finita del plano y que siga teniendo longitud infinita. Para esto podemos tomar unacircunferencia y enrollar una espiral con una infinidad de vueltas alrededor de ella (Figura27). Como el número de vueltas es infinito y la longitud de cada vuelta es mayor que lalongitud de la circunferencia, la longitud de la espiral debe ser infinita. Figura 27.Pero… ¿Podríamos construir una curva cerrada de longitud infinita?Las curvas cerradas ordinarias (la circunferencia, la elipse, la cardioide de la Figura 28)tienen longitud finita. Sin embargo, la longitud de la curva con púas de Van der Waerden esinfinita.
  • 15. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 28.El perímetro del triángulo original es 3. Como se puede calcular fácilmente, la estrella quese obtiene en el primer paso tiene longitud 4. En la siguiente etapa obtenemos una curvacompuesta por 48 segmentos, cada uno de longitud 1/9. Así, su perímetro es 48/9. Luegoobtenemos una curva que mide 192/27, etcétera. En general, en el paso n–ésimo obtenemosuna curva con perímetro 3(4/3)n. Pero esta expresión tiende a infinito al crecer n, con lo quese tiene que la longitud de la curva de Van der Waerden es infinita.Hay otras curvas de longitud infinita. Construiremos la siguiente curva como ejemplo.Dividimos el segmento [0,1] a la mitad y construimos un triángulo isósce1es de altura 1 enla mitad de la izquierda. Ahora dividimos la mitad [1/2,1] en dos partes iguales yconstruimos un triángulo isósce1es de altura ½ en el pedazo [1/2,3/4] de la izquierda.Construimos el siguiente triángulo isósceles, de nuevo de altura 1/2, en el segmento[3/4,7/8]. Los siguientes cuatro triángulos se construyen con altura 1/4, etcétera. (Figura 29) Figura 29.Obtenemos una cadena descendente de montañas como en la Figura 18. Pero aquí la cadenadesciende muy lentamente. Es claro que la longitud de cada lado del primer triángulo esmayor que 1, que la longitud de los lados del segundo y tercero triángulos es mayor que l,que la longitud de los lados del cuarto, quinto, sexto y séptimo es mayor que 1, etcétera.(La longitud del lado siempre es mayor que la altura.) Así, la longitud de la línea quebradano es menor que la suma de la serie
  • 16. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) (4.16)Pero la suma de los números dentro de cada paréntesis es 2 y el número de paréntesis esinfinito; de ahí que la suma de la serie y la longitud de nuestra curva sean infinitas.Una alfombra matemáticaSe dice que en cierta ocasión Catalina II preguntó a uno de sus generales la diferencia entreun mortero y un obús. El desconcertado general replicó: “Verá, Majestad, un mortero esuna cosa y un obús es otra cosa”. Probablemente recibiríamos una respuesta tan informativacomo ésta si preguntáramos a una persona con pocos conocimientos de matemáticas ladiferencia entre una curva, una superficie y un sólido. Más que eso, se sorprendería de quepreguntáramos cosas tan obvias. Después de todo, es claro que una curva, una superficie yun sólido son cosas distintas y nadie diría que una circunferencia es una superficie o queuna esfera es una curva.Un ingenioso maestro de ajedrez dijo una vez que la diferencia entre un maestro y unprincipiante en el juego de ajedrez es que el principiante tiene todo claro en su mente,mientras que para el maestro todo es un misterio. Así ocurre también con nuestra pregunta.Por supuesto, cuando hablamos de figuras geométricas como un cuadrado o un círculo,nadie duda cuál es una curva y cuál una superficie. Pero en el transcurso del desarrollomatemático, desde los trabajos de Cantor, han aparecido muchas figuras geométricasextrañas y aún un profesor con experiencia y conocimientos, ni qué decir de un estudiante,no podría decidir de inmediato si son curvas, superficies o sólidos.Presentaremos algunas de estas figuras. Consideremos el segmento [0,1], lo dividimos endos y levantamos una perpendicular de longitud ½ al centro del segmento. A continuaciónvolvemos a dividir cada una de las mitades en dos y construimos una perpendicular, estavez de longitud 1/4, en cada uno de los nuevos puntos de división. Nuevamente dividimoslas secciones obtenidas en dos partes y levantamos perpendiculares de longitud 1/8 en lospuntos de división. Figura 30.
  • 17. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Después de cinco pasos obtenemos la figura que aparece en la Figura 30. Pero no nosdetendremos después de cinco pasos, sino que continuaremos nuestra operación unainfinidad de veces. El resultado es cierta figura geométrica. Pero ¿es una curva o unasuperficie? Después de todo, hemos levantado un número infinito de perpendiculares. ¿Nose solidifican y llenan un poco de superficie cerca del segmento [0,1]? No es tan fácilresponder esta pregunta.Aquí hay otro ejemplo. Consideramos un cuadrado de lado 1 y lo dividimos en 9 partesiguales; entonces eliminamos la parte central, conservando los lados del cuadradoeliminado. Después de esto, dividimos cada uno de los cuadrados restantes en 9 cuadradosiguales y de nuevo eliminamos los cuadrados centrales. Después de otra de estasoperaciones obtenemos lo que aparece en la Figura 31 (los cuadrados eliminados estánmarcados con diagonales). Es claro que la figura sigue siendo una superficie. Pero no nosdetendremos en el tercer paso; los cuadrados serán divididos en nueve partes iguales unainfinidad de veces y en cada vez se eliminará la parte central. Al final, obtendremos unafigura geométrica llamada alfombra de Sierpinski, en honor del matemático polaco que ladiseñó. Figura 31.La figura se parece a una ropa elaborada por un tejedor enloquecido. El hilo, el armazón yla trama se entrelazan en un diseño muy simétrico y hermoso. Pero la alfombra resultanteestá llena de agujeros; no hay un pedazo sin un recorte: aún el cuadrado más pequeño debetener su centro recortado. No es claro si esta alfombra es una curva o una superficie. Por unlado, no contiene un pedazo sólido, por lo cual difícilmente podría decirse que es unasuperficie. Por otro lado, los hilos que la forman están tejidos en un patrón tan complejoque probablemente nadie diría resueltamente que la alfombra de Sierpinski es una curva. Encualquier caso, sería muy difícil trazar esta “curva”.
  • 18. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Pero la alfombra de Sierpinski no es la figura más complicada que podemos construir coneste procedimiento. En lugar de un cuadrado podríamos considerar un cubo, dividirlo en 27cubos pequeños iguales y eliminar el pequeño cubo central junto con sus cubos contiguos.Entonces dividiríamos cada cubo pequeño restante en 27 partes iguales y repetiríamos laoperación de eliminación de ciertas partes (el sólido que queda después de dos operacionesaparece en la Figura 32). Figura 32.Supongamos que la operación se realiza una infinidad de veces. ¿Qué tipo de figuraobtendríamos después de eliminar todos los pedazos? ¿Una curva, una superficie o unsólido?Euclides no confía en EuclidesCuando se presentaba un complicado problema geométrico a los matemáticos de laantigüedad, lo primero que hacían era ver lo que Euclides había escrito sobre él. Durantecasi dos mil años, Euclides fue el modelo de1 rigor matemático y una enciclopedia deconocimiento geométrico. Es muy significativo que incluso los filósofos que queríangarantizar el rigor de sus argumentos recurrían al lenguaje de Euclides y formulaban susenunciados como axiomas, lemas y teoremas.Pero en lo que se refiere a nuestra cuestión, lo que escribió Euclides era completamentevago. Las primeras líneas de los Elementos de Euclides dicen así:1. Un punto es aquello que no tiene partes.2. Una curva es aquello que tiene largo pero no ancho.3. El extremo de una curva es un punto.4. Una superficie es aquello que sólo tiene largo y ancho.5. El extremo de una superficie es una curva.6. Una frontera es aquello que es el extremo de algo.
  • 19. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)7. Una figura es aquello que está contenido dentro de algo o dentro de algunasfronteras.Se quiera o no, éstas no son definiciones matemáticas rigurosas. Una persona que no sepalo que son los puntos, las curvas o las líneas difícilmente obtendrá información útil de estas“definiciones”, que recuerdan a la respuesta de aquel confuso general (“una curva es unacosa y una superficie es otra cosa”). De cualquier forma, no sabremos a partir de estasdefiniciones si la alfombra de Sierpinski es una curva o una superficie, si sólo tiene largosin ancho o si tiene ambos.Sin embargo, las figuras complicadas como la alfombra de Sierpinski no eran conocidas enel tiempo de Euclides y en realidad las definiciones no eran necesarias para las figurassimples; cualquiera podía decir cuáles eran las curvas y cuáles eran las superficies en unafigura. Sin embargo, se piensa que el propio Euclides sentía que no todo era correcto en susdefiniciones de los conceptos fundamentales. En cualquier caso, presentó estas definicionesal principio del libro y siguió adelante olvidándolas por completo; no las usó ni siquiera unavez en el resto de su trabajo.¿Son necesarias las definiciones rigurosas?La autoridad de Euclides no fue cuestionada durante dos mil años. El hecho de que alguiendudara de sus enunciados de alguna manera derrumbaba de manera irrevocable su propiareputación matemática. Uno de los más grandes matemáticos del siglo XIX, Karl FriedrichGauss, concibió la idea de una geometría no euclidiana aún antes que Lobachevsky, pero nopublicó sus investigaciones por temor, según escribió a un amigo, a las voces de losBoecios1. Finalmente el gran geómetra ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicó susdescubrimientos a pesar de la mofa de los incomprensivos sabios y brindó al mundo lageometría no euclidiana.La aparición del trabajo de N. I. Lobachevsky mostró que existen dos geometrías, ambasirreprochables en su lógica, pero que llevan a teoremas completamente distintos. Pero siesto era así, entonces cualquier apelación a lo “geométricamente obvio” perdía porcompleto su valor. Ahora, cada afirmación geométrica debía basarse en definicionesrigurosas y en argumentos lógicos irreprochables. Era especialmente importante dar unadefinición exacta de los conceptos geométricos fundamentales (curva, figura y sólido) que1 Una tribu griega proverbialmente estúpida.
  • 20. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)de ninguna manera fueran del tipo “ésta es una cosa y esa es otra cosa.” Este intento porestablecer definiciones rigurosas no sólo caracterizó a la geometría sino también al análisisdel siglo XIX.La ciencia ha logrado resolver los más variados problemas, desde calcular la trayectoria deun proyectil de artillería hasta predecir los movimientos de planetas y cometas, con laayuda del cálculo diferencial e integral basado en el trabajo de Newton, Leibnitz, Euler,Lagrange y otros grandes matemáticos de los siglos XVII y XVIII. Pero los conceptosfundamentales con los que se obtuvieron resultados tan admirables estaban definidos de unamanera sumamente carente de rigor.El análisis matemático de aquella época se basaba en el concepto de cantidad infinitesimal,algo que se balanceaba en la frontera de la existencia y la inexistencia; algo nulo, pero nonulo en realidad. Los matemáticos del siglo XVIII se veían forzados a apoyar a susescépticos estudiantes con las palabras: “Trabaja y creerás.”Pero, en realidad, las matemáticas no son una religión; no se basan en la fe. Lo másimportante es que los métodos que daban tan maravillosos resultados en las manos de losgrandes maestros empezaron a arrojar errores y paradojas al ser utilizados por susestudiantes, menos talentosos que los primeros. Los maestros se salvaban del error por suintuición matemática, aquel sentimiento subconsciente que a menudo lleva a la respuestacorrecta más rápidamente que el largo razonamiento lógico. Pero los estudiantes no poseíanesta intuición y el final del siglo XVIII quedó marcado por un escándalo sin precedentes enmatemáticas, una sarta de fórmulas con menor valor que el papel donde estaban escritas yteoremas cuestionables cuyo dominio de aplicación era totalmente oscuro.Así, igual que los niños que rompen un precioso juguete para ver cómo trabaja, losmatemáticos del siglo XVIII sujetaron a una severa crítica a todos los conceptos empleadoshasta entonces y comenzaron a reconstruir las matemáticas con base en definicionesrigurosas. Las apelaciones a la intuición fueron rechazadas; en lugar de esto se demandó lalógica más rigurosa.2 Se buscaba una base lógica para enunciados que uno encuentra en uncurso de análisis, como el siguiente:“Considérese el dominio G acotado por la curva cerrada Γ.”2 También es cierto que tendían a tirar al niño junto con el agua de la bañera; pero en el siglo XX se recuperógran parte de lo que tiraron volviendo a ser parte de la ciencia.
  • 21. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)¿Qué es una curva cerrada? ¿Por qué es la frontera de un dominio? ¿En cuántas partesdivide una curva cerrada al plano? ¿Cuál de estas partes es la que se va a estudiar?Los matemáticos del siglo XVIII no respondían a estas preguntas. Simplemente trazaban unóvalo y pensaban que eso es todo lo que necesitaban decir. Pero en el siglo XIX ya nadiecreía en las figuras. La pregunta ¿Qué es una curva? era sólo una de las cuestiones vitalesque encaraban los analistas. No obstante, pasó mucho tiempo antes de que lograran dar unarespuesta amplia a esta cuestión.Una curva es la trayectoria de un punto móvilPara forjar una definición rigurosa de curva era necesario retirarse de los objetos concretosen que se basaba la formación de los conceptos matemáticos: Hilos largos y delgados; rayosde luz; caminos largos y angostos, etcétera. En todas estas cosas, el largo es mucho mayorque el ancho, por lo que éste último resulta despreciable. Por medio de la idealizaciónmatemática llegamos al concepto de largo sin ancho.El primero que intentó dar una definición rigurosa de curva fue el matemático francésCamille Jordan. Partió del hecho de que una trayectoria del movimiento de un cuerpo muypequeño se puede representar por medio de un tubo largo y angosto. Jordan aplicó estaimagen en su definición de curva. En otras palabras, llamó curva a la trayectoria de unpunto en movimiento. El punto debía moverse de forma continua, sin dar saltos.La definición de Jordan se puede establecer con más exactitud de la manera siguiente: Paradeterminar la posición de un punto en movimiento, hay que especificar sus coordenadas encada momento. Puesto que el movimiento ocurre en un intervalo finito de tiempo, podemossuponer sin pérdida de generalidad que este intervalo es [0,1]. Dicho de otra manera, elpunto comienza a moverse en cierto instante, el cual se toma como el origen de laobservación y completa su movimiento después de transcurrir una cierta unidad de tiempo(un segundo, un minuto, un año, etcétera). Las coordenadas del punto en movimiento estándadas en cada instante t de dicho intervalo. Así, las coordenadas del punto dependen de t yen consecuencia son funciones de t. Denotaremos estas funciones por f(t) y g(t):x = f(t) y = g(t) (4.17)El hecho de que el punto se mueva continuamente equivale a pedir que las funciones f(t) yg(t) sean continuas en cada punto del segmento [0,1]. Dicho de manera vaga, esto quieredecir que un cambio pequeño en t debe producir un cambio pequeño en las funciones f(t) y
  • 22. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)g(t). Más precisamente, si t1,..., tn,… tienden a un valor t, de modo que límn→∞ tn = t,entonces se cumplen las igualdades (4.18)y (4.19)Ocurre que la definición de Jordan tuvo éxito. Todas las curvas estudiadas por losmatemáticos hasta entonces eran curvas en el sentido de Jordan, o curvas de Jordan.Tomemos, por ejemplo, una circunferencia de radio l. La longitud de esta circunferencia es2π. Así, el punto se debe mover con velocidad 2π para recorrer esta circunferencia en unaunidad de tiempo. De aquí que en un tiempo t el punto recorrerá el arco de longitud 2πt. Figura 33.La Figura 33 muestra que sus coordenadas en el instante t deben estar dadas por lasfórmulasx = cos 2πt (4.20)y = sen 2πtEstas ecuaciones se llaman las ecuaciones paramétricas de la circunferencia. Para la curvaque aparece en la Figura 34 (llamada astroide) las ecuaciones paramétricas tienen la formax = cos3 2πt (4.21)y = sen3 2πt
  • 23. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 34.Las curvas de Jordan pueden estar compuestas por varias curvas distintas. Tomemos comoejemplo el contorno de la mitad de un disco, formado por una semicircunferencia de radio 1y un diámetro (Figura 35). Figura 35.Hagamos que el punto móvil recorra la semicircunferencia en la mitad del tiempo y eldiámetro en la mitad restante. Ya conocemos las expresiones para las coordenadas delmovimiento a lo largo de la circunferencia. Al moverse a lo largo del diámetro, ypermanece constante e igual a cero, mientras que x varía de –1 a 1. Como resultadoobtenemos las siguientes ecuaciones paramétricas para este contorno: (4.22) (4.23)
  • 24. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)El teorema es obvio, pero la demostración noUsando su concepto de curva, Jordan pudo dar un significado preciso al enunciadomencionado anteriormente: “Sea Γ la curva cerrada que acota el dominio G”. Una curva deJordan cerrada es una curva que en t = l pasa por el punto donde pasó en t = 0. La curva notiene auto-intersecciones si ninguna pareja de valores t1 y t2 entre 0 y 1 corresponde a unmismo punto en la curva.Jordan demostró el siguiente teorema.Teorema. Una curva de Jordan cerrada Γ sin auto- intersecciones divide al plano en dospartes. Dos puntos contenidos en la misma parte pueden ser unidos por una línea quebradaque no interseca a la curva Γ, pero dos puntos contenidos en partes distintas no pueden serunidos mediante una línea quebrada de ese tipo: cualquier línea quebrada que los unadebe cortar a la curva Γ (Figura 36). Figura 36.Este teorema parece totalmente obvio. Su demostración, empero, requirió de argumentosmuy sutiles. Aunque la curva Γ sea la frontera de un polígono, la prueba sigue siendo unpoco complicada. El lector puede tratar de decidir rápidamente si los puntos A y B de laFigura 37 pueden unirse mediante una línea quebrada que no interseque al contorno Γ.Las dos partes en que una curva de Jordan cerrada divide al plano se llaman los dominiosinterior y exterior acotados por esta curva. El concepto de un dominio acotado por unacurva cerrada adquirió así un significado preciso.
  • 25. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 37.Una curva que pasa por todos los puntos de un cuadradoCuando Jordan dio su definición de curva parecía que se había alcanzado la meta; sedisponía ya de una definición rigurosa de curva, que no dependía de la intuición. Perorápidamente se vio que éste no era el caso. La definición de Jordan abarcaba no sólo lo quelos matemáticos usualmente llaman curvas, sino también figuras geométricas que nadiediría que son curvas. Los matemáticos podrían convenir que las curvas con púas en todaspartes son curvas de Jordan, pero ninguno podría decir que un cuadrado es una curva.Ocurre que el cuadrado, el triángulo y el círculo (no el perímetro de la figura, sino la figurajunto con sus puntos interiores) son curvas en el sentido de Jordan. Esto fue demostrado porel matemático italiano Peano.Ya hemos mencionado que Cantor estableció una correspondencia uno a uno entre lospuntos del segmento y los del cuadrado; es decir, él mostró que hay tantos puntos en elsegmento como puntos hay en el cuadrado. Pero su correspondencia no es continua. Almoverse el punto en el segmento, el punto correspondiente en el cuadrado no se arrastrabacomo un escarabajo, sino que saltaba como una pulga. Consideremos los puntos0.50000000... y 0.49999999000000… (4.24)en el segmento. Estos puntos están muy cercanos, pero los puntos correspondientes delcuadrado están alejados. El punto correspondiente al primero de ellos es (0.50000...,0.0000...), situado en la parte inferior del cuadrado, mientras que el punto correspondienteal segundo es (0.4999000..., 0.9999000...), situado en la parte de arriba del cuadrado. Y siincrementamos el número de nueves en el segundo punto, haciéndolo más cercano alprimero, los puntos correspondientes del cuadrado no se aproximan entre sí.
  • 26. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Así, la transformación de Cantor del segmento al cuadrado, aunque uno a uno, no escontinua, y así, no da origen a una curva de Jordan. Peano tuvo éxito al establecer otratransformación del conjunto de puntos del segmento en el conjunto de puntos del cuadradoque mandara puntos cercanos del segmento en puntos cercanos del cuadrado. En otraspalabras, Peano pudo construir una curva (en el sentido de Jordan) que ¡pasa por todos lospuntos de un cuadrado!Por supuesto, no podemos dibujar la curva de Peano, a menos que imitemos a un pintorabstracto y dibujemos un cuadrado negro. Pero el cuadrado es uniforme, por lo que noseremos capaces de ver dónde empieza la curva, donde termina y cómo se mueve el punto através del cuadrado. Por lo tanto, seguiremos el ejemplo del físico Peppin, en lugar delpintor abstracto y dibujaremos la posición del punto usando segmentos de recta. Mientrasmás cortos sean los intervalos de tiempo entre las “observaciones”, las líneas quebradas asíobtenidas representarán mejor a la curva de Peano.Primero observaremos la posición del punto en movimiento cada 1/4 de segundo. En otraspalabras, observaremos su posición al principio del movimiento, a 1/4 de segundo despuésdel principio del movimiento, a 1/2 segundo después del principio del movimiento, a 3/4 desegundo y al final del movimiento. Esto nos da 5 puntos. Al unirlos obtenemos la líneaABCDE trazada en la Figura 38a.Naturalmente, esta recta no pasa por todos los puntos de la curva. Ahora reducimos elintervalo de tiempo entre las observaciones individuales y observamos la posición del puntocada 1/16 de segundo. Ahora, la curva da más vueltas, el número de picos crece y toma laforma trazada en la Figura 38b. Si observamos la posición del punto en movimiento más amenudo, obtenemos la curva trazada en la Figura 38c. Veamos que la curva llena elcuadrado más y más densamente, que se aproxima más y más a cada uno de los puntos deéste. En el límite, en el cual estaríamos observando el punto en movimiento de maneracontinua, obtendríamos una curva que pasa por todos los puntos del cuadrado sinexcepción.
  • 27. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 38.Aunque Peano aventajó a Cantor por el hecho de que su curva es continua, se quedó cortoen otro aspecto. Su curva no da ya lugar a una transformación uno a uno del segmento en elcuadrado; pasa por algunos puntos del cuadrado varias veces. Posteriormente se demostróque es imposible obtener una correspondencia continua y uno a uno entre el segmento y elcuadrado; es decir, no existe una curva que pase por todos los puntos del cuadradoexactamente una vez.Todo se ha desensartadoEs difícil describir con palabras el efecto que el resultado de Peano produjo en el mundomatemático: Pareció como si todo estuviera en ruinas, como si todos los conceptosmatemáticos básicos hubieran perdido su sentido; la diferencia entre curva y superficie,entre superficie y sólido ya no era clara (el resultado que mostraba la imposibilidad de unacorrespondencia continua uno a uno entre el segmento y el cuadrado todavía no seconocía).El conocido matemático francés Henri Poincaré tristemente exclamó:“¿Cómo es posible que la intuición nos traicionara de esa manera?”Pronto se vio que la definición de Jordan tenía sus fallas. Por un lado era muy amplia: lacurva de Peano entraba en esta definición; pero por otro lado también era demasiadoestricta: no todas las figuras que intuitivamente quisiéramos llamar curvas satisfacían estadefinición. Por ejemplo, la curva de la Figura 27, la circunferencia con la espiralenrollándose, no es una curva de Jordan. Incluso se encontraron otras fallas ocultas en ladefinición de Jordan. Esta definición no sólo trabajaba con la curva, sino con la razón segúnla cual se movía el punto que generaba la curva. Por ejemplo, imaginemos un corredor querecorre la primera mitad de la circunferencia en 1/4 de minuto, pero que entonces se cansay tarda 3/4 de minuto en recorrer la segunda mitad. Claramente, las ecuacionesparamétricas que obtenemos en este caso son completamente distintas de (4.20).
  • 28. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)De hecho, el punto puede recorrer la circunferencia en una infinidad no numerable deformas, acelerando o frenando cada vez. Así, obtenemos muchas ecuaciones paramétricasdistintas para la misma circunferencia. Es muy difícil saber que las ecuaciones (4.25)describen la misma circunferencia que las ecuacionesx = cos 2πt (4.26)y = sen 2πtSería fácil confundirse con curvas más complicadas. Por ejemplo, consideremos la rosa dedos pétalos. Podemos recorrer esta curva como en la Figura 39a o como en la Figura 39b.Desde el punto de vista de Jordan obtendríamos dos curvas totalmente distintas; aunque nodebería importar la forma de recorrer la curva. Figura 39.Surgió nuevamente la pregunta: ¿qué es una curva y cómo se distingue de una superficie?La respuesta estaba relacionada con los estudios generales de Cantor sobre las figurasgeométricas.Cómo hacer una estatuaDespués de establecer los fundamentos de la teoría de conjuntos, Cantor centró su atenciónen la pregunta: ¿qué es una figura geométrica? La respuesta más general a esta preguntaseria: una figura geométrica es cualquier conjunto de puntos en un espacio. Si este conjuntoestá contenido en el plano, entonces obtenemos una figura geométrica plana. Pero estarespuesta sería demasiado general. Una “figura” en este sentido no tendría propiedadesinteresantes. La geometría de tales figuras casi no tendría teoremas.Así, primero había que delimitar la clase de los conjuntos por estudiar, separando aquellosque tuvieran propiedades cercanas a las de las figuras geométricas ordinarias.
  • 29. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Para separar esta clase de figuras tenemos que decidir qué tienen en común las figurasordinarias, como el cuadrado, la circunferencia, un segmento de recta, el astroide, etcétera.Ocurre que es posible construir todas estas figuras por medio de un mismo procedimiento.Se dice que cuando se le preguntó al famoso escultor Rodin cómo podía hacer estatuas tanadmirables, él dijo: “Elijo un bloque de mármol y le quito todo lo que no necesito.”Es posible obtener cualquier figura geométrica plana acotada mediante este mismo método:tomamos un cuadrado que lo contenga y le quitamos todo lo que no necesitemos. Porsupuesto, no quitamos todo de una vez, sino que procedemos paso por paso, quitando encada paso pedazos circulares. Quitamos el interior del círculo, mientras que su frontera, lacircunferencia, se queda en la figura. Figura 40.A primera vista podríamos pensar que con este procedimiento obtendríamos únicamentefiguras como la de la Figura 40. Pero el secreto está en el hecho de que no sólo removemosuno o dos círculos, sino un conjunto numerable de ellos. Podemos obtener cualquier figuraque queramos al permitírsenos quitar un conjunto numerable de círculos.Para hacer esto procedemos como sigue: consideramos todos los círculos tales que lascoordenadas de sus centros y sus radios sean números racionales. El conjunto de talescírculos es numerable, según el Teorema 3.1. A continuación, eliminamos todos aquelloscírculos de nuestro conjunto cuyos interiores no contengan puntos de la figura geométrica.Claramente, después de esta operación únicamente quedará la figura geométrica y elnúmero de círculos eliminados será a lo más numerable.En vez de eliminar círculos, podemos remover cuadrados, rectángulos, elipses, observandola restricción de que los puntos interiores se eliminen mientras que se conserve la frontera.ContinuosAdemás de las figuras geométricas ordinarias, ocurre que al remover un conjuntonumerable de círculos (o cuadrados, etcétera) también podemos obtener otros conjuntos un
  • 30. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)poco distintos de las figuras ordinarias pero con muchas propiedades interesantes. Porejemplo, la alfombra de Sierpinski, de la cual ya hemos hablado largamente, puedeobtenerse de la manera siguiente: del cuadrado de lado 1 eliminamos a los cuadradospequeños uno por uno, dejando sus lados.Mediante este proceso también podemos obtener “figuras” que no están formadas por unaúnica pieza. Por ejemplo, si removemos “cruces”3, como en la Figura 41, al finalobtenemos un conjunto que no contiene una sola pieza sólida (se dice que es totalmentedisconexo). Por esto, agregamos la restricción de que después de cada operación deeliminación debe quedar un conjunto formado por una sola pieza. Después de todas lasoperaciones, quedará un conjunto formado por una sola pieza (como dirían losmatemáticos, un conjunto conexo). El conjunto así obtenido también será acotado, es decir,estará contenido totalmente en algún cuadrado). Figura 41.Un conjunto F que satisface las tres condiciones siguientes:1. El conjunto F se obtiene de un cuadrado eliminando un conjunto numerable decírculos (o cuadrados, etcétera) dejando sus fronteras.2. El conjunto F está formado por una sola pieza (conexo).3. El conjunto F está acotado.fue llamado por Cantor continuo (recordemos que la palabra latina continuum quiere decirno roto). El continuo resultó ser el conjunto más general que poseía propiedades similares alas de las figuras geométricas ordinarias.3 Incluyendo a los segmentos terminales como, por ejemplo, los segmentos AB, CD, EF,GH.
  • 31. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Curvas de CantorAhora podemos responder a la pregunta ¿qué es una curva plana? Como las curvas planasdeben ser figuras geométricas, es claro que las debemos buscar entre los continuos. Pero elcuadrado y el círculo son continuos y no queremos que estas figuras se llamen curvas. Así,debemos añadir ciertas restricciones que eliminen a tales figuras.Observemos que tanto el círculo como el cuadrado contienen pedazos “sólidos” del plano.Pero una curva no contendría pedazos sólidos del plano; no importa que tan pequeñotomemos el cuadrado; siempre habrá puntos en él que no pertenezcan a la curva (Figura42). Figura 42.Aquí tenemos entonces la condición adicional que necesitamos:Una curva plana en el sentido de Cantor es un continuo contenido en el plano que no llenapedazos sólidos del plano (es decir, en cada cuadrado hay puntos que no pertenecen a estacurva).Por ejemplo, un segmento, la frontera de un triángulo, una circunferencia, una rosa decuatro pétalos son curvas. La alfombra de Sierpinski también es una curva, ya que en suconstrucción hicimos agujeros en todos los cuadrados que aparecían en la división, de talforma que ningún pedazo sólido del plano está contenido en él. Otras curvas de Cantor sonla circunferencia con la espiral enrollada alrededor de él y la curva dentada de la Figura 43junto con el segmento [0,1] del eje y. Más en general, todas aquellas figuras que segúnnuestra intuición serian curvas, también son curvas en el sentido de Cantor, mientras quecualquier figura que contenga una sola pieza sólida del plano no pertenece a la clase de lascurvas de Cantor.
  • 32. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 43.Pero también entre las curvas de Cantor hay algunas cuyas propiedades son un pocodistintas de las de las curvas ordinarias. Hablaremos ahora algo sobre esto.¿Puede ser distinta de cero el área de una curva?Por supuesto, ahora que el lector ya conoce curvas que pasan por los puntos de uncuadrado, no se sorprenderá con nada. Pero ¿puede tener área una curva? Euclides dijo queuna curva era algo con largo sin ancho. ¿Cómo podríamos obtener un área de algo sinancho? También en la definición de curva de Cantor se dice que la curva no puede contenerun pedazo sólido del plano. ¿Podríamos hallar un área en este caso? No debemosapresurarnos en dar una respuesta categórica.Antes de estudiar la cuestión, debemos comprender el significado exacto de las palabrasusadas, qué se entiende por las palabras “una curva tiene área cero” o bien “una curvatiene área distinta de cero”. Consideremos la curva más ordinaria, un segmento de línearecta. Puesto que su ancho es cero, podemos ponerla dentro de un rectángulo de áreaarbitrariamente pequeña; sólo tenemos que escoger un rectángulo de ancho suficientementepequeño. Exactamente de la misma forma podemos poner una circunferencia dentro de unpolígono de área arbitrariamente pequeña. Esto se puede hacer inscribiendo un polígonoregular con un número muy grande de lados y después circunscribiendo un polígonosimilar. La región entre los dos polígonos tendrá área pequeña (mientras más lados tenga elpolígono, menor será el área) y el círculo estará completamente contenido en esta región(Figura 44).
  • 33. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 44Ahora es claro lo que se entiende por las palabras una curva tiene área cero. Esto significaque no importa que tan pequeño escojamos un número positivo ε, podemos encontrar undominio poligonal que contenga a la curva y que tenga un área menor que ε. Si no podemosencontrar tal dominio, el área de la curva será distinta de cero.Para aclarar esta definición, la aplicaremos a una curva más complicada que un simple arcode circunferencia. La alfombra de Sierpinski representa, por supuesto, una curva muycomplicada. Hallemos su área. Recordemos primero que el área de todo el cuadrado era l.En el primer paso eliminamos el cuadrado central, de área 1/9. Así obtenemos un dominiopoligonal de área 8/9. En el segundo paso eliminamos 8 cuadrados, cada uno de los cualestiene área 1/81. Esto deja un dominio poligonal de área (4.27)Se ve entonces que después del tercer paso quedará un dominio poligonal de área (8/9)3,después un dominio con área (8/9)4, etcétera. Pero si tomamos una fracción propia y laelevamos a potencias cada vez mayores, el límite será cero: si 0 < q < 1, entonces (4.28)En particular, límn→∞(8/9)n = 0. Pero por la definición de límite esto significa que paracualquier ε > 0 podemos encontrar n tal que (8/9)n < ε.Esto nos dice que después de n pasosobtenemos un dominio poligonal de área menor que ε y que cubre a la alfombra deSierpinski. Como consecuencia de esto, el área de la alfombra de Sierpinski es cero.Esto parecería marcar el triunfo completo de la definición de Euclides. Aún una curva tancomplicada como la alfombra de Sierpinski tiene área cero. Pero sería prematuro celebrarahora el triunfo. Después de todo, nada nos obliga a quitar pedazos tan grandes.
  • 34. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Procedamos de una manera económica y dividamos el cuadrado en 25 partes iguales, enlugar de 9 (es decir, dividimos cada lado en 5 partes). Eliminamos el cuadrado central cuyaárea, obviamente, es 1/25. Probablemente el lector querrá dividir cada uno de los 24cuadrados pequeños restantes en .25 partes y eliminar la parte central. Sin embargo esto nosería económico. En vez de esto, tomamos los segmentos que acotan al cuadrado eliminadoy los continuamos hasta que intersequen a los lados del cuadrado mayor. Esto nos da 4cuadrados (en las esquinas) y 4 rectángulos. Figura 45.En cada cuadrado y cada rectángulo construimos cruces con pedazos en forma de cruz conun ancho de 1/25, eliminando la parte central de la cruz (Figura 45). Como el área de laparte central es 1/625, el área de todos los cuadrados eliminados en el segundo paso es8/625. Continuando con este procedimiento, en el tercer paso eliminamos 64 cuadradospequeños con un área total de 64/253 = 64/15,625, etcétera. El área de los cuadradoseliminados estará dada por la serie geométrica (4.29)con base 8/25. La suma de esta serie es 1/17 únicamente. ¿Pero qué significa esto? Estosignifica que en cada paso se preserva un área no menor que 16/17. Así, un dominio de áreamenor que 16/17 no puede cubrir lo que resta, que en el caso de la alfombra de Sierpinski,es una curva en el sentido de Cantor, pues al construirla hicimos un agujero en cadacuadrado y rectángulo y no ha quedado un sólo cuadrado o rectángulo sólido.Por consiguiente, ¡una curva en el sentido de Cantor puede tener área distinta de cero!Dominios sin áreaAun así, el ejemplo que analizamos no es tan convincente: la curva que obtuvimos tieneauto-intersecciones en todas partes y no acota ningún dominio. Así surge la pregunta:
  • 35. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)¿podrá una curva “buena” sin auto-intersecciones tener área distinta de cero? ¡La respuestaes que sí puede!Podemos construir tal curva modificando un poco la construcción hecha anteriormente.Primero construimos un conjunto en el que no sólo no se pueda hallar un pedazo sólido decuadrado, sino tampoco un pedazo sólido de curva, pero que el área de este conjunto seadistinta de cero. Para hacer esto debemos eliminar cruces completas en vez de cuadradoscentrales, como se muestra en la Figura 46. Aquí hay que elegir las dimensiones de lascruces de tal forma que el área de la primera cruz eliminada sea de 8/25, que el área detodas las cruces eliminadas en el segundo paso sea de 64/625 = (8/25)2, que el área de laseliminadas en el tercer paso sea (8/25)3, etcétera Entonces el área total de las cruceseliminadas será igual a la suma de la serie geométrica (4.30) Figura 46.es decir, 8/17. Pero esto es menor que la mitad del área del cuadrado original. Esto significaque en la parte restante del cuadrado original queda un área de 9/17. Ahora, al construir elconjunto eliminamos cruces completas que sin piedad desgarran al cuadrado. Ningunapareja de puntos del conjunto restante puede conectarse mediante una curva, ni siquiera unacurva en el sentido de Cantor; toda conexión entre sus puntos ha sido rota. Como dirían losmatemáticos, lo que resta es un conjunto totalmente disconexo. Aun así, el área de esteconjunto, que no contiene una sola pieza del plano ni siquiera un arco de una curva, esdistinta de cero; no se puede cubrir este conjunto con un dominio poligonal con un áreamenor que 9/17.Ahora es fácil construir un ejemplo de una curva cerrada sin auto-intersecciones y quetenga área distinta de cero. Para esto sólo necesitamos conectar los puntos que ya tenemos,
  • 36. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)tal como dibujamos una curva que pasa por todos los puntos del cuadrado. Puesto queeliminamos cruces completas en cada paso, nuestra curva no tendrá auto-intersecciones (enesto es distinta de la curva de Peano). Pero como pasa por todos los puntos del conjunto,cuya área debe ser al menos 9/17, el área de la curva obtenida debe ser al menos 9/17.Tampoco es difícil construir ahora un dominio sin área. Sólo necesitamos unir dos puntos Ay B de nuestra curva con cierto tipo de curva, posiblemente una semicircunferencia.Entonces obtenemos una curva que acota cierto dominio G. ¿Cuál es su área? La respuestadepende de si incluimos la frontera dentro del dominio (después de todo, la frontera en sítiene un área de al menos 9/17). Claramente, nuestro dominio no tiene área en el sentidoordinario de la palabra. En matemáticas, tales dominios que no tienen área en el sentidousual no tienen cuadratura.Algunos ejemplos sorprendentesEs probable que después de la aparición de la curva de Peano los matemáticos estuvieranseguros que ya habían visto todos los “milagros” que existían en el mundo de las funcionesy curvas poco usuales. Pero entonces su intuición geométrica les falló nuevamente. Laspropiedades de las curvas de Cantor son muy distintas de las de las curvas ordinarias, comopodemos ver en la siguiente narración.Al comienzo del siglo XX el conocido matemático Schoenflies publicó una serie detrabajos en los que estudiaba varias propiedades de las curvas, las fronteras de losdominios, etcétera. En estos artículos, Schoenflies recurría a menudo a la “obviedadgeométrica”. Pero unos pocos años después, en 1910, apareció un artículo corto (de sólo 12páginas) del joven matemático holandés Brouwer. Contenía varios ejemplos sorprendentes,que traían como consecuencia la falsedad de alguno de los resultados de Schoenflies o bienque el resultado fuese correcto pero no demostrado de manera rigurosa. En realidad, ¡habíaalgunas jugarretas perversas en la “obviedad geométrica” de Schoenflies!Para demostrar cuáles enunciados “obvios” resultaron falsos presentaremos algunos de losejemplos de Brouwer (en realidad, usaremos algunas simplificaciones posteriores).Brouwer construyó un dominio acotado cuya frontera era un continuo. Para hacer esto tomóuna “botella” y empezó a extender su cuello, enrollándola alrededor de una circunferencia(Figura 47).
  • 37. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 47.Como resultado obtuvo un dominio acotado por dos espirales y la “botella”. Pero estafrontera no es un continuo, ya que para obtener un continuo tendríamos que añadir lacircunferencia alrededor de la cual se enrollan las espirales.Dominios y fronterasYa que hemos hablado de las fronteras y los dominios, haremos una pausa para precisarestos conceptos. De hecho, la definición de curva dada por Jordan no fue tan exitosa, asíque era necesario dar una nueva definición de dominio.Un conjunto en el plano es abierto, si consta de una unión de círculos sin su frontera. Enparticular, el complemento de cualquier continuo plano es un conjunto abierto en el plano.Todos los dominios planos usuales (el interior de un círculo, de un cuadrado, de untriángulo, etcétera) son conjuntos abiertos en el plano. Además, estos conjuntos sonconexos; cualesquiera dos de sus puntos se pueden unir mediante una recta quebrada que nosale del dominio. Éstas son también las propiedades que definen un dominio plano.Un dominio plano es un conjunto conexo de puntos del plano formado por una unión decírculos sin su frontera.El número de círculos puede ser arbitrario. Sin embargo, podemos mostrar que cualquierdominio se puede construir con un conjunto numerable de círculos.Un círculo sin su frontera es una vecindad de su centro a. Por supuesto, cada punto tieneuna infinidad de vecindades.Un punto a en el plano es un punto frontera del dominio G si cada vecindad del punto acontiene tanto puntos del dominio G como puntos que no pertenecen a G (Figura 48).
  • 38. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 48.Los conjuntos abiertos, los dominios y los puntos frontera de los dominios en el espacio sedefinen exactamente de la misma forma. La diferencia consiste en escoger esferas sin sufrontera, en lugar de los círculos sin su frontera.Además del concepto de vecindad de un punto (en el plano o en el espacio) necesitaremosel concepto de vecindad relativa de un punto perteneciente a algún conjunto A, que será elconjunto de puntos de una vecindad que pertenecen al conjunto A; o en otras palabras, laintersección de una vecindad ordinaria del punto con el conjunto A. Por ejemplo, si A es lacurva trazada en la Figura 49 y G es la vecindad del punto a, entonces la vecindad relativade este punto es el arco de la curva entre los puntos b y c. Si el conjunto A consta de variospuntos, entonces cada uno de sus puntos es una vecindad relativa de sí mismo. Figura 49.Para ver esto, simplemente se toma una vecindad ordinaria del punto que no contenga a losdemás puntos del conjunto (Figura 50). Figura 50.
  • 39. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)El gran proyecto de irrigaciónHablaremos ahora sobre otro ejemplo de Brouwer, aún más sorprendente. Tracemos elmapa de algún país y los países vecinos. Casi cada punto de la frontera de este paíspertenece a dos y sólo dos países: el país dado y uno de sus vecinos. En el siguiente mapahay puntos donde se juntan tres países (Figura 51). Figura 51.Tres guardias fronterizos están en estos puntos. Pero sólo hay un número finito de dichoslugares en el mapa. Parece obvio que tales puntos no podrían ocupar toda la frontera de unpaís, es decir, que no podría haber tres dominios (tres países) que compartan la mismafrontera. En otras palabras, parece obvio que no puede haber tres guardias fronterizosparados en cada punto de la frontera.Sin embargo, Brouwer construyó tres dominios con estas características. Para entender suejemplo, imaginemos una isla en el océano en la cual hay dos lagos con agua dulce, unocon agua fría y el otro con agua caliente. Llevaremos a cabo el siguiente proyecto deirrigación. Durante el primer día construimos canales desde el océano y los dos lagos de talforma que cada canal sea muy pequeño (es decir, que sea sólo un riachuelo de la reservacorrespondiente), de modo que los canales no se corten entre sí y de tal forma que cuandohayamos terminado, cada punto del terreno seco esté a una distancia menor de un kilómetrodel agua del mar y de los dos lagos (Figura 52).
  • 40. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 52.Durante el siguiente medio día extendemos estos canales manteniéndolos pequeños, sinintersecciones entre ellos y de modo que la distancia de cualquier punto del terreno seco acualquiera de los tres canales sea menor que ½ kilómetro. Al hacer esto, por supuesto, loscanales deberán ser más angostos que antes. En la siguiente cuarta parte del díacontinuamos, arreglando las cosas para que cualquier punto de la tierra seca esté a menosde ¼ de kilómetro de cualquier canal, etcétera. Al seguir con este proceso, los canales sevuelven cada vez más sinuosos y angostos. Después de dos días de trabajo, la isla seráirrigada por tres canales y quedará convertida en una curva de Cantor. No importa en quepunto de la curva estemos, podremos tener agua salada o agua dulce fría o caliente, anuestro gusto. Las cosas están arregladas de tal forma que las aguas no se mezclan entre sí.Si reemplazamos el océano y los lagos por tres países, obtendremos el mapa poco usual delque hablamos al principio. Tres guardias fronterizos, uno de cada país, pueden estar en cadapunto de la frontera.Un tema que no puede estudiarseYa hemos dicho que la definición de Cantor tenía una falla: no era adecuada del todo en elespacio. Pero entonces, ¿qué es una superficie en el espacio? Nadie sabía. Este problema,determinar qué son las curvas y las superficies en el espacio, fue propuesto en el verano de1921 al estudiante de 23 años Pavel Samuelovich Urysohn por su profesor DimitriFedorovich Yegorov, de la Universidad de Moscú. (Es evidente que él pensó mucho en elsignificado del problema o, como ahora se suele decir, en la posibilidad de estudio del tema¡este problema era de los más difíciles!)
  • 41. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Urysohn comprendió rápidamente que el problema de Yegorov era sólo un caso especial deun problema mucho más general: ¿cuál es la dimensión de una figura geométrica? Es decir,¿cuáles son las características de la figura que nos hacen decir que un segmento o unacircunferencia tienen dimensión 1, un cuadrado tiene dimensión 2 y un cubo o una esferatienen dimensión 3? Introducimos aquí los recuerdos que de esa etapa de la vida de P. S.Urysohn tenía su más cercano amigo, un joven candidato a doctor en ese entonces y ahoraacadémico y presidente honorario de la Sociedad Matemática de Moscú, Pavel SergeevichAleksandrov:“Durante todo el verano de 1921 P. S. trató de hallar una definición ‘actualizada’ (dedimensión); se interesaba en una variante y luego en otra, planteando constantementeejemplos que mostraban por qué una y otra variante debían eliminarse. Pasó dos mesestotalmente absorto en sus meditaciones. Finalmente, una mañana cercana al final de agosto,P. S. amaneció con su definición inductiva de dimensión en la forma final ahora tanconocida. Esa misma mañana, al estarnos bañando en el Klyazma, P. S. Urysohn me hablóde su definición y ahí, durante la conversación que se extendió durante varias horas, delineóun plan para una teoría completa de la dimensión, compuesta por una serie de teoremas,que en ese entonces eran hipótesis que no sabía cómo demostrar y que en los mesessubsecuentes fueron demostrados. Nunca más volví a participar o presenciar unaconversación matemática compuesta por un flujo tan denso de ideas como la conversaciónde esa mañana de agosto. Todo el programa delineado fue entonces realizado durante elinvierno de 1921/22; en la primavera de 1922 toda la teoría de la dimensión estaba lista.”La idea básica de la definición de dimensión de Urysohn consiste en lo siguiente.Usualmente, bastan dos o más puntos para separar una porción de una curva del resto (Laparte de la rosa de cuatro pétalos de la Figura 53 que contiene al centro se puede separar delresto de la curva usando ocho puntos). Pero es imposible separar una parte de unasuperficie del resto quitando varios puntos; para esto se tendría que quitar toda una curva,pues sin importar cuántos puntos se tomen en la superficie, siempre será posible rodearlos.De la misma forma, se necesita una superficie para separar una parte del espaciotridimensional del resto del espacio.
  • 42. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 53.Todo esto se debe precisar, ya que para separar alguna parte de ciertas curvas es necesariotomar un conjunto infinito de puntos, pero de forma que estos puntos no formen una curva.Urysohn pudo formular de manera precisa todas las definiciones necesarias. En ciertaforma sus definiciones recuerdan las de Euc1ides (los extremos de una curva son puntos,los extremos de una superficie son curvas), pero esta resemblanza es como la de la canoadel hombre primitivo hecha a partir de un tronco y un barco de la actualidad.La definición inductiva de dimensiónAhora estudiaremos con más precisión cómo definió Urysohn la dimensión de una figurageométrica. Un conjunto típico de dimensión cero sería un conjunto que consta de un únicopunto, o en el peor de los casos, de un número finito de puntos. Pero en tal conjunto, cadapunto tiene una vecindad relativa con frontera vacía, el punto mismo (ver Figura 50). Estafue la propiedad que tomó Urysohn para su definición de conjunto de dimensión cero. Másprecisamente, su definición es algo como esto:Un conjunto F tiene dimensión cero si cada uno de sus puntos tiene una vecindad relativaarbitrariamente pequeña con frontera vacía.En la mayoría de los casos, es posible establecer que un conjunto F tiene dimensión ceroeligiendo para cada punto una vecindad ordinaria arbitrariamente pequeña cuya frontera nocontenga puntos del conjunto F (entonces se asegura que la frontera de la vecindad relativaes vacía). Pero hay conjuntos de dimensión cero en el espacio tridimensional para cuyospuntos no se dispone de tales vecindades ordinarias.Las palabras “arbitrariamente pequeña” se insertan en la definición por la siguiente razón.Si no estuvieran ahí, podríamos, por ejemplo, hallar un círculo lo suficientemente grandepara que contuviera un cuadrado completo en su interior de tal forma que ningún punto delcuadrado estuviera en la frontera del círculo. Así, si estas palabras no estuvieran en la
  • 43. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)definición, tendríamos que la dimensión de un cuadrado sería cero, no dos, que es lo querealmente ocurre.Además de los conjuntos finitos, muchos conjuntos infinitos tienen dimensión cero. Porejemplo, consideremos el conjunto de puntos en el eje x con coordenadas 0, 1, 1/2, 1/3,...,l/n,... Es claro que cualquier punto de este conjunto tiene una vecindad arbitrariamentepequeña cuya frontera no contiene puntos de este conjunto. Únicamente el caso del punto 0podría despertar algunas dudas. Pero si tomamos una vecindad de radio α, donde α es unnúmero irracional, entonces ningún punto del conjunto estará en la frontera de estavecindad.El conjunto Q de puntos en una recta con coordenadas racionales también tiene dimensióncero. Para convencerse de esto, simplemente se toma un intervalo de longitud irracional concentro en el punto a de Q como la vecindad del punto a. El conjunto de Cantor tambiéntiene dimensión cero (ver la sección Puntos húmedos), lo mismo que el conjunto que seobtiene al eliminar cruces del cuadrado (ver la sección Continuos) y muchos otrosconjuntos.De manera análoga al caso del plano, podemos construir conjuntos de dimensión cero en elespacio (al hacerlo, por supuesto que tomaremos las vecindades de puntos como vecindadesen el espacio).Después de definir los conjuntos de dimensión cero, Urysohn continuó con los conjuntos dedimensión uno; es decir, con las curvas. Aquí no hay ya vecindades pequeñas con fronterasvacías (ver Figura 53). Sin embargo, en el caso de las curvas ordinarias, la frontera de lavecindad sólo interseca a la curva en pocos puntos. Pero un conjunto compuesto por unnúmero finito de puntos tiene dimensión cero. Generalizando esta situación, Urysohndefinió un conjunto de dimensión uno de la siguiente manera.Un conjunto F tiene dimensión uno si no es de dimensión cero y cada uno de sus puntostiene una vecindad arbitrariamente pequeña cuya frontera interseca al conjunto F en unconjunto de dimensión cero.Se vio entonces que no sólo las curvas ordinarias (circunferencia, segmento de recta, elipse,etcétera) sino también las curvas de Cantor tienen dimensión 1 en el sentido de Urysohn.Así, fue posible entonces definir el concepto de curva en el espacio o en el plano:Una curva es un continuo de dimensión uno.
  • 44. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)Fue claro también cómo definir superficie, sólido tridimensional y en general, un conjuntode cualquier dimensión. Como la definición sigue un orden numérico, definiendo primeroun conjunto de dimensión 0, luego un conjunto de dimensión 1, luego de dimensión 2,etcétera, la definición de dimensión de Urysohn se llama inductiva.¡El artículo debía publicarse, no revisarse!Urysohn demostró muchos teoremas muy interesantes relacionados con el concepto dedimensión que él introdujo. Pero no pudo hallar una forma de demostrar un teorema muyimportante; no podía demostrar que un cubo ordinario tiene dimensión 3. Después de unprolongado esfuerzo, él halló una forma de salir de esta dificultad, concibiendo durante esteproceso una nueva definición de dimensión. No estudiaremos esta definición en detalle,pero la ilustraremos con figuras muy sencillas.Si consideramos un segmento de recta o un arco de circunferencia, podemos dividirlo enpedazos arbitrariamente pequeños de tal forma que cada punto pertenezca a lo más a dospedazos (Figura 54). Aquí tomamos los pedazos junto con sus fronteras (es decir, susextremos). Pero un cuadrado no puede ser dividido de esta manera. A primera vistaparecería que si dividimos un cuadrado en pedazos, siempre habrá puntos que pertenezcan acuatro pedazos (Figura 55a). Sin embargo, si colocamos los pedazos en la forma en la cualse colocan los ladrillos, podemos dividir de tal forma que cada punto pertenezca cuandomás a tres pedazos distintos (Figura 55b). Análogamente, podemos dividir al cubo enpequeños paralelepípedos de forma que cada punto pertenezca cuando más a cuatroparalelepípedos. Figura 54.
  • 45. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx) Figura 55.Ésta es la propiedad que Urysohn tomó como su nueva definición de dimensión. Se diceque una figura tiene dimensión n si puede dividirse en partes cerradas arbitrariamentepequeñas de forma tal que ningún punto pertenezca a n + 2 partes distintas, pero de modoque para una subdivisión suficientemente fina haya puntos que pertenezcan a n + l partesdistintas.Las partes en las que se divide la figura no pueden ser totalmente arbitrarias; suscomplementos deben ser conjuntos abiertos (tales partes se llaman cerradas).Urysohn utilizó esta definición de dimensión para mostrar que la dimensión del cuadrado es2, que la dimensión del cubo es 3, etcétera. Luego demostró que esta definición esequivalente a la primera que había dado.La teoría de la dimensión de Urysohn causó una gran impresión en el mundo matemático.Esto lo expresa vivamente el siguiente episodio. Al hacer un viaje, Urysohn hizo un reportede sus resultados en Göttingen. Antes de que los fascistas llegaran al poder, la Universidadde Göttingen era un centro matemático líder en el mundo. Después del reporte, el jefe deldepartamento de matemáticas de Göttingen, David Hilbert, dijo que los resultados debíanpublicarse en la revista Mathematische Annalen, una de las revistas matemáticas másprestigiadas de la época. Unos meses después, Urysohn volvió a dar un reporte enGöttingen y Hilbert preguntó al editor de los Annalen, Richard Courant, si ya se habíapublicado el artículo de Urysohn. Courant respondió que el artículo estaba en la etapa derevisión. Ante eso, Hilbert exclamó “¡Yo dije claramente que el artículo debía publicarse,no revisarse!” Después de una declaración tan directa, el artículo fue publicadorápidamente.En los tres años posteriores, Urysohn desarrolló una investigación matemática sincomparación en cuanto a profundidad e intensidad (en este lapso publicó varias docenas deartículos). Un trágico accidente terminó con su vida de manera abrupta; se ahogó el 17 de
  • 46. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)agosto de 1924, al nadar durante una tormenta en el Golfo de Viscaya. Concluyó su últimoartículo matemático el día anterior a su muerte.Urysohn dejó numerosos bosquejos de resultados inéditos. Su más cercano amigo (ycoautor de muchos artículos) Pavel Sergeevich Aleksandrov interrumpió sus propiosestudios por un tiempo y preparó estos artículos para su publicación, poniendo así adisposición de todos los matemáticos estos resultados adicionales de Urysohn. La teoría dela dimensión constituye en la actualidad un importante capítulo de las matemáticas.ConclusiónLos conjuntos infinitos tienen propiedades extraordinarias. En el estudio de estaspropiedades, los matemáticos han debido perfeccionar continuamente sus razonamientos ydesarrollar aún más la lógica matemática. Se pensó por mucho tiempo que la teoría de losconjuntos y la lógica matemática eran ciencias abstractas y que no tenían aplicaciónpráctica. Sin embargo, con la invención de las computadoras electrónicas se vio que suprogramación se basaba en la lógica matemática. Esto hizo que muchas investigacionesaparentemente alejadas de la realidad adquirieran un significado práctico. Esto ocurre amenudo en la historia de la ciencia; aún al principio de la década de los treinta se podíapublicar un libro que dijera “El uranio no tiene usos prácticos.”En la actualidad, la teoría de conjuntos es fundamental para varias áreas de las matemáticas,tales como el análisis funcional, la topología, el álgebra general, etcétera. Aún hoy en día sesiguen haciendo estudios profundos en la propia teoría de conjuntos, relacionados con losmismos fundamentos de las matemáticas. En estos estudios se ve claramente que el enfoque“intuitivo” del concepto de conjunto que hemos adoptado en este libro está lejos de ser eladecuado. Se ha hecho necesario axiomatizar el concepto de conjunto. Sin embargo, estasinvestigaciones no caen dentro de la intención buscada en este libro.Ejercicios y ejemplos 1. El conjunto A está formado por los enteros divisibles entre 4, el conjunto B está formado por los enteros divisibles entre 10 y el conjunto C está formado por los enteros divisibles entre 75. ¿Cuáles números están en el conjunto ABC? 2. Una biblioteca tiene libros de distintos campos de la ciencia y el arte. Sea A el conjunto de todos los libros de la biblioteca y sea B el conjunto de todos los libros de matemáticas (no sólo los de la biblioteca). Caracterizar el conjunto A – B.
  • 47. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)3. Por medio de las reglas algebraicas y de la lógica, simplificar la expresión (A + B + C) (A + B) – [A + (B – C)] A4. ¿Cuál número cardinal está dado por ?5. Dar una correspondencia uno a uno entre los puntos del segmento [0,1] y los puntos del intervalo (0,1) (es decir, el segmento sin sus extremos 0 y 1).6. Demostrar que el conjunto de puntos en el plano que tienen ambas coordenadas racionales es numerable.7. Demostrar que no hay en el plano un conjunto infinito no numerable de discos circulares sin intersecciones entre sí.8. Hallar en el plano un continuo de circunferencias que no se intersequen entre sí.9. Demostrar que no hay en el plano un conjunto infinito no numerable de figuras en forma de 8 que no tengan intersecciones entre sí.10. Mostrar que no es posible hallar en el plano un conjunto infinito no numerable de curvas en forma de T que no tengan intersecciones entre sí.11. Supongamos que se tienen numerados todos los puntos racionales del segmento [0,1]. Obtenemos una sucesión de puntos r1, r2,..., rn,... Construimos una vecindad centrada en r1 con radio 1/10, una vecindad centrada en r2 con radio 1/20, una vecindad centrada en r3 con radio 1/40, etcétera. Consideremos la unión de todas las vecindades obtenidas. Sea M el conjunto obtenido mediante este proceso. ¿Coincide M con todo el segmento [0,1]?12. Se numera a los puntos racionales como en (3.9). Producir un ejemplo de un punto que no esté en el conjunto M del ejercicio 11.13. El conjunto de todas las sucesiones de números reales (x1, x2,..., xn,...) tales que 0 ≤ xn ≤ 1 se llama el cubo de dimensión numerable. Mostrar que el conjunto de puntos en este cubo tiene la cardinalidad del continuo.14. Construir una función continua que tenga una infinidad de máximos y de mínimos en cada segmento.15. El conjunto M consta de los puntos del segmento [0,1] que tienen representaciones decimales en las que no aparecen ni el 3 ni el 8. Describir un procedimiento para obtener este conjunto eliminando intervalos del segmento.
  • 48. Laboratorio de Visualización Matemática (http://valle.fciencias.unam.mx)16. Hacer lo mismo para los puntos cuyos desarrollos decimales no contengan la combinación 38 (en el orden dado).17. Un punto a es un punto límite de un conjunto M si en cada una de sus vecindades existe una infinidad de puntos de este conjunto. Mostrar que todos los puntos límite del conjunto de Cantor pertenecen a dicho conjunto. Recíprocamente, mostrar que todos los puntos del conjunto de Cantor son puntos límite del conjunto. Hacer lo mismo para los conjuntos de los ejercicios 15 y 16.18. Mostrar que cada punto del segmento [0,1] es un punto límite del conjunto de todos los números racionales tales que 0 ≤ r ≤ 1.19. ¿Puede tener puntos límite el conjunto de los enteros?20. Demostrar que el complemento de cualquier conjunto abierto en el plano contiene a todos sus puntos límite.21. Demostrar que si un conjunto contiene a todos sus puntos límite, entonces su complemento es un conjunto abierto.

Related Documents